Funktioiden kompositio (g∘f): määritelmä, laskuesimerkit ja ominaisuudet

Matematiikassa funktiokompositio on tapa muodostaa kahdesta funktiosta uusi funktio suorittamalla toinen funktio ja sen jälkeen toinen. Tarkemmin: jos on annettu funktio f:n X:stä Y:hin ja funktio g:n Y:stä Z:hin, niin kompositio g ∘ f on funktio X:stä Z:hin, määritelty kaavalla

(g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Tämä tarkoittaa, että ensin sovelletaan f:ää syötteeseen x ja sitten sovelletaan g:ää tulokseen f(x). Huomaa, että merkintä g ∘ f voi vaikuttaa päinvastaiselta kuin lukujärjestys: g∘f tarkoittaa ensin f, sitten g.

Määrittelyehto ja määrittelyjoukko

Komposition määrittelylle tarvitaan, että f:n maalijoukko (arvojoukko tai ainakin f(X)) kuuluu tai osittain vastaa g:n määrittelyjoukkoa. Käytännössä kompositio g∘f on määritelty niille x:n arvoille, joille f(x) kuuluu g:n määrittelyjoukkoon. Toisin sanoen

dom(g∘f) = { x ∈ dom(f) | f(x) ∈ dom(g) }.

Esimerkki

Olkoon f funktio, joka kaksinkertaistaa luvun (kertoo sen kahdella), ja g funktio, joka vähentää luvusta 1. Nämä voidaan esittää kaavoina:

$f(x)=2x$

$g(x)=x-1$

Tässä tapauksessa g∘f tarkoittaa ensin kaksinkertaistamista ja sitten 1:n vähentämistä, eli

$(g\circ f)(x)=2x-1$

Toisaalta f∘g tarkoittaa ensin vähentämistä ja sitten kaksinkertaistamista:

$(f\circ g)(x)=2(x-1)$

Näistä näkyy selvästi, että yleensä g∘f ≠ f∘g — kompositiot eivät ole vaihdannaisia.

Perusominaisuuksia

Assosiatiivisuus: Kompositio on assosiatiivinen: jos f, g ja h ovat sellaisia funktioita, että kompositiot ovat määriteltyjä, niin h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f.
Ei yleensä kommutatiivinen: Usein g ∘ f ≠ f ∘ g; järjestyksellä on merkitystä.
Identiteettifunktiot: Jokaisella joukolla X on identiteettifunktio id_X (id_X(x)=x). Sillä on ominaisuus id_Y ∘ f = f = f ∘ id_X, kun f: X → Y.
Käänteisfunktiot: Jos f: X → Y on bijektio ja f^{-1} sen käänteisfunktio, niin f^{-1} ∘ f = id_X ja f ∘ f^{-1} = id_Y.
Injectiivisuus ja supjektio:
- Jos f ja g ovat injektiivisiä, niin g ∘ f on injektiivinen.
- Jos f ja g ovat surjektiivisia, niin g ∘ f on surjektiivinen.
- Jos g ∘ f on injektiivinen, niin f on injektiivinen. Jos g ∘ f on surjektiivinen, niin g on surjektiivinen.
Analyyttiset ominaisuudet: Jos f ja g ovat jatkuvia sopivilla määrittelyjoukoilla, niin g ∘ f on jatkuva. Vastaavasti differentioituvien funktioiden kompositiolle pätee ketjusääntö:

Ketjusääntö (derivaatta): jos f ja g ovat differentioituvia ja yhdistelmät pätevät, niin

(g∘f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x).

Yleisempiä huomioita ja laajennuksia

Funktioiden kompositiota voidaan yleistää myös binäärisiin relaatioihin ja kuvata samoin ∘-symbolilla. Kompositio on keskeinen käsite monissa matematiikan osa-alueissa, kuten analyysissä, algebra, topologiassa ja kategoriateoriassa (missä morfismien kompositio on perusrakenne).

Lisäksi kompositiota käytetään usein ohjelmoinnissa ja käytännön sovelluksissa, kun halutaan rakentaa monimutkaisia muunnoksia yksinkertaisista paloista.

Esimerkki, jossa kompositio ei ole määritelty kaikille x

Olkoot f: R → R ja g: (0, ∞) → R, ja f(x) = x^2 − 4. Silloin g∘f on määritelty vain niille x:lle, joille f(x) ∈ (0, ∞), eli x^2 − 4 > 0, eli |x| > 2. Tämä korostaa, että komposition määrittelyjoukko voi olla suppeampi kuin alkuperäisten funktioiden dom(f).

Kompositio on siis yksinkertainen mutta voimakas työkalu: se mahdollistaa erilaisten muunnosten ketjuttamisen, ja sen muodolliset ominaisuudet (assosiatiivisuus, käyttäytyminen identiteetin ja käänteisfunktion suhteen, ketjusääntö jne.) tekevät siitä keskeisen käsitteen matematiikassa ja sen sovelluksissa.

$\circ$ $R\circ S$

Ominaisuudet

Funktion koostumus voidaan osoittaa assosiatiiviseksi, mikä tarkoittaa, että:

f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Funktiokompositio ei kuitenkaan yleensä ole kommutatiivinen, mikä tarkoittaa, että:

f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} $f\circ g\neq g\circ f$

Tämä näkyy myös ensimmäisessä esimerkissä, jossa (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 ja (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.

Aiheeseen liittyvät sivut

Ketjusääntö

Kysymyksiä ja vastauksia

Kysymys: Mikä on funktion koostumus?

V: Funktion kompositio on tapa tehdä kahdesta muusta funktiosta uusi funktio ketjumaisen prosessin avulla.

K: Miten g:n arvo on koostettu f:n kanssa kirjoitettuna?

V: F:n kanssa koostetun g:n arvo kirjoitetaan (g ∘ f)(x), ja se määritellään g(f(x)).

Kysymys: Mitkä ovat esimerkkejä funktioista?

V: Esimerkkinä voisi olla funktio, joka kaksinkertaistaa luvun (kertoo sen kahdella) ja toinen, joka vähentää luvusta 1.

K: Mikä olisi esimerkki f:n kanssa muodostetusta g:stä?

V: Esimerkki f:n kanssa koostetusta g:stä olisi funktio, joka kaksinkertaistaa luvun ja sitten vähentää siitä 1:n. Eli (g ∘ f)(x)=2x-1.

K: Mikä olisi esimerkki f:stä, joka on muodostettu g:n kanssa?

V: Esimerkki g:n kanssa koostetusta f:stä olisi funktio, joka vähentää luvusta 1 ja sitten kaksinkertaistaa sen; eli (f ∘ g)(x)=2(x-1).

Kysymys: Voidaanko kompositio yleistää myös binäärisiin relaatioihin?

V: Kyllä, kompositio voidaan yleistää myös binäärisiin relaatioihin, jolloin se esitetään joskus samalla symbolilla (kuten R ∘ S).