Yhdistetty funktio | tapa tehdä kahdesta muusta funktiosta uusi funktio

Matematiikassa funktiokompositio on tapa muodostaa kahdesta muusta funktiosta uusi funktio ketjumaisen prosessin avulla.

Tarkemmin sanottuna, kun on annettu funktio f X:stä Y:hen ja funktio g Y:stä Z:hen, funktio "g koostuu f:n kanssa", joka kirjoitetaan muodossa g ∘ f, on funktio X:stä Z:hen (huomaa, että se kirjoitetaan yleensä päinvastoin kuin mitä ihmiset odottaisivat sen olevan).

F:n arvo syötteen x suhteen kirjoitetaan f(x). G ∘ f:n arvo syötteen x suhteen kirjoitetaan (g ∘ f)(x), ja se määritellään g(f(x)).

Olkoon esimerkiksi f funktio, joka kaksinkertaistaa luvun (kertoo sen kahdella), ja g funktio, joka vähentää luvusta 1. Nämä kaksi funktiota voidaan kirjoittaa seuraavasti:

f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} $f(x)=2x$

g ( x ) = x - 1 {\displaystyle g(x)=x-1} $g(x)=x-1$

Tässä tapauksessa f:n kanssa muodostettu g olisi funktio, joka kaksinkertaistaa luvun ja vähentää siitä sitten 1:n. Toisin sanoen:

( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 1 {\displaystyle (g\circirc f)(x)=2x-1} $(g\circ f)(x)=2x-1$

Toisaalta f ja g olisivat funktio, joka vähentää luvusta 1 ja sitten kaksinkertaistaa sen:

( f ∘ g ) ( x ) = 2 ( x - 1 ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=2(x-1)} $(f\circ g)(x)=2(x-1)$

Funktioiden kompositio voidaan yleistää myös binäärisiin relaatioihin, jolloin se esitetään joskus käyttäen samaa ∘ {\displaystyle \circ } $\circ$ symbolia (kuten R ∘ S {\displaystyle R\circ S} ). $R\circ S$

Ominaisuudet

Funktion koostumus voidaan osoittaa assosiatiiviseksi, mikä tarkoittaa, että:

f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h} $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Funktiokompositio ei kuitenkaan yleensä ole kommutatiivinen, mikä tarkoittaa, että:

f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f} $f\circ g\neq g\circ f$

Tämä näkyy myös ensimmäisessä esimerkissä, jossa (g ∘ f)(2) = 2*2 - 1 = 3 ja (f ∘ g)(2) = 2*(2-1) = 2.

Aiheeseen liittyvät sivut

Ketjusääntö

Kysymyksiä ja vastauksia

Kysymys: Mikä on funktion koostumus?

V: Funktion kompositio on tapa tehdä kahdesta muusta funktiosta uusi funktio ketjumaisen prosessin avulla.

K: Miten g:n arvo on koostettu f:n kanssa kirjoitettuna?

V: F:n kanssa koostetun g:n arvo kirjoitetaan (g ∘ f)(x), ja se määritellään g(f(x)).

Kysymys: Mitkä ovat esimerkkejä funktioista?

V: Esimerkkinä voisi olla funktio, joka kaksinkertaistaa luvun (kertoo sen kahdella) ja toinen, joka vähentää luvusta 1.

K: Mikä olisi esimerkki f:n kanssa muodostetusta g:stä?

V: Esimerkki f:n kanssa koostetusta g:stä olisi funktio, joka kaksinkertaistaa luvun ja sitten vähentää siitä 1:n. Eli (g ∘ f)(x)=2x-1.

K: Mikä olisi esimerkki f:stä, joka on muodostettu g:n kanssa?

V: Esimerkki g:n kanssa koostetusta f:stä olisi funktio, joka vähentää luvusta 1 ja sitten kaksinkertaistaa sen; eli (f ∘ g)(x)=2(x-1).

Kysymys: Voidaanko kompositio yleistää myös binäärisiin relaatioihin?

V: Kyllä, kompositio voidaan yleistää myös binäärisiin relaatioihin, jolloin se esitetään joskus samalla symbolilla (kuten R ∘ S).