Implikaatio (logiikka) — määritelmä, totuusarvot ja esimerkit

Implikaatio (tunnetaan myös nimellä looginen seuraus, implikoi tai jos ... niin) on looginen operaatio. Se ilmaisee väitteiden välisen suhteen siten, että väite Q seuraa loogisesti väitteestä P, kun implikaatio P → Q on tosi.

Määritelmä ja totuusarvot

Klassisessa kaksiarvoisessa logiikassa implikaatio P → Q on epätosi ja ainoastaan silloin kun P on tosi ja Q on epätosi. Muissa kaikissa tapauksissa P → Q on tosi. Tämä voidaan ilmaista myös yhtälöllä

P → Q ≡ ¬P ∨ Q.

Alkuperäinen teksti totesi asian lyhyesti: „Implikaatioita on kaksi. Se palauttaa väärän tuloksen, jos ja vain jos ensimmäinen termi on tosi ja toinen termi on epätosi.” Tässä tarkennus: kaksi viittaa totuusarvoihin (tosi/epätosi), ja implikaatio on epätosi jos ja vain jos antecedentti (ensimmäinen termi) on tosi ja konsekventti (toinen termi) on epätosi.

Totuustaulukko (neljä tapausta)

• P = tosi, Q = tosi → P → Q = tosi
• P = tosi, Q = epätosi → P → Q = epätosi
• P = epätosi, Q = tosi → P → Q = tosi
• P = epätosi, Q = epätosi → P → Q = tosi

Perusominaisuuksia ja päättelysääntöjä

• Vastine (contrapositive): P → Q on loogisesti ekvivalentti lauseen ¬Q → ¬P kanssa.
• Modus ponens: Jos P ja P → Q, niin voidaan pätevästi päätellä Q.
• Modus tollens: Jos ¬Q ja P → Q, niin voidaan päätellä ¬P.
• Transitiivisuus: Jos P → Q ja Q → R, niin P → R.
• Bikonditionaali: P ↔ Q tarkoittaa sekä P → Q että Q → P.

Esimerkkejä

• Luonnollinen kieli: "Jos sataa, kadut ovat märät." Jos todellisuudessa sataa ja kadut eivät ole märät, implikaatio on epätosi.
• Tyhjentävä totuus (vacuous truth): "Jos 2+2 = 5, niin minä olen kuningas." Koska 2+2 ≠ 5 (antecedentti on epätosi), koko implikaatio on klassisessa logiikassa tosi.
• Konsekventti tosi: "Jos tänään sataa, niin 1+1 = 2." Koska 1+1 = 2 on tosi, implikaatio on tosi riippumatta siitä sataako vai ei.

Paradoxit ja huomautuksia

Tämä voi olla ongelmallista, koska se tarkoittaa, että väärästä lauseesta voi seurata mitä tahansa: epätosi antecedentti tekee implikaation automaattisesti todeksi (vacuous truth). Tällainen tapaus poikkeaa usein luonnollisen kielen 'jos... niin' -ilmaisujen intuitiivisesta syy-seuraus-merkityksestä.

Erotetaan myös materiaaliimplikaatio (edellä kuvattu looginen operaatio) ja luonnollisen kielen ehdollinen ilmaus, jonka semantiikka ja konteksti voivat sisältää syy-seuraussuhteen, aikajärjestyksen tai relevanttiuden. Jos halutaan mallintaa vaikkapa syy- tai ehtosuhteita tarkemmin, voidaan käyttää muita loogisia järjestelmiä (esim. relevanttologiat, modaalilogiikka tai kausaalisuusmallit).

Muita merkintätapoja ja yhteydet

Implikaatiota merkitään yleisesti symboleilla → tai ⇒; vanhemmissa teksteissä saatetaan käyttää myös symbolia ⊃. Klassinen yhteys ¬P ∨ Q helpottaa implikaation käsittelyä Boolen algebrassa ja totuustaulukoissa.

Yhteenvetona: implikaatio on keskeinen käsite muodollisessa päättelyssä. Sen yksiselitteinen totuusarviointi tekee siitä tehokkaan työkalun matemaattisessa logiikassa, mutta sen tulkinnassa on syytä olla varovainen, kun siirrytään luonnollisen kielen ehtoihin ja syy-seuraussuhteisiin.

Hae kirjaimella