Logiikka on päättelyn tutkimusta. Logiikan säännöt auttavat muodostamaan ja arvioimaan argumentteja siten, että voimme tehdä päteviä ja luotettavia päätelmiä maailmasta. Logiikka kertoo, millä ehdoilla johtopäätös seuraa premisseistä ja auttaa arvioimaan, onko jokin väite totta vai epätotta — tai jääkö sen totuus arvailujen varaan.

Logiikan lajit ja käyttötarkoitukset

Logiikka voidaan jakaa useisiin alalajeihin riippuen siitä, mitä päättelymuotoa tai ilmaisukeinoja käytetään:

  • Deduktiivinen logiikka: johtopäätös seuraa premisseistä välttämättömästi; jos premissit ovat tosia ja päättely pätevää, myös johtopäätös on tosi. Esimerkiksi matemaattinen todistus on tyypillisesti deduktiivista.
  • Induktiivinen päättely: yleistykset havaintojen perusteella; johtopäätös on todennäköinen, mutta ei välttämätön.
  • Abduktiivinen päättely: parhaan selityksen etsiminen; usein käytetty tieteellisessä hypoteesien muodostuksessa.
  • Formaali logiikka: käyttää symbolikieltä (kuten propositionaalinen ja predikaattilogiikka) päättelyn muotojen ja niiden pätevyyden tarkkaan analyysiin.

Logiikkaa sovelletaan filosofiassa, matematiikassa, tietojenkäsittelytieteessä, oikeustieteessä ja arkipäiväisessä ajattelussa. Esimerkiksi algoritmien oikeellisuuden todistaminen ja loogiset lausekkeet ohjelmoinnissa perustuvat formeihin logiikan periaatteisiin.

Syllogismit

Logiikka kirjoitetaan usein syllogismeilla, jotka ovat yksi loogisen todistuksen tyyppi. Syllogismi muodostuu joukosta väitteitä, joiden avulla loogisesti todistetaan viimeinen väite, jota kutsutaan johtopäätökseksi. Yksi suosittu esimerkki loogisesta syllogismista on klassisen kreikkalaisen filosofin Aristoteleen kirjoittama:

  1. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia.
  2. Sokrates on mies.
  3. Sokrates on siis kuolevainen.

Tässä syllogismissa ensimmäistä lausetta kutsutaan usein pääpremissiksi (major premise) ja toista ala-premissiksi (minor premise). Termi, joka esiintyy molemmissa premisseissä mutta ei johtopäätöksessä, on keskuspäätelmän eli middle termin roolissa; tässä esimerkissä se on 'ihmiset' (tai tarkemmin: ihmisyyteen liittyvä luokka), joka yhdistää Sokratesta koko luokkaan.

Syllogismi muodostuu kolmesta loogisesta väittämästätaipropositiota. Nämä lausumat ovat lyhyitä lauseita, jotka kuvaavat pienen askeleen loogisessa väitteessä. Pienet lausumat muodostavat argumentin, kuten atomit muodostavat molekyylit. Kun logiikka on oikein, väitteiden sanotaan "seuraavan" toisistaan.

Validiteetti ja paikkansapitävyys

On tärkeää erottaa kaksi eri käsitettä:

  • Validiteetti (pätevyyys): argumentti on validi, jos johtopäätös seuraa premisseistä loogisesti riippumatta premissien totuudesta. Esimerkiksi: "Jos sataa, niin kadut kastuvat. Kadut kastuvat. Siis sataa." Tämä on epäpätevä muoto (vahvistetaan seuraus), vaikka premissit olisivat tosia tai epätosia.
  • Soundness (äänettömyys / pätevä + tosipremissit): argumentti on sound, jos se on sekä validi että kaikki premissit ovat tosia. Tällöin johtopäätös on varmasti tosi.

Esimerkki validista mutta epätodeksi johtopäätökseksi: "Kaikki linnut osaavat lentää. Pingviini on lintu. Siksi pingviini osaa lentää." Argumentti on loogisesti pätevä (jos premissit olisi totta, johtopäätös seuraisi), mutta ensimmäinen premissi on epätosi, joten argumentti ei ole sound.

Totuusarvot ja formaalinen esitys

Lausumilla on totuusarvo, mikä tarkoittaa, että ne voidaan todistaa joko oikeiksi tai vääriksi (tai joissain logiikan muodoissa mahdollisesti myös epäselviksi tai todennäköisiksi), mutta ei samaan aikaan sekä oikeiksi että vääriksi. Propositionaalisessa logiikassa lauseille annetaan totuusarvot ja niiden välisiä yhdistelmiä tutkitaan loogisilla konnektiiveilla kuten ja, tai, ei, jos... niin. Näitä yhdistelmiä voi tutkia totuusarvotaulukoilla, jotka näyttävät, miten kokonaisargumentin totuus riippuu osien totuusarvoista.

Predikaattilogiikka laajentaa tätä mallia kuvaamaan kvantifioituja väitteitä kuten "kaikki" ja "on olemassa", mikä tekee mahdolliseksi monimutkaisempien luonnolliskielen väitteiden formaalin analyysin.

Loogiset virheet

Epäloogisia väitteitä tai päättelyvirheitä kutsutaan loogisiksi virheiksi. Virheitä on monenlaisia. Tässä yleisimpiä esimerkkejä ja lyhyet selitykset:

  • Ad hominem: hyökätään väitteen esittäjää vastaan sen sijaan, että käsiteltäisiin väitettä itseään. Esim. "Älä usko tätä tutkimusta, koska tutkija on epäluotettava."
  • Olkiukko (straw man): väännetään vastustajan väite helpommin hyökättävään muotoon ja kaadetaan se. Esim. "Hän ehdotti sääntöjen uudistusta — hän haluaa lopettaa kaiken sääntöjen noudattamisen."
  • Väärennetty dikotomia (false dilemma): esitetään kaksi vaihtoehtoa ainoina mahdollisuuksina, vaikka muitakin on. Esim. "Olet joko meidän puolellamme tai aivan vihollisten."
  • Korelaatio ei tarkoita kausaatiota: kaksi asiaa voi esiintyä yhdessä ilman, että toinen aiheuttaa toisen.
  • Vahvistetaan seuraus (affirming the consequent): jos A → B ja B, ei välttämättä seuraa A. Esim. "Jos sataa, kadut kastuvat. Kadut ovat märät. Siis satoi." Märkyyden voi aiheuttaa myös muu syy.
  • Kielteinen edeltäjän kiistäminen (denying the antecedent): jos A → B ja ei-A, ei seuraa ei-B. Esim. "Jos on tulipalo, hälytin soi. Hälytin ei soi. Siis ei ole tulipalo." Hälytin voi olla rikki.
  • Kehäpäätelmä (circular reasoning): väite perustelee itseään saman väitteen avulla.

Oppiminen ja sovellukset

Logiikan opettelu kehittää kriittistä ajattelua ja auttaa tunnistamaan sekä pätevät että heikot argumentit arjessa ja asiantuntijaympäristöissä. Perusasioita, kuten premissien tunnistamista, johtopäätösten arviointia ja yleisten loogisten virheiden tunnistamista, voi harjoitella esimerkkien ja keskustelun avulla. Edistyneemmät aiheet sisältävät formaalin todistelun teoriat, päätelmien automaation tietokoneille ja logiikan sovellukset tekoälyssä ja ohjelmoinnissa.