Rinnakkaispostulaatti
Geometriassa yhdensuuntaisuuspostulaatti on yksi euklidisen geometrian aksioomista. Joskus sitä kutsutaan myös Eukleideen viidenneksi postulaatiksi, koska se on Eukleideen elementtien viides postulaatti.
Postulaatin mukaan:
Jos leikkaat viivapätkän kahdella viivalla ja viivojen muodostamat kaksi sisäkulmaa ovat yhteensä alle 180°, nämä kaksi viivaa kohtaavat lopulta, jos jatkat niitä tarpeeksi pitkään.
Geometrian alaa, joka noudattaa kaikkia Eukleideen aksioomia, kutsutaan euklidiseksi geometriaksi. Geometriaa, joka ei noudata kaikkia Eukleideen aksioomia, kutsutaan ei-euklidiseksi geometriaksi.
Jos sisäkulmien α (alfa) ja β (beeta) summa on pienempi kuin 180°, nämä kaksi suoraa leikkaavat toisensa jossain, jos molemmat on pidennetty äärettömään.
Historia
Joidenkin matemaatikkojen mielestä Eukleideen viides postulaatti oli paljon pidempi ja monimutkaisempi kuin neljä muuta postulaattia. Monet heistä ajattelivat, että se voitaisiin todistaa muiden yksinkertaisempien aksioomien perusteella. Jotkut matemaatikot ilmoittivat todistaneensa lauseen yksinkertaisemmista lauseista, mutta he kaikki osoittautuivat erehtyneiksi.
Playfairin aksiooma
Toinen uudempi lause, joka tunnetaan Playfairin aksiooman nimellä, muistuttaa Eukleideen viidettä postulaattia. Sen mukaan:
Jos on olemassa suora ja piste, joka ei ole tällä suoralla, voit piirtää tämän pisteen kautta vain yhden suoran, joka ei kohtaa toista suoraa.
Itse asiassa matemaatikot huomasivat, että tämä aksiooma ei ole vain samanlainen kuin Eukleideen viides postulaatti, vaan sillä on täsmälleen samat seuraukset. Matemaattisesti näitä kahta lausetta kutsutaan "ekvivalenttisiksi" lausekkeiksi. Nykyään matemaatikot käyttävät Playfairin aksioomaa useammin kuin Eukleideen alkuperäistä rinnakkaista postulaattia.
Epäeuklidinen geometria
Lopulta jotkut matemaatikot yrittivät rakentaa uusia geometrioita ilman aksioomaa. Erästä ei-euklidista geometriaa kutsutaan elliptiseksi geometriaksi. Elliptisessä geometriassa yhdensuuntaisuuspostulaatti on korvattu aksioomalla, jonka mukaan:
Jos on olemassa suora ja piste, joka ei ole tällä suoralla, et voi piirtää tämän pisteen kautta suoraa, joka ei lopulta risteäisi toisen suoran kanssa.
Matemaatikot huomasivat, että kun he korvasivat Eukleideen viidennen postulaatin tällä aksioomalla, he pystyivät silti todistamaan monet Eukleideen muista lauseista. Yksi tapa kuvitella elliptinen geometria on ajatella maapallon pintaa. Maapallolla pituuspiirien linjat näyttävät olevan yhdensuuntaisia päiväntasaajalla, mutta ne kohtaavat kaikki navoilla. 1800-luvun lopulla elliptinen geometria osoitettiin johdonmukaiseksi. Tämä osoitti, että Eukleideen viides postulaatti ei ollut riippumaton muista postulaateista. Tämän jälkeen matemaatikot lakkasivat enimmäkseen yrittämästä todistaa viidettä postulaattia muista neljästä postulaatista. Sen sijaan monet matemaatikot alkoivat tutkia muita geometrioita, jotka eivät noudata Eukleideen viidettä postulaattia.
Toinen aksiooma, jolla matemaatikot joskus korvaavat Eukleideen viidennen aksiooman, sanoo seuraavaa:
Kun on annettu suora ja piste, joka ei ole tällä suoralla, voit piirtää vähintään kaksi suoraa tämän pisteen kautta, jotka eivät lopulta risteä toisen suoran kanssa.
Tätä kutsutaan hyperboliseksi geometriaksi.
Toinen geometria yksinkertaisesti poistaa Eukleideen viidennen postulaatin eikä korvaa sitä millään. Tätä kutsutaan neutraaliksi geometriaksi tai absoluuttiseksi geometriaksi.
