Geometriassa yhdensuuntaisuuspostulaatti on yksi euklidisen geometrian aksioomista. Sitä kutsutaan myös usein Eukleideen viidenneksi postulaatiksi, koska se on Eukleideen elementtien viides postulaatti.

Postulaatin keskeinen muotoilu kuuluu:

Jos leikkaat viivapätkän kahdella viivalla ja viivojen muodostamat kaksi sisäkulmaa ovat yhteensä alle 180°, nämä kaksi viivaa kohtaavat lopulta, jos jatkat niitä tarpeeksi pitkään.

Mitä postulaatti tarkoittaa käytännössä?

Yksinkertaisesti sanottuna yhdensuuntaisuuspostulaatti kertoo, miten suorat käyttäytyvät tasossa: se määrää, milloin kaksi suoraa joutuvat kohtaamaan ja milloin ne eivät kohtaa (eli ovat yhdensuuntaisia). Postulaatin avulla voidaan johtaa useita yleisiä euklidisen geometrian ominaisuuksia, kuten kolmion kulmien summan olevan 180° ja sen, että pisteen kautta, joka ei kuulu annettuun suoraan, kulkee täsmälleen yksi suoralle yhdensuuntainen suora (Playfair’n aksiooma, ks. alla).

Vastineet ja ekvivalentit muotoilut

  • Playfair'n aksiooma: Pisteen kautta, joka ei kuulu annettuun suoraan, kulkee täsmälleen yksi suora, joka ei leikkaa kyseistä suoraa. Tämä muotoilu on loogisesti ekvivalentti Eukleideen viidennelle postulaatille ja sitä käytetään usein nykyaikaisissa aksioomajärjestelmissä.
  • Monia muita lausemuotoja on esitetty, esimerkiksi lauseita kolmion kulmien summasta tai suorille etäisyyteen liittyviä väittämiä — kaikki nämä ovat euklidisen postulaatin kanssa yhtäpitäviä.

Merkitys ja seuraukset

Yhdensuuntaisuuspostulaatin hyväksyminen tai hylkääminen vaikuttaa geometrian perustavanlaatuisiin ominaisuuksiin. Joitakin suoria seurauksia postulaatista euklidisessa geometriassa:

  • Kolmion sisäkulmien summa on 180°.
  • Jos kaksi suoraa ovat kummankin kulman suhteen täsmälleen yhtä kallistuneet kolmannen suoran suhteen, ne ovat toistensa kanssa yhdensuuntaiset.
  • Samankaltaisten kolmioiden ja yhdenmukaisten mittasuhteiden muodostuminen — monet geometriset konstruktiot ja mittasuhteet perustuvat tähän.

Historia ja riippumattomuus

Eukleides yritti Elementeissään todistaa viidennen postulaatin muista aksioomista, mutta yritykset epäonnistuivat. Vuosisatojen ajan matemaatikot epäilivät, olisiko postulaatti johdettavissa muista peruslauseista ja etsivät ristiriitoja. 1800-luvulla matemaatikot kuten Gauss, Nikolai Lobachevsky ja János Bolyai kehittivät itsenäisesti ei-euklidisia geometrioita, joissa viides postulaatti ei päde; näin osoitettiin, ettei postulaattia voi todistaa muista Eukleideen aksioomista ilman lisäoletuksia.

Myöhemmin Beltrami, Klein ja muut antoivat konkreettisia malleja (esim. Poincarén levy- ja puolitasamallit), jotka näyttivät ei-euklidisten geometrian järjestelmien olevan loogisesti yhdenmukaisia, jos euklidinen geometria on yhdenmukainen.

Ei-euklidiset vaihtoehdot

Kun viides postulaatti poistetaan tai korvataan jollain muulla väitteellä, syntyy ainakin kaksi selkeää vaihtoehtoa:

  • Hyperbolinen geometria: Pisteen kautta, joka ei kuulu annettuun suoraan, kulkee yli yksi suora, joka ei leikkaa kyseistä suoraa (eli äärettömän monta "paralleelia"). Tässä geometriassa kolmion kulmien summa on alle 180°.
  • Elliptinen (sferinen) geometria: Suorat (esim. pallon suurpiirit) leikkaavat aina, joten ei ole olemassa eriäviä "paralleeleja". Tässä kolmion kulmien summa on yli 180°.

Esimerkkinä elliptisestä tilanteesta toimii pallon pinta: suurpiirit (kuten maan päiväntasaaja ja pituuspiirit) kohtaavat aina, joten perinteistä yhdensuuntaisuutta ei ole.

Käyttö nykyajassa

Yhdensuuntaisuuspostulaatilla on yhä keskeinen rooli perusgeometriassa ja insinööritieteissä, mutta modernissa matematiikassa ja fysiikassa käytetään myös ei-euklidisia malleja. Esimerkiksi yleinen suhteellisuusteoria kuvaa avaruutta ja aikaa ei-euklidisella (kaarevalla) geometrialla, joten Eukleideen postulaatteja ei voida soveltaa suoraan avaruuden mittakaavassa.

Yhteenveto

Geometriassa yhdensuuntaisuuspostulaatti määrittelee, miten suorat kohtaavat tai pysyvät erillään tasossa. Se ei ole johdettavissa muista Eukleideen aksioomista, ja sen hyväksyminen tai korvaaminen johtaa erilaisiin geometrian lajeihin. Tästä syystä se on yksi matematiikan historiallisesti ja käsitteellisesti kiinnostavimmista aksioomista.

Geometriaa, joka noudattaa kaikkia Eukleideen aksioomia, kutsutaan euklidiseksi geometriaksi. Geometriaa, joka ei noudata kaikkia Eukleideen aksioomia, kutsutaan ei-euklidiseksi geometriaksi.