Euklidinen geometria | matematiikan järjestelmä
Euklidinen geometria on matematiikan järjestelmä. Eukleideen uskotaan olleen ensimmäinen, joka kuvasi sen, ja siksi se kantaa hänen nimeään. Hän kuvasi sen ensimmäisen kerran oppikirjassaan Elements. Kirja oli ensimmäinen systemaattinen keskustelu geometriasta sellaisena kuin se tuolloin tunnettiin. Kirjassa Eukleides esittää ensin muutamia aksioomia. Nämä muodostavat perustan myöhemmälle työlle. Ne ovat intuitiivisesti selkeitä. Näistä aksioomista lähtien voidaan todistaa muita teoreemoja.
1800-luvulla löydettiin muita geometrian muotoja. Nämä ovat ei-euklidista geometriaa. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai ja Nikolai Ivanovitš Lobatševski kehittivät tällaisia geometrioita. Hyvin usein näissä ei käytetä rinnakkaispostulaattia, vaan muita neljää aksioomaa.
Aksioomat
Eukleideus tekee seuraavat oletukset. Nämä ovat aksioomia, eikä niitä tarvitse todistaa.
- Mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää suoralla viivalla.
- Mikä tahansa suoran pätkä voidaan pidentää (jatkaa) äärettömään, jolloin siitä tulee suora.
- Suoralla on mahdollista piirtää ympyrä siten, että segmentin toinen päätepiste on ympyrän keskipiste ja toinen päätepiste on ympyrän päällä. Suorasta segmentistä tulee ympyrän säde.
- Kaikki suorat kulmat ovat yhtenevät
- Rinnakkainen postulaatti. Jos kaksi suoraa leikkaa kolmannen siten, että toisen puolen sisäkulmien summa on pienempi kuin kaksi suoraa kulmaa, näiden kahden suoran on väistämättä leikattava toisensa kyseisellä puolella, jos niitä jatketaan riittävän pitkälle.
Status
Euklidinen geometria on ensimmäisen asteen teoria. Sen avulla voidaan tehdä ja todistaa lauseita kuten Kaikille kolmioille.... Sellaiset lausumat kuin Kaikille kolmioiden joukoille... eivät kuulu teorian piiriin.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mitä on euklidinen geometria?
A: Euklidinen geometria on matematiikan järjestelmä, jonka Eukleideus kuvasi ensimmäisen kerran oppikirjassaan Elements. Se koostuu muutamasta aksioomasta, jotka muodostavat perustan myöhemmille töille, ja näistä aksioomista voidaan todistaa muita teoreemoja.
K: Kuka kirjoitti Elementit?
V: Eukleides kirjoitti Elements, joka oli ensimmäinen systemaattinen keskustelu geometriasta, sellaisena kuin se tuolloin tunnettiin.
K: Mitkä ovat esimerkkejä ei-euklidisesta geometriasta?
V: Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai ja Nikolai Ivanovitš Lobatševski kehittivät 1800-luvulla ei-euklidisia geometrioita. Niissä ei useinkaan käytetä rinnakkaispostulaattia, vaan ne tukeutuvat pikemminkin neljään muuhun aksioomaan.
Kysymys: Mitä Elements käsittelee?
V: Elements käsittelee geometriaa sellaisena kuin se tuolloin tunnettiin, ja se tarjoaa järjestelmällisen keskustelun siitä.
K: Kuinka monta aksioomaa euklidisessa geometriassa on?
V: Eukleideen geometriassa on muutama aksiooma, jotka muodostavat perustan myöhemmälle työlle.
K: Kuka kehitti ei-euklidisen geometrian?
V: Epäeuklidisen geometrian kehittivät Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai ja Nikolai Ivanovich Lobachevsky 1800-luvulla.
K: Käytetäänkö ei-euklidisessa geometriassa kaikkia viittä aksioomaa vai vain neljää?
V: Epäeuklidinen geometria ei useinkaan käytä yhdensuuntaisuuspostulaattia, vaan luottaa vain neljään viidestä aksioomastaan.
