Eukleideen alkeet (joskus: The Elements, kreikaksi Στοιχεῖα Stoicheia) on laaja ja systemaattinen kokoelma matematiikan tekstejä, jotka käsittelevät erityisesti geometriaa. Teos on perinteisesti liitetty antiikin Kreikan matemaatikkoon Eukleideen (aktiivinen noin 300 eaa.), joka kirjoitti sen Aleksandriassa (Egyptissä) noin 300 eaa. Sarja muodostuu 13 nidettä eli jaksoa (usein numeroituna kirjat I–XIII), ja se on käännetty muun muassa latinaksi nimellä "Euclidis Elementorum". Elements on yksi vaikutusvaltaisimmista antiikin matemaattisista teksteistä ja on vaikuttanut matematiikan opetukseen ja ajatteluun vuosisatojen ajan.

Eukleides kokosi yhteen kaiken sen, mitä hänen aikanaan tiedettiin geometriasta, ja esitti sen järjestelmällisenä, deduktiivisena rakennelmana. Hänen elementtinsä on antiikin geometrian tärkein lähde, ja Eukleideen pohjalta laadittuja oppikirjoja on käytetty opetuksessa pitkään. Kirjassa lähdetään liikkeelle rajoitetusta joukosta perusmääritelmiä, aksioomia (postulaatteja) ja yleisiä havaintoja (ns. common notions). Näiden oletusten pohjalta Eukleides johtaa loogisesti lukuisia lauseita ja todistuksia, jotka koskevat geometristen kappaleiden muotoja, suhteita ja mittoja sekä joidenkin osien perusteella myös lukuja ja niiden ominaisuuksia.

Elements ei rajoitu pelkkään tasogeometriaan: teoksesta löytyy myös luvun teoriaa, perspektiivin periaatteita, kirjaimia kartioleikkauksista (kartioleikkauksista), pallogeometriaa sekä aineksia kolmiulotteisesta geometriasta ja niin kutsutuista kvadrisista pinnoista. Geometrian ohella erityisesti kirjat VII–IX käsittelevät lukuteoriaa: niissä esiintyvät mm. alkulukujen käsite, täydelliset luvut ja menetelmiä lukujen jakamiseen. Eukleides esittelee myös sen kuuluisan algoritmin, josta kehittyi myöhemmin niin kutsuttu Eukleideen algoritmi suurimman yhteisen jakajan löytämiseen. Kahden luvun suurin yhteinen jakaja on suurin luku, joka voi jakaa tasan molemmat luvut.

Kirjan rakenne perustuu määritelmiin, viiteen peruspostulaattiin ja yleisiin käsityksiin, joiden perusteella esitetään ja todistetaan lukuisia proposioita. Erityisesti viides postulaatti, ns. paralleelipostulaatti, herätti vuosisatojen ajan runsaasti keskustelua, koska se tuntui vähemmän itsestään selvältä kuin muut postulaatit. Tämä lopulta johti 1800-luvulla ei-euklidisten geometrioiden löytämiseen, kun matemaatikot huomasivat, että viidennen postulaatin korvaaminen muilla oletuksilla tuottaa loogisesti johdonmukaisia mutta Eukleideesta poikkeavia geometrioita — näin syntyivät esimerkiksi hyperbolinen ja ellipsinen geometria.

Tärkeimpiä piirteitä ja saavutuksia Elementsissä:

  • Selkeä aksioomaattinen ja deduktiivinen lähestymistapa, joka vaikutti käsityksiin matemaattisesta todistamisesta.
  • Systemaattinen käsittely tasogeometriasta, kolmiulotteisesta geometriasta ja lukuteoriasta.
  • Tärkeitä tuloksia kuten Eukleideen algoritmi ja klassinen todistus alkulukujen äärettömyydestä (kirjassa näkyviä ajatuksia lukujen rakenteesta).
  • Käytännön sovelluksia arkkitehtuurissa, tähtitieteessä ja insinööritieteissä kautta historian.

Elementsin teksti ei ole yksiselitteisesti Eukleideen persoonallisen tuotannon täydellinen varmuus: nykykriittinen tutkimus katsoo teoksen sisältävän myös vanhempaa ja samanaikaista materiaalia, sekä myöhempiä lisäyksiä ja kommentteja. Myöhemmät antiikin ja keskiajan kommentaattorit (kuten Proklos) selvensivät ja laajensivat tekstiä, ja teos tunnettiin laajalti myös arabimaailmassa ja keskiajan Euroopassa. Vuosisatojen aikana Elements julkaistiin lukuisina käsikirjoituksina, käännöksinä ja painoksina; merkittäviä modernin ajan kommentaareja ja käännöksiä on tehnyt mm. Sir Thomas Heath (englanninkielinen laaja käännös ja selitykset 1900-luvun alussa).

Vaikutus matematiikan opetukseen ja tieteelliseen ajatteluun on ollut valtava: Eukleideen malli aksioomaattisesta päättelystä toimii yhä perustavana esimerkkinä matemaattisesta järjestelystä ja loogisesta todistamisesta. Samalla Elements toimii historiallisena lähteenä, josta voi seurata, miten geometria, lukuteoria ja matemaattinen formaalius muotoutuivat antiikin ja keskiajan aikana.

Tänään järjestelmää, jonka Elements esittelee, kutsutaan erikseen euklidiseksi geometriaksi, jotta se voidaan erottaa 1800-luvulla löydetyistä niin sanotuista ei-euklidisista geometrioista, jotka osoittivat, että eri postulaattivalinnoilla syntyy loogisesti erilaisia mutta konsistentteja geometrioita. Elements pysyy kuitenkin keskeisenä historiallisena ja opetuksellisena teoksena, josta moderni geometrinen ajattelu on kehittynyt.