Eukleideen Alkeet — perusteos euklidisesta geometriasta ja lukuteoriasta
Eukleideen Alkeet — perusteos euklidisesta geometriasta ja lukuteoriasta: 13 nidettä, aksioomat, todistukset ja ajaton vaikutus matematiikkaan.
Eukleideen alkeet (joskus: The Elements, kreikaksi Στοιχεῖα Stoicheia) on laaja ja systemaattinen kokoelma matematiikan tekstejä, jotka käsittelevät erityisesti geometriaa. Teos on perinteisesti liitetty antiikin Kreikan matemaatikkoon Eukleideen (aktiivinen noin 300 eaa.), joka kirjoitti sen Aleksandriassa (Egyptissä) noin 300 eaa. Sarja muodostuu 13 nidettä eli jaksoa (usein numeroituna kirjat I–XIII), ja se on käännetty muun muassa latinaksi nimellä "Euclidis Elementorum". Elements on yksi vaikutusvaltaisimmista antiikin matemaattisista teksteistä ja on vaikuttanut matematiikan opetukseen ja ajatteluun vuosisatojen ajan.
Eukleides kokosi yhteen kaiken sen, mitä hänen aikanaan tiedettiin geometriasta, ja esitti sen järjestelmällisenä, deduktiivisena rakennelmana. Hänen elementtinsä on antiikin geometrian tärkein lähde, ja Eukleideen pohjalta laadittuja oppikirjoja on käytetty opetuksessa pitkään. Kirjassa lähdetään liikkeelle rajoitetusta joukosta perusmääritelmiä, aksioomia (postulaatteja) ja yleisiä havaintoja (ns. common notions). Näiden oletusten pohjalta Eukleides johtaa loogisesti lukuisia lauseita ja todistuksia, jotka koskevat geometristen kappaleiden muotoja, suhteita ja mittoja sekä joidenkin osien perusteella myös lukuja ja niiden ominaisuuksia.
Elements ei rajoitu pelkkään tasogeometriaan: teoksesta löytyy myös luvun teoriaa, perspektiivin periaatteita, kirjaimia kartioleikkauksista (kartioleikkauksista), pallogeometriaa sekä aineksia kolmiulotteisesta geometriasta ja niin kutsutuista kvadrisista pinnoista. Geometrian ohella erityisesti kirjat VII–IX käsittelevät lukuteoriaa: niissä esiintyvät mm. alkulukujen käsite, täydelliset luvut ja menetelmiä lukujen jakamiseen. Eukleides esittelee myös sen kuuluisan algoritmin, josta kehittyi myöhemmin niin kutsuttu Eukleideen algoritmi suurimman yhteisen jakajan löytämiseen. Kahden luvun suurin yhteinen jakaja on suurin luku, joka voi jakaa tasan molemmat luvut.
Kirjan rakenne perustuu määritelmiin, viiteen peruspostulaattiin ja yleisiin käsityksiin, joiden perusteella esitetään ja todistetaan lukuisia proposioita. Erityisesti viides postulaatti, ns. paralleelipostulaatti, herätti vuosisatojen ajan runsaasti keskustelua, koska se tuntui vähemmän itsestään selvältä kuin muut postulaatit. Tämä lopulta johti 1800-luvulla ei-euklidisten geometrioiden löytämiseen, kun matemaatikot huomasivat, että viidennen postulaatin korvaaminen muilla oletuksilla tuottaa loogisesti johdonmukaisia mutta Eukleideesta poikkeavia geometrioita — näin syntyivät esimerkiksi hyperbolinen ja ellipsinen geometria.
Tärkeimpiä piirteitä ja saavutuksia Elementsissä:
- Selkeä aksioomaattinen ja deduktiivinen lähestymistapa, joka vaikutti käsityksiin matemaattisesta todistamisesta.
- Systemaattinen käsittely tasogeometriasta, kolmiulotteisesta geometriasta ja lukuteoriasta.
- Tärkeitä tuloksia kuten Eukleideen algoritmi ja klassinen todistus alkulukujen äärettömyydestä (kirjassa näkyviä ajatuksia lukujen rakenteesta).
- Käytännön sovelluksia arkkitehtuurissa, tähtitieteessä ja insinööritieteissä kautta historian.
Elementsin teksti ei ole yksiselitteisesti Eukleideen persoonallisen tuotannon täydellinen varmuus: nykykriittinen tutkimus katsoo teoksen sisältävän myös vanhempaa ja samanaikaista materiaalia, sekä myöhempiä lisäyksiä ja kommentteja. Myöhemmät antiikin ja keskiajan kommentaattorit (kuten Proklos) selvensivät ja laajensivat tekstiä, ja teos tunnettiin laajalti myös arabimaailmassa ja keskiajan Euroopassa. Vuosisatojen aikana Elements julkaistiin lukuisina käsikirjoituksina, käännöksinä ja painoksina; merkittäviä modernin ajan kommentaareja ja käännöksiä on tehnyt mm. Sir Thomas Heath (englanninkielinen laaja käännös ja selitykset 1900-luvun alussa).
Vaikutus matematiikan opetukseen ja tieteelliseen ajatteluun on ollut valtava: Eukleideen malli aksioomaattisesta päättelystä toimii yhä perustavana esimerkkinä matemaattisesta järjestelystä ja loogisesta todistamisesta. Samalla Elements toimii historiallisena lähteenä, josta voi seurata, miten geometria, lukuteoria ja matemaattinen formaalius muotoutuivat antiikin ja keskiajan aikana.
Tänään järjestelmää, jonka Elements esittelee, kutsutaan erikseen euklidiseksi geometriaksi, jotta se voidaan erottaa 1800-luvulla löydetyistä niin sanotuista ei-euklidisista geometrioista, jotka osoittivat, että eri postulaattivalinnoilla syntyy loogisesti erilaisia mutta konsistentteja geometrioita. Elements pysyy kuitenkin keskeisenä historiallisena ja opetuksellisena teoksena, josta moderni geometrinen ajattelu on kehittynyt.
Sir Henry Billingsleyn Eukleideen elementtien ensimmäisen englanninkielisen version nimiölehti vuodelta 1570.
Lisätty niteet XIV ja XV
Muinaisina aikoina kirjoituksia liitettiin toisinaan kuuluisille kirjoittajille, mutta ne eivät olleet heidän kirjoittamiaan. Tällä tavoin elementtien apokryfikirjat XIV ja XV sisällytettiin joskus kokoelmaan. Väärennetyn kirjan XIV kirjoitti luultavasti Hypsikles Pergalaisen Apolloniuksen tutkielman pohjalta. Kirjassa jatketaan Eukleideen vertailua palloihin kirjoitetuista säännöllisistä kiinteistä kappaleista. Tärkein tulos on, että samaan palloon kirjoitettujen dodekaedrin ja ikosaedrin pintojen suhde on sama kuin niiden tilavuuksien suhde.
Epäaidon kirjan XV on todennäköisesti ainakin osittain kirjoittanut Isidore Miletolainen. Tässä kirjassa käsitellään muun muassa säännöllisten kappaleiden särmien ja avaruuskulmien lukumäärän laskemista sekä reunalla kohtaavien pintojen kaksipuolisten kulmien mittaamista.
Editions
- 1460-luku, Regiomontanus (epätäydellinen)
- 1533, Simon Grynäuksen toimittama editio princeps.
- 1557, kirjoittaneet Jean Magnien ja Pierre de Montdoré, tarkistanut Stephanus Gracilis (vain ehdotukset, ei täydellisiä todisteita, sisältää alkuperäisen kreikan kielen ja latinankielisen käännöksen).
- 1572, Commandinus
- 1574, Christoph Clavius
Käännökset
- 1505, Bartolomeo Zamberti (latina).
- 1543, Venturino Ruffinelli (italialainen)
- 1555, Johann Scheubel (saksa)
- 1557, Jean Magnien ja Pierre de Montdoré, tarkistanut Stephanus Gracilis (kreikasta latinaan).
- 1562, Jacob Kündig (saksa)
- 1564, Pierre Forcadel de Béziers (ranska)
- 1570, Henry Billingsley (englanti)
- 1576, Rodrigo de Zamorano (Espanja)
- 1594, Typografia Medicea (Nasir al-Din al-Tusin arabiankielisen käännöksen painos).
- 1607, Matteo Ricci, Xu Guangqi (kiinalainen).
- 1660, Isaac Barrow (englanti)
- 1720-luku Jagannatha Samrat (sanskritin kieli, perustuu Nasir al-Din al-Tusin arabian käännökselle).
- 1738, Ivan Satarov (venäjäksi ranskasta)
- 1780, Baruch Ben-Yaakov Mshkelab (heprea).
- 1807, Józef Czech (puolaksi kreikan-, latinan- ja englanninkielisten painosten pohjalta).
Tällä hetkellä painossa
Eukleideen elementit - Kaikki kolmetoista kirjaa yhdessä niteessä, perustuu Heathin käännökseen, Green Lion Press, ISBN 978-1-888009-18-7.
Elementit: Thomas Heathin kääntämä, Barnes & Noble, ISBN 978-0-7607-6312-4.
Italialainen jesuiitta Matteo Ricci (vasemmalla) ja kiinalainen matemaatikko Xu Guangqi (oikealla) julkaisivat Eukleideen elementtien (幾何原本) kiinalaisen painoksen vuonna 1607.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Kuka kirjoitti Eukleideen elementit?
A: Eukleides (n. 325 eaa-265 eaa), antiikin kreikkalainen matemaatikko, kirjoitti Eukleideen alkeet.
K: Milloin se kirjoitettiin?
V: Se kirjoitettiin Aleksandriassa, Egyptissä noin 300 eaa.
K: Mikä on Eukleideen elementtien latinankielisen käännöksen nimi?
V: Eukleideen elementtien latinankielisen käännöksen nimi on "Euclidis Elementorum".
K: Mitä aiheita kirjassa käsitellään?
V: Kirjassa käsiteltyjä aiheita ovat geometria, perspektiivi, kartioleikkaukset, pallogeometria, kvadriset pinnat ja lukuteoria.
K: Mitä Eukleides tekee pienellä joukolla aksioomia?
V: Eukleides osoittaa pienellä joukolla aksioomia geometristen kappaleiden ja kokonaislukujen ominaisuudet.
K: Mikä on suurin yhteinen jakaja?
V: Suurin yhteinen jakaja (GCD) on suurin luku, joka voi jakaa tasan kaksi annettua lukua.
K: Miten nykyiseen geometriseen järjestelmään viitataan verrattuna siihen, mitä antiikin aikana kutsuttiin "geometriaksi"?
V: Nykyistä geometrista järjestelmää kutsutaan euklidiseksi geometriaksi, jotta se voitaisiin erottaa muista ei-euklidisista geometrioista, jotka matemaatikot löysivät 1800-luvulla.
Etsiä