Riemannin summa – määritelmä ja yhteys integraaliin
Matematiikassa Riemannin summa on summa, joka on approksimaatio kuvaajan käyrän alapuolelle jäävälle kokonaispinta-alalle. Aluetta voidaan kutsua integraaliksi. Sitä voidaan käyttää myös integrointioperaation määrittelyyn. Summa on nimetty saksalaisen matemaatikon Bernhard Riemannin mukaan.
Määritelmä
Olkoon f määritelty ja rajattu välillä [a,b]. Valitaan jaollinen ositus (partition) P = {x0, x1, ..., xn} siten, että a = x0 < x1 < ... < xn = b. Merkitään Δxi = xi − xi−1 ja valitaan kunkin välin [xi−1, xi] sisälle näytepunkti ti (ti ∈ [xi−1, xi]). Tällöin Riemannin summa on
S(P,f,(ti)) = sum_{i=1}^n f(ti) Δxi.
Tässä summa riippuu osituksesta P ja valituista näytepunktien ti paikoista. Osituksen "karkeus" eli hienous mitataan normilla (mesh) ||P|| = max_i Δxi.
Riemann-integraali ja raja-arvo
Jos Riemannin summien S(P,f,(ti)) raja-arvo olemassaolon ja näytteiden valinnasta riippumattomana lähestyy tiettyä arvoa I aina kun ||P|| → 0 (eli ositukset muuttuvat mielivaltaisen hienoiksi), sanotaan f:n olevan Riemannin integroituvainen välillä [a,b] ja määritellään
I = int_a^b f(x) dx = lim_{||P||→0} S(P,f,(ti)).
Tämä raja-arvo on yhtä kuin alueen käyrän alapuolella oleva pinta-ala (mielellään signoinnin mukaan, jos f voi olla negatiivinen).
Ylä- ja alasummat (Darboux) ja ehto integroituvuudelle
Toinen samanlainen tapa tarkastella integroituvuutta on käyttää Darboux'n ylä- ja alasummia. Määritellään kullakin osituksella P
L(f,P) = sum_{i=1}^n m_i Δxi, missä m_i = inf{f(x): x ∈ [xi−1, xi]},
U(f,P) = sum_{i=1}^n M_i Δxi, missä M_i = sup{f(x): x ∈ [xi−1, xi]}.
Funktio f on Riemannin integroituvainen, jos sup_P L(f,P) = inf_P U(f,P). Tämä yhteinen arvo on integraali.
Esimerkkejä ja numeeriset menetelmät
Yksinkertainen esimerkki: f(x)=x välillä [0,1]. Otetaan tasavälinen ositus xi = i/n ja valitaan oikeat päätepisteet ti = xi. Silloin
S_n = sum_{i=1}^n (i/n) · (1/n) = (1/n^2) · sum_{i=1}^n i = (1/n^2) · n(n+1)/2 = (n+1)/(2n) → 1/2, kun n → ∞. Näin integraaliksi saadaan 1/2.
Käytännössä Riemannin summat antavat erilaisia numeerisia approksimaatiomenetelmiä: vasen ja oikea pisteapproksimaatio, keskipiste-, trapetsimenetelmä ja monet muut. Trapetsimenetelmä ei ole suoraan Riemannin summa, mutta se liittyy läheisesti keskipiste- ja päätepistemenetelmiin ja parantaa usein tarkkuutta.
Käyttö ja rajoitukset
Riemannin summa tarjoaa intuitiivisen tavan nähdä, miten integraali muodostuu pinta-alojen summana. Kuitenkin kaikki funktiot eivät ole Riemannin integroituvia (esimerkiksi liian epäjärjestäytyneet tai epäjatkuvat funktiot voivat epäonnistua). Usein analyysissa käytetään Lebesguen-integraalia laajempien luokkien käsittelyyn, mutta monissa sovelluksissa Riemannin integraali riittää.
Määritelmä
Alue = ∑ i = 1 n f ( y i ) ( x i - x i - 1 ) {\displaystyle {\text{Area}}=\sum _{i=1}^{n}f(y_{i})(x_{i}-x_{i-1})} 
Jaat vaakasuoran pituuden sen funktion osan alla, jonka haluat arvioida, "n" yhtä suureen osaan. Eli n on Σ:n (kreikkalaisen kirjaimen sigma) päällä. (xi -xi-1 ) edustaa yhden vaakasuoran segmentin kokoa, joka syntyy jakamalla kokonaisuus "n":llä. F(yi ) on y-arvo "n"-segmentissä. Koska suorakulmion pinta-ala on pituus × leveys, xi ja f(yi ) kertolasku on suorakulmion pinta-ala kyseisessä kuvaajan osassa. Σ tarkoittaa, että laskemme yhteen kaikki nämä pienet suorakulmiot saadaksemme approksimaation funktion segmentin alaisesta pinta-alasta.
