Integraali määritelmä ja laskennan perusteet

Laskennassa integraali on yhtälön kuvaajan alapuolella oleva tila (joskus käytetään myös nimitystä "käyrän alapuolella oleva alue"). Integraali on derivaatan kääntöpuoli ja differentiaalilaskennan vastakohta. Derivaatta on käyrän jyrkkyys (tai "kaltevuus") eli muutosnopeus. Sanaa "integraali" voidaan käyttää myös adjektiivina, joka tarkoittaa "kokonaislukuihin liittyvää".

Mitä integraali tarkoittaa käytännössä

Yksinkertaisimmillaan integraali kuvaa sitä, kuinka paljon pinta-alaa tai muuta kertynyttä määrää funktion kuvaaja kattaa. Määrätty integraali välillä a–b antaa funktion ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alan (positiivinen alue antaa positiivisen arvon, negatiivinen osa voi antaa negatiivisen arvon — integraali on siis allekirjoitettu eli "signed area"). Epämääräinen integraali eli antiderivaatta puolestaan tarkoittaa kaikkia funktioita, joiden derivaatta on alkuperäinen funktio; tähän liittyy vakio C, ns. integraation vakio.

Merkintä ja historia

Integroinnin symboli laskennassa on: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}}} $\int _{\,}^{\,}$ — pitkä S-kirjain, joka juontuu latinan sanasta summa. Tätä symbolia käytti ensimmäisen kerran Gottfried Wilhelm Leibniz, joka työssään korosti integraalin yhteyttä summaukseen (eli pienten osien yhteenlaskemiseen).

Yhteys derivaattaan: laskennan peruslause

Integraalien ja derivaattojen välinen keskeinen yhteys on laskennan peruslause. Se kertoo kaksi asiaa:

Jos F on funktion f antiderivaatta (F' = f), niin määrätty integraali välillä a–b on F(b) − F(a). Tämä mahdollistaa integraalin laskemisen funktiota integroimalla sen antiderivaataksi.
Jos g(x) = ∫_a^x f(t) dt, niin g'(x) = f(x). Eli määrätty integraali funktion ylärajaan asti riippuvana muuttujana palautuu derivaatalla alkuperäiseen integrandin arvoon.

Tämän vuoksi integraali nähdään usein derivaatan "kumppanina" tai käänteisoperaationa.

Riemannin summa: integraalin määritelmä

Konreettinen tapa ajatella integraalia on Riemannin summa: alue välillä a–b jaetaan pieniksi osaväleiksi, valitaan jokaiselta välistä pituuden dx verran leveä pystysuora palkki, arvioidaan funktion arvo kussakin palkissa ja lasketaan näiden palkkien pinta-alat yhteen. Kun jaon osien määrä kasvaa ja palkkien leveydet lähestyvät nollaa, summa lähestyy raja-arvoa — se on integraali. Tämä ajatustapa toimii integraalin tiukan määritelmän pohjana.

Esimerkki: nopeudesta etäisyyteen

Integrointi on hyödyllinen yksiköiden muuntamisessa ja fysikaalisten suureiden laskemisessa. Jos nopeus on funktiona ajasta (esim. v(t) = distance/time), niin etäisyys saadaan integroimalla nopeuden suhteen aikaan. Tekstissä esiintyy tämä kuvaus:

Jos esimerkiksi ongelma, jossa on nopeus, ( etäisyys aika ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ tarvitsee vastauksen, jossa on vain etäisyys, yksi ratkaisu on integroida ajan suhteen. Tämä tarkoittaa, että kerrotaan ajalla ajan kumoamiseksi ( etäisyys aika ) × aika {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Käytännössä tämä vastaa pienten aikavälien aikana kuljettujen matkojen summaamista.

Antiderivaatta ja integraation perussäännöt

Epämääräinen integraali merkitään yleensä ∫ f(x) dx ja tarkoittaa kaikkia funktioita F(x), joiden derivaatta on f(x). Kirjoitetaan F(x) + C, missä C on integraation vakio. Joitakin perussääntöjä:

∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (kun n ≠ −1).
∫ c·f(x) dx = c·∫ f(x) dx (vakion voi viedä integroitavan ulkopuolelle).
∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx (lineaarisuus).

Edistyneempiä menetelmiä ovat esimerkiksi muuttujan vaihto (substituutio), osittaisintegrointi sekä taulukoihin perustuva integrointi ja osittaisfraktioiden käyttö rationaalifunktioille. On myös epäoleellisia integraaleja, joissa integraalirajat ulottuvat äärettömyyteen tai integrandin arvo singulaariselle kohdalle; näissä arvioidaan raja-arvoja.

Sovelluksia

Integraatiota käytetään laajasti matematiikassa ja sovelluksissa:

Pinta-alojen laskeminen käyrien välille.
Tilavuuden laskeminen kappaleille, kun kappaletta rakennetaan lisäämällä pieniä kaksiulotteisia viipaleita yhteen — tekstissä tämä kuvataan seuraavasti: integroinnista on hyötyä myös silloin, kun etsitään kiinteän aineen tilavuutta. Se voi lisätä kaksiulotteisia (ilman leveyttä) viipaleita kiinteästä aineesta yhteen ikuisesti, kunnes on leveys. Tämä tarkoittaa, että kappaleella on nyt kolme ulottuvuutta: alkuperäiset kaksi ja leveys. Näin saadaan kuvatun kolmiulotteisen kappaleen tilavuus.
Fysiikassa esimerkiksi työ, energia ja kokonaismomentti lasketaan integraaleina.
Todennäköisyyslaskennassa tiheysfunktoreista saadaan kertymiä integraaleilla.

Yhteenveto

Integraali on laskennassa keskeinen käsite, jonka voi ajatella pienten osien summana, joka antaa kokonaisuuden (pinta-alan, tilavuuden, kertymän tms.). Sillä on tiivis yhteys derivaattaan laskennan peruslauseen kautta. Opettelemalla sekä integraalin määritelmän Riemannin summan kautta että antiderivaattojen laskusäännöt, voi ratkaista monia käytännön ja teoreettisia ongelmia.

Lisälukemiseksi kannattaa perehtyä määrättyihin ja epämääräisiin integraaleihin, laskennan peruslauseen todistukseen sekä yleisiin integrointimenetelmiin kuten substituutioon ja osittaisintegrointiin.

Integroinnissa on kyse pinnan s löytämisestä, kun on annettu a, b ja y = f(x). Integraalin kaava a:sta b:hen, joka on piirretty edellä, on:
Kaava: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Mikä on integraali (animaatio)

Integrointimenetelmät

Antiderivaatta

Laskennan perusteorian mukaan integraali on antiderivaatta.

Jos otamme funktion 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ esimerkiksi ja eriytämme sen, voimme sanoa, että funktion 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ integraali on x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ . Sanomme integraali, emme integraali, koska funktion antiderivaatta ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ differentioituu myös 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Tämän vuoksi antiderivaatan ottamisessa on lisättävä vakio C. Tätä kutsutaan epämääräiseksi integraaliksi. Tämä johtuu siitä, että kun funktion derivaatta löydetään, vakio on 0, kuten funktiossa

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Huomaa 0: emme voi löytää sitä, jos meillä on vain derivaatta, joten integraali on muotoa

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Yksinkertaiset yhtälöt

Yksinkertainen yhtälö, kuten y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , voidaan integroida x:n suhteen seuraavalla tekniikalla. Integroimiseksi lisätään 1 siihen potenssiin, johon x korotetaan, ja jaetaan sitten x tämän uuden potenssin arvolla. Näin ollen normaalin yhtälön integrointi noudattaa seuraavaa sääntöä: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Lopussa oleva d x {\displaystyle dx} $dx$ osoittaa, että integroimme x:n suhteen, eli kun x muuttuu. Tämä voidaan nähdä differentioinnin käänteislukuna. Integroinnin yhteydessä lisätään kuitenkin vakio C. Tätä kutsutaan integrointivakioksi. Tämä on tarpeen, koska kokonaisluvun differentioiminen johtaa nollaan, joten nollan integroiminen (joka voidaan laittaa minkä tahansa integraalin loppuun) tuottaa kokonaisluvun C. Tämän kokonaisluvun arvo löydetään käyttämällä annettuja ehtoja.

Yhtälöt, joissa on useampi kuin yksi termi, integroidaan yksinkertaisesti integroimalla kukin yksittäinen termi:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C+} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrointi e:n ja ln:n avulla

Integrointiin e:n ja luonnollisen logaritmin avulla on olemassa tietyt säännöt. Tärkeintä on, että e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ on itsensä integraali (johon on lisätty integrointivakio): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Luonnollinen logaritmi, ln, on hyödyllinen integroitaessa yhtälöitä, joissa on 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Niitä ei voi integroida yllä olevalla kaavalla (lisää yksi potenssiin, jaa potenssilla), koska lisäämällä yksi potenssiin saadaan 0, eikä jakaminen 0:lla ole mahdollista. Sen sijaan integraali 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ on ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Yleisemmässä muodossa: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C}} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Kaksi pystypalkkia osoitti absoluuttista arvoa; f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) :n (positiivinen tai negatiivinen) merkki jätetään huomiotta. Tämä johtuu siitä, että negatiivisille luvuille ei ole olemassa luonnollisen logaritmin arvoa.

Ominaisuudet

Funktioiden summa

Funktioiden summan integraali on kunkin funktion integraalien summa, toisin sanoen,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Todiste tästä on suoraviivainen: Integraalin määritelmä on summien raja-arvo. Näin ollen

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Huomaa, että molemmilla integraaleilla on samat rajat.

Integroinnin vakiot

Kun vakio on integraalissa funktion kanssa, vakio voidaan ottaa pois. Lisäksi kun vakio c ei ole funktion kanssa integraalissa, sen arvo on c * x. Toisin sanoen,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ ja

Tämä voidaan tehdä vain vakion avulla.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Todistus tapahtuu jälleen integraalin määritelmän avulla.

Muut

Jos a, b ja c ovat järjestyksessä (eli toistensa jälkeen x-akselilla), f(x):n integraali pisteestä a pisteeseen b plus f(x):n integraali pisteestä b pisteeseen c on yhtä suuri kuin integraali pisteestä a pisteeseen c. Toisin sanoen,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ jos ne ovat järjestyksessä. (Tämä pätee myös silloin, kun a, b, c eivät ole järjestyksessä, jos määritellään ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .).

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Tämä seuraa laskennan perusteoriaa (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx}} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Jälleen FTC:n mukaisesti: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Kysymyksiä ja vastauksia

Q: Mikä on integraali?

A: Integraali on yhtälön kuvaajan alla oleva tila, joka tunnetaan myös nimellä "käyrän alla oleva alue". Se on derivaatan kääntöpuoli ja osa matematiikan haaraa, jota kutsutaan laskennaksi.

K: Miltä integraalin symboli näyttää?

V: Integroinnin symboli laskennassa näyttää pitkältä S-kirjaimelta: ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}}.

K: Miten integraalit liittyvät derivaattoihin?

V: Integraaleja ja derivaattoja yhdistää laskennan perusteoria, jonka mukaan integraali voidaan kumota derivaatalla, samalla tavalla kuin yhteenlasku voidaan kumota vähennyslaskuilla.

K: Milloin integraatiota voidaan käyttää?

V: Integrointia voidaan käyttää, kun yritetään kertoa yksiköitä johonkin ongelmaan tai kun etsitään kiinteän aineen tilavuutta. Sen avulla voidaan lisätä kaksiulotteisia viipaleita yhteen, kunnes saadaan leveyttä, jolloin esineelle saadaan kolme ulottuvuutta ja sen tilavuus.

K: Miten integrointi muistuttaa yhteenlaskua?

V: Integrointi muistuttaa yhteenlaskua siinä mielessä, että siinä lasketaan yhteen monia pieniä asioita, mutta integraatiossa meidän on lisättävä myös kaikki desimaalit ja murtoluvut välissä.

K: Mitä tarkoittaa Riemannin summa?

A: Riemannin summalla tarkoitetaan pienten viipaleiden yhteenlaskemista nopeuden kuvaajasta, kunnes ne summautuvat yhdeksi kokonaiseksi yhtälöksi.