Integraali

Laskennassa integraali on yhtälön kuvaajan alapuolella oleva tila (joskus käytetään myös nimitystä "käyrän alapuolella oleva alue"). Integraali on derivaatan kääntöpuoli ja differentiaalilaskennan vastakohta. Derivaatta on käyrän jyrkkyys (tai "kaltevuus") eli muutosnopeus. Sanaa "integraali" voidaan käyttää myös adjektiivina, joka tarkoittaa "kokonaislukuihin liittyvää".

Integroinnin symboli laskennassa on: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}}} $\int _{\,}^{\,}$ korkeana kirjaimena "S". Tätä symbolia käytti ensimmäisen kerran Gottfried Wilhelm Leibniz, joka käytti sitä tyyliteltynä "ſ". (summa, latinaksi summa) tarkoittaakseen yhtälön, kuten y = f(x), kattaman alueen yhteenlaskua.

Integraalit ja derivaatat ovat osa matematiikan haaraa, jota kutsutaan laskennaksi. Näiden kahden välinen yhteys on hyvin tärkeä, ja sitä kutsutaan laskennan perusteoreemaksi. Lauseen mukaan integraali voidaan kumota derivaatalla, samalla tavalla kuin yhteenlasku voidaan kumota vähennyslaskulla.

Integrointi auttaa, kun yrität kertoa yksiköitä ongelmaan. Jos esimerkiksi ongelma, jossa on nopeus, ( etäisyys aika ) {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ tarvitsee vastauksen, jossa on vain etäisyys, yksi ratkaisu on integroida ajan suhteen. Tämä tarkoittaa, että kerrotaan ajalla ajan kumoamiseksi ( etäisyys aika ) × aika {\displaystyle \left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Tämä tehdään lisäämällä pieniä viipaleita nopeuskuvaajasta yhteen. Viipaleet ovat leveydeltään lähellä nollaa, mutta lisäämällä ne ikuisesti ne saadaan laskettua yhteen kokonaisuudeksi. Tätä kutsutaan Riemannin summaksi.

Kun nämä viipaleet lasketaan yhteen, saadaan yhtälö, jonka derivaatta ensimmäinen yhtälö on. Integraalit ovat kuin tapa laskea käsin yhteen monia pieniä asioita. Se on kuin yhteenlasku, joka on 1 + 2 + 3 + 4.... yhteenlaskemista. + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ desimaaliluvut ja murtoluvut niiden välissä.

Integroinnista on hyötyä myös silloin, kun etsitään kiinteän aineen tilavuutta. Se voi lisätä kaksiulotteisia (ilman leveyttä) viipaleita kiinteästä aineesta yhteen ikuisesti, kunnes on leveys. Tämä tarkoittaa, että kappaleella on nyt kolme ulottuvuutta: alkuperäiset kaksi ja leveys. Näin saadaan kuvatun kolmiulotteisen kappaleen tilavuus.

Integroinnissa on kyse pinnan s löytämisestä, kun on annettu a, b ja y = f(x). Integraalin kaava a:sta b:hen, joka on piirretty edellä, on:
Kaava: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Mikä on integraali (animaatio)

Integrointimenetelmät

Antiderivaatta

Laskennan perusteorian mukaan integraali on antiderivaatta.

Jos otamme funktion 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ esimerkiksi ja eriytämme sen, voimme sanoa, että funktion 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ integraali on x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ . Sanomme integraali, emme integraali, koska funktion antiderivaatta ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ differentioituu myös 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Tämän vuoksi antiderivaatan ottamisessa on lisättävä vakio C. Tätä kutsutaan epämääräiseksi integraaliksi. Tämä johtuu siitä, että kun funktion derivaatta löydetään, vakio on 0, kuten funktiossa

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Huomaa 0: emme voi löytää sitä, jos meillä on vain derivaatta, joten integraali on muotoa

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Yksinkertaiset yhtälöt

Yksinkertainen yhtälö, kuten y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ , voidaan integroida x:n suhteen seuraavalla tekniikalla. Integroimiseksi lisätään 1 siihen potenssiin, johon x korotetaan, ja jaetaan sitten x tämän uuden potenssin arvolla. Näin ollen normaalin yhtälön integrointi noudattaa seuraavaa sääntöä: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

Lopussa oleva d x {\displaystyle dx} $dx$ osoittaa, että integroimme x:n suhteen, eli kun x muuttuu. Tämä voidaan nähdä differentioinnin käänteislukuna. Integroinnin yhteydessä lisätään kuitenkin vakio C. Tätä kutsutaan integrointivakioksi. Tämä on tarpeen, koska kokonaisluvun differentioiminen johtaa nollaan, joten nollan integroiminen (joka voidaan laittaa minkä tahansa integraalin loppuun) tuottaa kokonaisluvun C. Tämän kokonaisluvun arvo löydetään käyttämällä annettuja ehtoja.

Yhtälöt, joissa on useampi kuin yksi termi, integroidaan yksinkertaisesti integroimalla kukin yksittäinen termi:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C+} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrointi e:n ja ln:n avulla

Integrointiin e:n ja luonnollisen logaritmin avulla on olemassa tietyt säännöt. Tärkeintä on, että e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ on itsensä integraali (johon on lisätty integrointivakio): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Luonnollinen logaritmi, ln, on hyödyllinen integroitaessa yhtälöitä, joissa on 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Niitä ei voi integroida yllä olevalla kaavalla (lisää yksi potenssiin, jaa potenssilla), koska lisäämällä yksi potenssiin saadaan 0, eikä jakaminen 0:lla ole mahdollista. Sen sijaan integraali 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ on ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C}} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Yleisemmässä muodossa: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C}} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Kaksi pystypalkkia osoitti absoluuttista arvoa; f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) :n (positiivinen tai negatiivinen) merkki jätetään huomiotta. Tämä johtuu siitä, että negatiivisille luvuille ei ole olemassa luonnollisen logaritmin arvoa.

Ominaisuudet

Funktioiden summa

Funktioiden summan integraali on kunkin funktion integraalien summa, toisin sanoen,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Todiste tästä on suoraviivainen: Integraalin määritelmä on summien raja-arvo. Näin ollen

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Huomaa, että molemmilla integraaleilla on samat rajat.

Integroinnin vakiot

Kun vakio on integraalissa funktion kanssa, vakio voidaan ottaa pois. Lisäksi kun vakio c ei ole funktion kanssa integraalissa, sen arvo on c * x. Toisin sanoen,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ ja

Tämä voidaan tehdä vain vakion avulla.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Todistus tapahtuu jälleen integraalin määritelmän avulla.

Muut

Jos a, b ja c ovat järjestyksessä (eli toistensa jälkeen x-akselilla), f(x):n integraali pisteestä a pisteeseen b plus f(x):n integraali pisteestä b pisteeseen c on yhtä suuri kuin integraali pisteestä a pisteeseen c. Toisin sanoen,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ jos ne ovat järjestyksessä. (Tämä pätee myös silloin, kun a, b, c eivät ole järjestyksessä, jos määritellään ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .).

∫ a a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Tämä seuraa laskennan perusteoriaa (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx}} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Jälleen FTC:n mukaisesti: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Kysymyksiä ja vastauksia

Q: Mikä on integraali?

A: Integraali on yhtälön kuvaajan alla oleva tila, joka tunnetaan myös nimellä "käyrän alla oleva alue". Se on derivaatan kääntöpuoli ja osa matematiikan haaraa, jota kutsutaan laskennaksi.

K: Miltä integraalin symboli näyttää?

V: Integroinnin symboli laskennassa näyttää pitkältä S-kirjaimelta: ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}}.

K: Miten integraalit liittyvät derivaattoihin?

V: Integraaleja ja derivaattoja yhdistää laskennan perusteoria, jonka mukaan integraali voidaan kumota derivaatalla, samalla tavalla kuin yhteenlasku voidaan kumota vähennyslaskuilla.

K: Milloin integraatiota voidaan käyttää?

V: Integrointia voidaan käyttää, kun yritetään kertoa yksiköitä johonkin ongelmaan tai kun etsitään kiinteän aineen tilavuutta. Sen avulla voidaan lisätä kaksiulotteisia viipaleita yhteen, kunnes saadaan leveyttä, jolloin esineelle saadaan kolme ulottuvuutta ja sen tilavuus.

K: Miten integrointi muistuttaa yhteenlaskua?

V: Integrointi muistuttaa yhteenlaskua siinä mielessä, että siinä lasketaan yhteen monia pieniä asioita, mutta integraatiossa meidän on lisättävä myös kaikki desimaalit ja murtoluvut välissä.

K: Mitä tarkoittaa Riemannin summa?

A: Riemannin summalla tarkoitetaan pienten viipaleiden yhteenlaskemista nopeuden kuvaajasta, kunnes ne summautuvat yhdeksi kokonaiseksi yhtälöksi.