Georg Friedrich Bernhard Riemann (s. 17. syyskuuta 1826 Hannoverin lähellä; kuoli 20. heinäkuuta 1866 Selasca, Italia) oli saksalainen matemaatikko. Hänen elämänsä oli lyhyt, eikä hän kirjoittanut kovinkaan paljon löydöksistään, mutta hänen löytämänsä asiat olivat kaikki erittäin tärkeitä ja niillä oli mullistava vaikutus matematiikkaan. Hän vaikutti moniin matematiikan aloihin, kuten analyysiin, geometriaan, matemaattiseen fysiikkaan ja lukuteoriaan. Nykyään monet pitävät häntä suurena matemaatikkona. Hän oli ensimmäisiä matemaatikkoja, jotka työskentelivät kompleksianalyysin parissa. Hänen aloittamansa geometria (jota nykyään kutsutaan Riemannin geometriaksi) on yksi Albert Einsteinin kehittämän suhteellisuusteorian perusteista.
Elämä ja koulutus
Riemann kasvoi Saksassa ja osoitti varhain kiinnostusta matematiikkaan. Hän opiskeli merkittävissä yliopistoissa, erityisesti Göttingenissä, missä hän oli tekemisissä Carl Friedrich Gauss'n kanssa, ja vietti opintoja myös Berliinissä, missä hän kohtasi aikansa johtavia matemaatikkoja. Hän väitteli tohtoriksi vuonna 1851 työllään, joka loi perustan kompleksifunktioiden yleiselle teoriolle ja esitteli muun muassa käsitteen, joka nykyisin tunnetaan Riemannin pinnana eli Riemannin sphereää vastaavat ajatukset. Vuonna 1854 hän piti kuuluisan habilitaatioluennon "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen", jossa hän esitteli uudenlaisen näkemyksen geometriasta ja monimuotoisuuksista. Riemann toimi myöhemmin professorina Göttingenin yliopistossa. Hän kuoli nuorena, 39-vuotiaana, todennäköisesti tuberkuloosiin vuonna 1866.
Tärkeimmät saavutukset
Riemannin työ on laaja ja käsittelee useita matematiikan perusalueita. Keskeisiä saavutuksia ovat muun muassa:
- Kompleksianalyysi: Riemannin käsitteet Riemannin pinnasta ja Riemannin kartasta (mapping) mullistivat tapaamme ymmärtää moniarvoisia kompleksifunktioita. Häneltä peräisin ovat myös tulokset, jotka johtivat myöhemmin Riemannin karttateoreemaan ja Riemann–Rochin lauseeseen.
- Integraali- ja analyysiteoria: Riemannin määrittely integraalille (Riemannin integraali) ja Riemannin summat ovat klassisia käsitteitä kurssitasoisessa analyysissä. Hän käytti usein niin sanottua Dirichlet'n periaatetta ratkaisumenetelmänä, mikä herätti aikanaan keskustelua ja myöhempää tarkennusta analyysin perustuksissa.
- Geometria: Riemann esitteli käsitteen monimuotoisuudesta (manifold) ja määritteli etäisyyden ja kaarevuuden yleisessä yhteydessä. Hänen muotoilunsa Riemannin metriikasta ja kaarevuudesta antaa matemaattisen pohjan sille geometrian työlle, jota myöhemmin hyödynnettiin fysiikassa, erityisesti Einsteinin yleisessä suhteellisuusteoriassa.
- Lukuteoria: Riemannin vuonna 1859 julkaistu työ alkulukujen jakauman arvioimisesta esitteli Riemannin zetafunktion ja siihen liittyvän kuuluisan Riemannin hypoteesin, joka on edelleen yksi matematiikan keskeisistä ratkaisemattomista ongelmista.
Työtapa ja vaikutus
Riemannin lähestymistapa oli usein geometrinen ja intuitiivinen: hän löysi syviä yhteyksiä eri matematiikan osa-alueiden välillä ja uskoi usein fysikaaliseen intuitioon perustuvaan päättelyyn. Tämä johti joskus siihen, että hänen todistuksissaan oli aukkoja, joista myöhemmät matemaatikot, kuten Weierstrass ja muut, tekivät perusteellisempia ja tiukempia analyyttisiä tarkennuksia. Vaikka Riemann julkaisi suhteellisen vähän, hänen ideansa muodostavat monia nykyisen matematiikan ja teoreettisen fysiikan kulmakiviä.
Perintö
Riemannin nimeä kantavat monet käsitteet: Riemannin pinta, Riemannin integraali, Riemann–Rochin lause, Riemann–Mapping -teoreema, Riemannin zeta-funktio ja Riemannin kaarevuustensori sekä yleisemmin Riemannin geometria. Näiden vaikutus ulottuu analyyttisestä teoriaopista ja differentiaaligeometriaan aina moderniin fysiikkaan asti. Häntä pidetään yhtenä 1800-luvun merkittävimmistä matemaatikoista, jonka oivallukset avasivat teoreettisia mahdollisuuksia, joita tutkittiin ja kehitettiin voimakkaasti 1900-luvulla ja edelleen.
