Binäärioperaatio matematiikassa: määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit

Binäärioperaatio matematiikassa: selkeä määritelmä, keskeiset ominaisuudet ja havainnollistavat esimerkit joukko-opista, funktioista ja matriiseista.

Matematiikassa joukon binäärioperaatio, jota usein merkitään *:lla, on tapa yhdistää joukon elementtipari siten, että tuloksena on joukon toinen elementti. Formaalisti binäärioperaatio on kuvaus (funktio) *: S × S → S, eli kutakin järjestettyä paria (a, b) joukosta S vastaa yksikäsitteinen alkio a * b myös joukossa S. Binäärioperaatio siis ottaa kaksi argumenttia samasta joukosta ja palauttaa saman joukon jäsenen.

Perusominaisuudet

• Sulkeutuvuus (closure): Operaation * sulkeutuvuus tarkoittaa, että kaikilla a, b ∈ S pätee a * b ∈ S. Tämä on binäärioperaation perusedellytys.
• Assosiatiivisuus: Operaation * sanotaan assosiatiiviseksi, jos (a * b) * c = a * (b * c) kaikilla a, b, c ∈ S. Esimerkiksi yhteen- ja kertolasku kokonaislukujen joukossa ovat assosiatiivisia.
• Kommutatiivisuus: Jos a * b = b * a kaikilla a, b ∈ S, operaatiota kutsutaan kommutatiiviseksi. Esimerkiksi yhteen- ja kertolasku ovat kommutatiivisia, mutta jakolasku ja matriisien kertolasku eivät yleensä ole.
• Neutraali- eli identiteettielementti: Elementti e ∈ S on identiteetti, jos e * a = a * e = a kaikilla a ∈ S. Yleisiä esimerkkejä: nolla yhteenlaskun identiteettinä ja ykkönen kertolaskun identiteettinä.
• Käänteisalkio (inverse): Alkion a ∈ S käänteisalkio a^{-1} on sellainen b ∈ S, että a * b = b * a = e, missä e on identiteetti. Esimerkiksi kokonaislukujen suhteen kertolaskulla ei kaikilla alkioilla ole käänteisalkiota (paitsi ±1 kokonaisluvuille), mutta rationaaliluvuilla nollaa lukuunottamatta on käänteisalkio.
• Idempotenssi: Jos a * a = a jokaisella a ∈ S, operaatiota kutsutaan idempotentiksi (esim. joukko-opissa leikkaus ja unioni joillain strukturoilla).

Rakenne‑nimitykset

• Magma: Joukko S varustettuna binäärioperaatiolla (ei muita vaatimuksia kuin sulkeutuvuus).
• Semigruoppi: Magma, jonka operaatiota on assosiatiivinen.
• Monoid: Semigruoppi, jolla on identiteettielementti.
• Ryhmä: Monoidi, jossa jokaisella alkioilla on käänteinen alkio. Jos lisäksi operaatiota on kommutatiivinen, kyseessä on abelinen ryhmä.

Esimerkkejä

Perusesimerkkejä ja erityistapauksia:

• Luonnolliset ja kokonaisluvut: Yhteenlasku ja kertolasku ovat binäärioperaatioita luonnollisten ja kokonaislukujen joukossa: esim. 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6. Yhteenlasku ja kertolasku ovat sulkeutuvia ja kommutatiivisia. Kertolaskun ja yhteenlaskun välillä on distributiivisuus: a × (b + c) = a×b + a×c.
• Vähennys ja jakolasku: Vähennys a − b on binäärioperaatio kokonaisluvuilla ja rationaaliluvuilla, mutta se ei ole assosiatiivinen eikä kommutatiivinen. Jakolasku a ÷ b ei ole määritelty b = 0:lle (ei sulkeutuva kaikissa tapauksissa kokonaisluvuilla), joten se ei ole binäärioperaatio kaikista kokonaisluvuista itseensä ilman lisärajoituksia.
• Matriisien välinen summa: Kahden samanmuotoisen matriisin summa on matriisi; summa on binäärioperaatio matriisien joukossa, ja se on assosiatiivinen ja kommutatiivinen. Huomaa, että matriisien kertolasku on myös binäärioperaatio mutta ei yleensä kommutatiivinen.
• Funktioiden koostumus: Jos F on joukko kaikista funktioista A → A, niin funktioiden koostumus on binäärioperaatio F:ssä. Kompositio on assosiatiivinen mutta yleensä ei-kommutatiivinen.
• Joukko‑operaatiot: Joukkojen unioni ja leikkaus ovat binäärioperaatioita potenssijoukon osajoukoille: A ∪ B ja A ∩ B kuuluvat samaan potenssijoukkoon. Ne ovat assosiatiivisia ja kommutatiivisia; lisäksi distributiivisuussuhteet pätevät: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), jne.

Huomioita ja laajennuksia

• Binäärioperaation ei tarvitse olla määritelty vain yhden joukon sisällä; on myös käsitteitä kuten ulkoinen binäärioperaatio, jossa operaation lähtöjoukot voivat olla eri joukot (mutta tällöin kuvaus ei ole muotoa S×S → S).
• Joissakin tilanteissa puhutaankin osittaisista binäärioperaatioista, jos operaation arvo ei ole määritelty kaikille pareja varten (esim. jakolasku ilman nollaa ei ole kaikkialla määritelty).
• Monia algebraan liittyviä rakenteita (renkaat, kentät, algebrat) rakentuu yhdestä tai useammasta binäärioperaatiosta, joiden välisiä suhteita (kuten distributiivisuus) tutkitaan.

Yhteenvetona: binäärioperaatio on yksinkertainen mutta keskeinen käsite algebraisissa rakenteissa. Sen ominaisuudet — sulkeutuvuus, assosiatiivisuus, kommutatiivisuus, identiteetti ja inverssit — määrittävät, millaisia lisärakenteita ja teorioita hyödyntävän joukon elementeistä voidaan muodostaa (semigruopit, monoidit, ryhmät jne.).

Muut: Matriisien välinen summa. Funktioiden koostumus. Joukkojen unioni ja leikkaus ovat myös kaksi eri binäärioperaatiota kaikkien joukkojen joukolle tai potenssijoukon osajoukoille.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on binäärioperaatio?

K: Miten binäärioperaatio merkitään matematiikassa?

K: Mikä on esimerkki binäärioperaatiosta luonnollisilla luvuilla?

K: Mikä on tulos, kun binäärioperaatiota sovelletaan luonnollisten lukujen pariin?

K: Voiko binäärioperaatioita soveltaa muihin matemaattisiin kohteisiin kuin lukuihin?

K: Mitä esimerkkejä joukkojen binäärioperaatioista on?

K: Missä joukossa voidaan suorittaa kaksi eri binäärioperaatiota?

Hae kirjaimella