Matriisi | riveihin ja sarakkeisiin järjestetty suorakulmio, jossa on numeroita

Määritelmät ja merkinnät

Matriisin vaakasuoria viivoja kutsutaan riveiksi ja pystysuoria viivoja sarakkeiksi. Matriisia, jossa on m riviä ja n saraketta, kutsutaan m x n -matriisiksi (tai m × n -matriisiksi), ja m ja n ovat sen dimensioita.

Matriisin paikkoja, joissa numerot ovat, kutsutaan merkinnöiksi. Matriisin A merkintää, joka on rivin i ja sarakkeen j kohdalla, kutsutaan A:n i,j-merkinnäksi. Tämä kirjoitetaan A[i,j] tai a_i,j .

Kirjoitamme A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}} määritelläksemme m × n -matriisin A, jonka jokaista merkintää kutsutaan nimellä_i,j kaikkien 1 ≤ i ≤ m ja 1 ≤ j ≤ n osalta.

Esimerkki

Matriisi

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\\1&2&7\\\4&9&2\\\6&1&5\end{bmatrix}}}

on 4×3-matriisi. Tässä matriisissa on m=4 riviä ja n=3 saraketta.

Elementti A[2,3] tai_2,3 on 7.

Toiminnot

Lisäys

Kahden matriisin summa on matriisi, jonka (i,j)-osio on yhtä suuri kuin kahden matriisin (i,j)-osioiden summa:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Näillä kahdella matriisilla on samat mitat. Tällöin A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} on totta (ja on totta yleensä yhtä suurille matriiseille).

Kahden matriisin kertominen

Kahden matriisin kertominen on hieman monimutkaisempaa:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] ] ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\\end{bmatrix}}}

Niin myös numeroiden kanssa:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\\\1&4\\\\\\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\\5&0\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• Kaksi matriisia voidaan kertoa keskenään, vaikka niillä olisi eri dimensiot, kunhan ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin toisen matriisin rivien lukumäärä.
• Kertomisen tulos, jota kutsutaan tuotteeksi, on toinen matriisi, jossa on sama määrä rivejä kuin ensimmäisessä matriisissa ja sama määrä sarakkeita kuin toisessa matriisissa.
• Matriisien kertolasku ei ole kommutatiivinen, mikä tarkoittaa, että yleensä A B ≠ B A {\displaystyle AB\neq BA} .
• Matriisien kertolasku on assosiatiivinen, mikä tarkoittaa, että ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (AB)C=A(BC)} .

Erikoismatriisit

Jotkut matriisit ovat erityisiä.

Neliömatriisi

Neliömatriisissa on yhtä monta riviä kuin saraketta, joten m=n.

Esimerkki neliömatriisista on

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\\0&9&1\\\-7&6&8\\\\\\end{bmatrix}}}

Tässä matriisissa on 3 riviä ja 3 saraketta: m=n=3.

Identiteetti

Jokaisella matriisin neliöulottuvuusjoukolla on erityinen vastine, jota kutsutaan "identiteettimatriisiksi" ja jota edustaa symboli I {\displaystyle I} . Identiteettimatriisissa on vain nollia paitsi päädiagonaalilla, jossa on vain ykkösiä. Esim:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0\0&0&1\\\\\\end{bmatrix}}}

on identtinen matriisi. Kullekin neliöulottuvuusjoukolle on olemassa täsmälleen yksi identtisyysmatriisi. Identtisyysmatriisi on erityinen, koska kun mikä tahansa matriisi kerrotaan identtisyysmatriisilla, tulos on aina alkuperäinen matriisi ilman muutoksia.

Käänteismatriisi

Käänteismatriisi on matriisi, joka kerrottuna toisella matriisilla on sama kuin identtinen matriisi. Esimerkiksi:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\\-6&7\\\\\\end{bmatrix}}} on käänteinen [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\\6&7\\\\\end{bmatrix}}} .

Kaava 2x2-matriisin käänteisluvulle [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} on:

( 1 det ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{\det }}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\\-z&x\end{bmatrix}}}}

Jossa det {\displaystyle \det } on matriisin determinantti. 2x2-matriisissa determinantti on yhtä suuri kuin:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Yhden sarakkeen matriisi

Matriisia, jossa on monta riviä, mutta vain yksi sarake, kutsutaan sarakevektoriksi.

Determinantit

Determinantti ottaa neliömatriisin ja laskee yksinkertaisen luvun, skalaarin. Ymmärtääksesi, mitä tämä luku tarkoittaa, ota jokainen matriisin sarake ja piirrä se vektorina. Näiden vektoreiden piirtämällä parallelogrammilla on pinta-ala, joka on determinantti. Kaikille 2x2-matriiseille kaava on hyvin yksinkertainen: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\\end{bmatrix}}\right)=ad-bc}}

3x3-matriiseille kaava on monimutkaisempi: det ( [ [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Suurempien matriisien determinantteja varten ei ole olemassa yksinkertaisia kaavoja, ja monet tietokoneohjelmoijat tutkivat, miten tietokoneet saadaan löytämään nopeasti suuret determinantit.

Determinanttien ominaisuudet

On olemassa kolme sääntöä, joita kaikki determinantit noudattavat. Nämä ovat:

• Identiteettimatriisin determinantti on 1
• Jos matriisin kaksi riviä tai kaksi saraketta vaihdetaan, determinantti kerrotaan -1:llä. Matemaatikot kutsuvat tätä vuorotteluksi.
• Jos kaikki yhden rivin tai sarakkeen luvut kerrotaan toisella luvulla n, determinantti kerrotaan n:llä. Myös jos matriisissa M on sarake v, joka on kahden sarakematriisin v 1 {\displaystyle v_{1}} ja v 2 {\displaystyle v_{2}} summa, on matriisin M determinantti. , niin M:n determinantti on M:n determinanttien summa, kun v 1 {\displaystyle v_{1}} on v:n tilalla ja M:n determinantti, kun v 2 {\displaystyle v_{2}} on v:n tilalla. Näitä kahta ehtoa kutsutaan monilinjaisuudeksi.

Aiheeseen liittyvät sivut

• Determinantti
• Ominaisarvot ja ominaisvektorit
• Matriisianalyysi
• Matriisitoiminto
• Numeerinen lineaarialgebra
• Lineaaristen yhtälöiden järjestelmä
• Transpose