Joukko (matematiikka): määritelmä, perusominaisuudet ja esimerkit

Kuvittele, että setti on laukku.

Elementti

Laukkuun voidaan laittaa erilaisia asioita. Myöhemmin hyvä kysymys olisi, onko jokin tietty asia pussissa. Matemaatikot kutsuvat tätä elementtiä. Jokin on joukon alkio, jos kyseinen asia löytyy kyseisestä pussista. Tästä käytetty symboli on ∈ \displaystyle \in } :

a ∈ A {\displaystyle a\in {\mathit {A}}} ,

mikä tarkoittaa, että {\displaystyle a} on pussissa A {\displaystyle {\mathit {A}}} tai {\displaystyle a} on elementti A {\displaystyle {\mathit {A}}} .

Toisin kuin pussi, joukko voi sisältää enintään yhden tietyn tyyppisen kohteen. Hedelmien joukossa ei siis ole merkitystä sillä, onko siinä yksi appelsiini vai 10 appelsiinia.

Tyhjä joukko

Kuten laukku, myös setti voi olla tyhjä. Tyhjä joukko on kuin tyhjä pussi: siinä ei ole mitään. Tyhjää joukkoa kutsutaan myös nollajoukoksi, ja sitä edustaa symboli ∅ .

Maailmankaikkeus

Jos tarkastelemme esimerkiksi joitakin amerikkalaisten autojen joukkoja, esimerkiksi kaikkien Fordien ja kaikkien Dodgesien joukkoa, voimme myös haluta tarkastella koko amerikkalaisten autojen joukkoa. Tällöin kaikkien amerikkalaisten autojen joukkoa kutsutaan universumiksi.

Toisin sanoen universumi on kokoelma kaikkia niitä elementtejä, jotka halutaan ottaa huomioon tietyssä ongelmassa. Maailmankaikkeus on yleensä nimeltään U {\displaystyle U} .

Joukkojen vertailu

Kahta sarjaa voidaan verrata. Tämä on kuin katsoisi kahteen eri pussiin. Jos ne sisältävät samoja asioita, ne ovat samanarvoisia. Ei ole väliä, missä järjestyksessä nämä asiat ovat.

Jos esimerkiksi A = { S t a n f o r d , S t a n l e y } {\displaystyle {\mathit {A}}=\{Stanford,Stanley\}} ja B = { S t a n l e y , S t a n f o r d } {\displaystyle {\mathit {B}}=\{Stanley,Stanford\}}} , joukot ovat samat.

Joukon kardinaalisuus

Kun matemaatikot puhuvat joukosta, he haluavat joskus tietää, kuinka suuri joukko on (tai mikä on joukon kardinaalisuus). He tekevät tämän laskemalla, kuinka monta elementtiä joukossa on (kuinka monta esinettä pussissa on). Äärellisillä joukoilla kardinaalisuus on yksinkertainen luku. Tyhjän joukon kardinaalisuus on 0. Joukon { a p p l e , o r a n g e } {\displaystyle \{apple,orange\}} on kardinaalisuudeltaan 2.

Kahdella joukolla on sama kardinaalisuus, jos voimme yhdistää niiden elementit - jos voimme yhdistää kaksi elementtiä, yhden kummastakin joukosta. Joukko { a p p l e , o r a n g e } {\displaystyle \{apple,orange\}} ja joukko { s u n , m o o n } {\displaystyle \{sun,moon\}} on sama kardinaalisuus. Esim. voimme yhdistää omenan aurinkoon ja appelsiinin kuuhun. Järjestyksellä ei ole väliä. On mahdollista yhdistää kaikki elementit, eikä yhtäkään jätetä pois. Mutta joukko { d o g , c a t , b i r d } {\displaystyle \{koira,kissa,lintu\}} ja joukko { 5 , 6 } {\displaystyle \{5,6\}} on eri kardinaalisuus. Jos yritämme yhdistää ne, jätämme aina yhden eläimen pois.

Ääretön kardinaalisuus

Toisinaan kardinaalisuus ei ole numero. Joskus joukon kardinaalisuus on ääretön. Kaikkien kokonaislukujen joukko on joukko, jolla on ääretön kardinaalisuus. Jotkin äärettömän kardinaalisuuden omaavat joukot ovat suurempia (niillä on suurempi kardinaalisuus) kuin toisilla. Esimerkiksi reaalilukuja on enemmän kuin luonnollisia lukuja, mikä tarkoittaa, että emme voi yhdistää kokonaislukujen joukkoa ja reaalilukujen joukkoa, vaikka tekisimme ikuisesti töitä.

Laskettavuus

Jos joukon elementit voidaan laskea, sitä kutsutaan laskettavaksi joukoksi. Laskettavia joukkoja ovat kaikki joukot, joilla on äärellinen määrä jäseniä. Laskettavissa oleviin joukkoihin kuuluvat myös jotkin äärettömät joukot, kuten luonnolliset luvut. Luonnolliset luvut voidaan laskea luvuilla 1 , 2 , 3.... {\displaystyle {1,2,3...}} . Luonnollisia lukuja kutsutaan lempinimellä "laskentaluvut", koska niitä käytetään yleensä asioiden laskemiseen.

Lukematon joukko on ääretön joukko, jota on mahdotonta laskea. Jos yritämme laskea alkioita, jätämme aina osan niistä laskematta. Sillä ei ole väliä, minkä askeleen otamme. Reaalilukujen joukko on laskematon joukko. On monia muitakin laskemattomia joukkoja, jopa niinkin pieni väli kuin [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} .[3].

Osajoukot

Jos tarkastellaan joukkoa A = { a , b } {\displaystyle A=\{a,b\}} ja joukkoa B = { a , b , c , d } {\displaystyle B=\{a,b,c,d\}} , näet, että kaikki ensimmäisen joukon elementit ovat myös toisessa joukossa.
 Sanomme: { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} on osajoukko { a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b,c,d\}}
 Kaavana se näyttää tältä:
{ a , b } ⊆ { a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b\}\subseteq \{a,b,c,d\}}

Yleensä, kun kaikki joukon A {\displaystyle A} elementit ovat myös joukon B {\displaystyle B} elementtejä, kutsumme A {\displaystyle A} joukon B {\displaystyle B} osajoukoksi:
A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B}
 . Yleensä se luetaan " A {\displaystyle A} sisältyy B {\displaystyle B} ." .

Esimerkki: Jokainen Chevrolet on amerikkalainen auto. Joten kaikkien Chevroletien joukko sisältyy kaikkien amerikkalaisten autojen joukkoon.

Aseta toiminnot

Sarjoja voidaan yhdistää eri tavoin.

Risteykset

Kahden joukon A {\displaystyle A\cap B} , A {\displaystyle A} ja B {\displaystyle B} leikkaus A ∩ B {\displaystyle A\cap B} , on joukko, joka sisältää kaikki elementit, jotka ovat samanaikaisesti sekä joukossa A {\displaystyle A} että joukossa B {\displaystyle B} .

Esimerkki: Kun A {\displaystyle A} on kaikkien halpojen autojen joukko ja B {\displaystyle B} on kaikkien amerikkalaisten autojen joukko, niin A ∩ B {\displaystyle A\cap B} on kaikkien halpojen amerikkalaisten autojen joukko.

Liitot

Kahden joukon A {\displaystyle A\cup B}  ja B {\displaystyle B} unioni A ∪ B {\displaystyle A\cup B} on joukko, joka sisältää kaikki elementit, jotka ovat joukossa A {\displaystyle A} tai joukossa B {\displaystyle B} . Tämä "tai" on inklusiivinen disjunktio, joten unioni sisältää myös elementit, jotka ovat joukossa A {\displaystyle A} ja joukossa B {\displaystyle B} . Muuten tämä tarkoittaa, että leikkaus on unionin osajoukko: ( A ∩ B ) ⊆ ( A ∪ B ) {\displaystyle (A\cap B)\subseteq (A\cup B)} .

Esimerkki: Kun A {\displaystyle A} on kaikkien halpojen autojen joukko ja B {\displaystyle B} on kaikkien amerikkalaisten autojen joukko, niin A ∪ B {\displaystyle A\cup B} on kaikkien autojen joukko ilman kaikkia kalliita autoja, jotka eivät ole Amerikasta.

Täydentää

Täydennys voi tarkoittaa kahta eri asiaa:

• A:n {\displaystyle A} komplementti on universumi U {\displaystyle U} ilman kaikkia A:n {\displaystyle A} alkioita:

A C = U ∖ A {\displaystyle A^{\rm {C}}=U\setminus A}
 Universumi U {\displaystyle U} on kaikkien niiden asioiden joukko, joista puhutaan.
Esimerkki: Kun U {\displaystyle U} on kaikkien autojen joukko ja A {\displaystyle A} on kaikkien halpojen autojen joukko,
niin A {\displaystyle A}^C on kaikkien kalliiden autojen joukko.

• Joukkojen A {\displaystyle A} ja B {\displaystyle B} erotus on joukko B {\displaystyle B} ilman kaikkia joukon A {\displaystyle A} alkioita:

B ∖ A {\displaystyle B\setminus A}
 Sitä kutsutaan myös A:n {\displaystyle A} suhteelliseksi komplementiksi B:ssä {\displaystyle B} .
Esimerkki: Kun A {\displaystyle A} on kaikkien halpojen autojen joukko ja B {\displaystyle B} on kaikkien amerikkalaisten autojen joukko, niin B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} on kaikkien kalliiden amerikkalaisten autojen joukko.

Jos vaihdat joukot joukkoeroihin, tulos on erilainen: autojen esimerkissä ero A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} on kaikkien sellaisten halpojen autojen joukko, joita ei ole valmistettu Amerikassa.

Useimmat matemaatikot käyttävät isoja ITALIALAISIA (yleensä roomalaisia) kirjaimia kirjoittaessaan joukoista (kuten A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} ). Joukkojen elementteinä pidettävät asiat kirjoitetaan yleensä pienillä roomalaisilla kirjaimilla.

Yksi tapa esittää joukko on luettelo sen jäsenistä, jotka on erotettu toisistaan pilkulla ja sisällytetty hakasulkeisiin. Esimerkiksi,

• X = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle X=\{1,2,3\}} on joukko, jonka jäsenet ovat 1, 2 ja 3.

Toinen tapa, jota kutsutaan joukon rakentajan merkintätavaksi, on lausuma siitä, mikä on totta joukon jäsenistä, esimerkiksi näin:

• {x | x on luonnollinen luku & x < 4}.

Puhuttuna englanniksi tämä kuuluu näin: "kaikkien sellaisten x:ien joukko, joiden x on luonnollinen luku ja x on pienempi kuin neljä". Symboli [ipe "|" tarkoittaa "such that" tai "so that".

Tyhjä joukko kirjoitetaan erityisellä tavalla: ∅ ∅ \displaystyle \emptyset } , ∅ {\displaystyle \varnothing } tai {\displaystyle \{\}} .

Kun kohde a on joukon A {\displaystyle A} jäsen, se kirjoitetaan seuraavasti:

• a ∈ A.

Puhutulla englannilla tämä kuuluu näin: "a on A:n jäsen {\displaystyle A} ".

Matemaatikot käyttävät Venn-diagrammeja havainnollistamaan joukkoihin kohdistuvia operaatioita. Venn-diagrammeissa käytetään ympyröitä osoittamaan yksittäisiä joukkoja. Maailmankaikkeutta kuvataan suorakulmiolla. Operaatioiden tulokset esitetään värillisinä alueina. Leikkausoperaation havainnollistamisessa vasen ympyrä esittää joukkoa A {\displaystyle A} ja oikea ympyrä joukkoa B {\displaystyle B} .

Jotkin joukot ovat hyvin tärkeitä matematiikan kannalta. Niitä käytetään hyvin usein. Yksi näistä on tyhjä joukko. Monet näistä erikoisjoukoista kirjoitetaan taulun lihavoidulla kirjasinkirjoituksella, ja näitä ovat mm. seuraavat:

• P {\displaystyle \mathbb {P} } , joka tarkoittaa kaikkien alkulukujen joukkoa.
• N {\displaystyle \mathbb {N} } , joka tarkoittaa kaikkien luonnollisten lukujen joukkoa. Toisin sanoen, N {\displaystyle \mathbb {N } } = {1, 2, 3, ...}, tai joskus N {\displaystyle \mathbb {N} } = {0, 1, 2, 3, ...}.
• Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , joka tarkoittaa kaikkien kokonaislukujen (positiivisten, negatiivisten tai nollan) joukkoa. Joten Z {\displaystyle \mathbb {Z } } = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , joka tarkoittaa kaikkien rationaalilukujen joukkoa (eli kaikkien oikeiden ja epäsuotuisten murtolukujen joukkoa). Siis Q = { a b | a , b ∈ Z , b ≠ 0 } {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\begin{matrix}{\frac {a}{b}}\end{matrix}}|a,b\ in \mathbb {Z} ,b\neq 0 \right\}} eli kaikki murtoluvut a b {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{b}}}\end{matrix}}}} , joissa a ja b kuuluvat kaikkien kokonaislukujen joukkoon ja b on eri kuin 0. Esimerkiksi 1 4 ∈ Q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q}} } ja 11 6 ∈ Q {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\in \mathbb {Q}} } . Kaikki kokonaisluvut kuuluvat tähän joukkoon, koska jokainen kokonaisluku a voidaan ilmaista murtolukuna a 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a}{1}}\end{matrix}}} .
• R {\displaystyle \mathbb {R} } , joka tarkoittaa kaikkien reaalilukujen joukkoa. Tämä joukko sisältää kaikki rationaaliluvut sekä kaikki irrationaaliluvut (eli luvut, joita ei voi kirjoittaa murtoluvuiksi, kuten π , {\displaystyle \pi ,} e , {\displaystyle e,} ja √2).
• C {\displaystyle \mathbb {C} } , joka tarkoittaa kaikkien kompleksilukujen joukkoa.

Jokaisella näistä lukujoukoista on ääretön määrä alkioita, ja P ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C {\displaystyle \mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} } .

Matemaatikko Bertrand Russell havaitsi, että joukkojen epävirallisessa määrittelyssä on ongelmia. Hän totesi tämän paradoksissa, jota kutsutaan Russellin paradoksiksi. Helpommin ymmärrettävä versio, joka on lähempänä tosielämää, on nimeltään Barberin paradoksi.

Parturin paradoksi

Jossain on pieni kaupunki. Siinä kaupungissa on parturi. Kaikki kaupungin miehet eivät pidä parroista, joten he joko ajavat partansa itse tai menevät parturiin parturin ajettavaksi.

Voimme siis tehdä väitteen parturista itsestään: Parturi ajelee kaikki miehet, jotka eivät ajele itseään. Hän ajelee vain nämä miehet (koska muut ajelevat itse itsensä eivätkä tarvitse parturia ajamaan partaansa).

Tämä herättää tietenkin kysymyksen: Mitä parturi tekee joka aamu näyttääkseen puhtaaksi ajellulta? Tämä on paradoksi.

Jos parturi ajaa itse partansa, hän ei voi olla parturi, koska parturi ei aja itseään. Jos hän ei aja itseään, hän kuuluu niihin, jotka eivät aja itseään, eikä siis voi olla parturi.

• Cantorin joukko
• Ryhmäteoria
• Avoin sarja
• Suhde
• Joukkoteoria