Keskusrajateoreema | teoreema aggregoitujen todennäköisyysjakaumien rajakäyttäytymisestä

Todennäköisyysteoriassa ja tilastotieteessä keskeiset raja-arvoteoriat (central limit theorems, lyhennettynä CLT) ovat teoreemoja aggregoitujen todennäköisyysjakaumien rajakäyttäytymisestä. Ne sanovat, että kun annetaan suuri määrä riippumattomia satunnaismuuttujia, niiden summa noudattaa stabiilia jakaumaa. Jos satunnaismuuttujien varianssi on äärellinen, tuloksena on Gaussin jakauma. Tämä on yksi syy siihen, miksi tämä jakauma tunnetaan myös nimellä normaalijakauma.

Tunnetuin ja tärkein näistä tunnetaan nimellä keskusrajateoria. Se koskee suurta määrää satunnaismuuttujia, joilla on sama jakauma ja joilla kaikilla on sama äärellinen varianssi ja odotusarvo.

Tarkemmin sanottuna, jos X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}} $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ovat n identtistä ja toisistaan riippumattomasti jakautunutta satunnaismuuttujaa, joiden keskiarvo μ {\displaystyle \mu } $\mu$ ja keskihajonta σ {\displaystyle \sigma } $\sigma$ , niin niiden otoskeskiarvon jakauma ( X 1 + ⋯ $(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$ n kasvaessa suureksi, on likimain normaali, jonka keskiarvo on μ {\displaystyle \mu } $\mu$ ja keskihajonta σ n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} ${\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}$ . Lisäksi niiden summan X 1 + ⋯ jakauma $X_{1}+\cdots +X_{n}$ on n:n kasvaessa suureksi myös likimain normaali, jonka keskiarvo n μ {\displaystyle n\mu } $n\mu$ ja keskihajonta n σ {\displaystyle {\sqrt {n}}\sigma } ${\sqrt {n}}\sigma$ .

Tästä lauseesta on olemassa erilaisia yleistyksiä. Jotkin näistä yleistyksistä eivät enää edellytä kaikkien satunnaismuuttujien identtistä jakaumaa. Näissä yleistyksissä toinen edellytys varmistaa, että millään yksittäisellä satunnaismuuttujalla ei ole suurempaa vaikutusta lopputulokseen kuin muilla. Esimerkkejä ovat Lindebergin ja Ljapunovin ehdot.

Teoremin nimi perustuu George Pólyan vuonna 1920 kirjoittamaan artikkeliin About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment problem.

Aiheeseen liittyvät sivut

Vakiovirhe

Kysymyksiä ja vastauksia

Q: Mikä on Central Limit Theorem?

A: Central Limit Theorem (CLT) on lause aggregoitujen todennäköisyysjakaumien rajakäyttäytymisestä. Sen mukaan, kun annetaan suuri määrä riippumattomia satunnaismuuttujia, niiden summa noudattaa stabiilia jakaumaa. Jos satunnaismuuttujien varianssi on äärellinen, tuloksena on Gaussin jakauma.

Kysymys: Kuka kirjoitti artikkelin, johon tämä lause perustuu?

V: Yrjö Pَlya kirjoitti vuonna 1920 artikkelin "About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment Problem", joka toimi tämän teoreeman perustana.

K: Minkälainen jakauma syntyy, kun kaikilla satunnaismuuttujilla on äärellinen varianssi?

V: Kun kaikilla satunnaismuuttujilla on äärellinen varianssi, CLT:tä soveltamalla saadaan Gaussin tai normaalijakauma.

K: Onko CLT:lle olemassa yleistyksiä?

V: Kyllä, CLT:hen on olemassa erilaisia yleistyksiä, jotka eivät enää edellytä kaikkien satunnaismuuttujien identtistä jakaumaa. Näihin yleistyksiin kuuluvat Lindebergin ja Ljapunovin ehdot, joilla varmistetaan, että mikään yksittäinen satunnaismuuttuja ei vaikuta lopputulokseen enemmän kuin muut.

Kysymys: Miten nämä yleistykset toimivat?

V: Näillä yleistyksillä varmistetaan, että millään yksittäisellä satunnaismuuttujalla ei ole muita suurempaa vaikutusta lopputulokseen ottamalla käyttöön Lindebergin ja Ljapunovin ehtojen kaltaisia lisäedellytyksiä.

K: Mitä CLT sanoo otoskeskiarvosta ja suuren joukon riippumattomien satunnaismuuttujien, joilla on sama jakauma, summasta?

V: CLT:n mukaan, jos n identtistä ja toisistaan riippumattomasti jakautunutta satunnaismuuttujaa, joilla on keskiarvo ى \displaystyle \mu } ja keskihajonta َ \displaystyle \sigma }, on otos. , niin niiden otoskeskiarvo (X1+...+Xn)/n on likimain normaali keskiarvolla ى {\displaystyle \mu } ja keskihajonnalla َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}} . Lisäksi niiden summa X1+...+Xn on myös likimain normaali, jonka keskiarvo on nى {\displaystyle n\mu } ja keskihajonta √nَ {\displaystyle {\sqrt {n}\sigma }. .