Luottamusväli

Termin "luottamus" merkitys

Termillä luottamus on samanlainen merkitys tilastotieteessä kuin yleiskielessä. Yleisessä kielenkäytössä väite, jonka mukaan johonkin asiaan on 95 prosentin luottamus, katsotaan tavallisesti merkitsevän käytännössä varmuutta. Tilastotieteessä 95 prosentin luottamusta koskeva väite tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että tutkija on nähnyt suuren joukon mahdollisista väleistä yhden, josta yhdeksäntoista väliä kahdestakymmenestä sisältää parametrin todellisen arvon.

Käytännön esimerkki

Kone täyttää kupit margariinilla. Esimerkissä kone on säädetty siten, että kuppien sisältö on 250 g margariinia. Koska kone ei voi täyttää jokaista kuppia täsmälleen 250 g:lla, yksittäisiin kuppeihin lisättyjen margariinimassojen määrä vaihtelee jonkin verran, ja sitä pidetään satunnaismuuttujana X. Vaihtelun oletetaan jakautuvan normaalisti halutun 250 g:n keskiarvon ympärille, ja sen keskihajonta on 2,5 g. Tämän muuttujan oletetaan olevan normaalisti jakautunut. Sen määrittämiseksi, onko kone kalibroitu asianmukaisesti, valitaan satunnaisesti n = 25 kuppia margariinia ja punnitaan kupit. Margariinin painot ovat X1, ..., X25, satunnaisotos X:stä.

Jotta saisimme käsityksen odotusarvosta μ, riittää, että annamme arvion. Sopiva estimaattori on otoskeskiarvo:

μ ^ = X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i . {\displaystyle {\hat {\mu }}={\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}. }

Näytteessä on todelliset painot x1, ...,x25, joiden keskiarvo on:

x ¯ = 1 25 ∑ i = 1 25 x i = 250,2 grammaa . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{25}}}\sum _{i=1}^{25}x_{i}=250.2\,{\text{grammaa}}. }

Jos otamme toisen 25 kupin otoksen, voimme helposti odottaa löytävämme arvoja 250,4 tai 251,1 grammaa. Otoksen keskiarvo 280 grammaa olisi kuitenkin erittäin harvinainen, jos kuppien keskimääräinen sisältö on todella lähellä 250 grammaa. Otoksen keskiarvon 250,2 havaitun arvon ympärillä on kokonainen vaihteluväli, jonka sisällä havaittuja tietoja ei pidettäisi erityisen epätavallisina, jos koko populaation keskiarvo todella on tällä alueella. Tällaista väliä kutsutaan parametrin μ luottamusväliksi. Miten tällainen väli lasketaan? Intervallin päätepisteet on laskettava otoksesta, joten ne ovat tilastoja, otoksen X1, ..., X25 funktioita ja siten itse satunnaismuuttujia.

Tapauksessamme voimme määrittää päätepisteet tarkastelemalla, että normaalisti jakautuneen otoksen otoskeskiarvo X on myös normaalisti jakautunut, ja sillä on sama odotusarvo μ, mutta keskivirhe σ/√n = 0,5 (grams). Vakioimalla saamme satunnaismuuttujan

Z = X ¯ - μ σ / n = X ¯ - μ 0.5 {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{0.5}}}}

joka riippuu estimoitavasta parametrista μ, mutta jonka normaalijakauma on riippumaton parametrista μ. Näin ollen on mahdollista löytää luvut -z ja z, jotka ovat riippumattomia μ:stä ja joiden välillä Z sijaitsee todennäköisyydellä 1 - α, joka on mittari sille, kuinka varmoja haluamme olla. Otetaan 1 - α = 0,95. Näin ollen meillä on:

P ( - z ≤ Z ≤ z ) = 1 - α = 0,95. {\displaystyle P(-z\leq Z\leq z)=1-\alpha =0.95.\,}

Luku z seuraa kumulatiivisesta jakaumafunktiosta:

Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = 1 - α 2 = 0,975 , z = Φ - 1 ( Φ ( z ) ) = Φ - 1 ( 0,975 ) = 1.96 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (z)&=P(Z\leq z)=1-{\tfrac {\alpha }{2}}=0.975,\\\[6pt]z&=\Phi ^{-1}(\Phi (z))=\Phi ^{-1}(0.975)=1.96,\end{aligned}}}

ja saamme:

0,95 = 1 - α = P ( - z ≤ Z ≤ z ) = P ( - 1,96 ≤ X ¯ - μ σ / n ≤ 1,96 ) = P ( X ¯ - 1,96 σ n ≤ μ ≤ X ¯ + 1.96 σ n ) = P ( X ¯ - 1,96 × 0,5 ≤ μ ≤ X ¯ + 1,96 × 0,5 ) = P ( X ¯ - 0,98 ≤ μ ≤ X ¯ + 0,98 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}0.95&=1-\alpha =P(-z\leq Z\leq z)=P\left(-1.96\leq {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq 1.96\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-1.96\times 0.5\leq \mu \leq {\bar {X}}+1.96\times 0.5\right)\\[6pt]&=P\left({\bar {X}}-0.98\leq \mu \leq {\bar {X}}+0.98\right).\end{aligned}}}}

Tämä voidaan tulkita seuraavasti: Todennäköisyydellä 0,95 löydämme luottamusvälin, jossa kohtaamme parametrin μ stokastisten päätepisteiden välissä.

X ¯ - 0 . 98 {\displaystyle {\bar {X}}-0{.}98\,}

ja

X ¯ + 0.98. {\displaystyle {\bar {X}}+0.98.\,}

Tämä ei tarkoita sitä, että parametri μ täyttyy 0,95 todennäköisyydellä lasketun aikavälin sisällä. Aina kun mittaukset toistetaan, otoksen keskiarvolle X saadaan uusi arvo. Tapauksista 95 prosentissa μ on tästä keskiarvosta laskettujen loppupisteiden välissä, mutta 5 prosentissa tapauksista se ei ole. Varsinainen luottamusväli lasketaan syöttämällä mitatut painot kaavaan. Meidän 0,95 luottamusvälimme on:

( x ¯ - 0,98 ; x ¯ + 0,98 ) = ( 250,2 - 0,98 ; 250,2 + 0,98 ) = ( 249,22 ; 251,18 ) . {\displaystyle ({\bar {x}}-0.98;{\bar {x}}+0.98)=(250.2-0.98;250.2+0.98)=(249.22;251.18).\,}

Koska μ:n haluttu arvo 250 on saadun luottamusvälin sisällä, ei ole syytä uskoa, että kone on kalibroitu väärin.

Lasketulla aikavälillä on kiinteät päätepisteet, joiden välissä voi olla μ (tai ei). Näin ollen tämän tapahtuman todennäköisyys on joko 0 tai 1. Emme voi sanoa: "todennäköisyydellä (1 - α) parametri μ on luottamusvälissä"." Tiedämme vain, että toistamalla 100(1 - α) % tapauksista μ on laskennallisella väylällä. 100α %:ssa tapauksista se ei kuitenkaan ole. Ja valitettavasti emme tiedä, missä tapauksista näin tapahtuu. Siksi sanomme: "luottamustasolla 100(1 - α) % μ on luottamusvälillä. "

Oikeanpuoleisessa kuvassa on esitetty 50 luottamusvälin realisointia tietylle populaation keskiarvolle μ. Jos valitsemme satunnaisesti yhden realisoinnin, todennäköisyys on 95 %, että valitsemme parametrin sisältävän luottamusvälin; voimme kuitenkin olla epäonnisia ja valita väärän. Emme koskaan saa tietää; olemme jumissa intervallimme kanssa.

Pystysuorat viivasegmentit edustavat 50 realisointia μ:n luottamusvälistä.