Konjugoituvat muuttujat – määritelmä kvanttifysiikassa (sijainti ja impulssi)
Konjugoituvat muuttujat kvanttifysiikassa: selkeä selitys sijainnin ja impulssin epäkommutatiivisuudesta sekä Heisenbergin ja Bornin merkityksestä.
Konjugoituvat muuttujat tarkoittavat kvanttimekaniikassa muuttujapareja, joiden vastaavat operaattorit eivät kommutoi eli niiden järjestyksellä on merkitystä. Tällöin tuotokset eivät ole samat: operaattori A kertaa B ei välttämättä ole sama kuin B kertaa A. Klassisesti muuttujat kuten sijainti ja impulssi käyttäytyvät numeerisina arvoina, mutta kvanttimekaniikassa ne esitetään yleisesti matriisi- tai operaattorimuodossa, ja näiden operaattorien kertolasku voi riippua järjestyksestä.
Mitä tarkoitetaan kommutoinnilla ja kommutaattorilla?
Jos A ja B ovat operaattoreita, niiden kommutaattori määritellään
[A,B] = A B − B A
Tämä erotus kuvaa juuri sitä, miten paljon A ja B poikkeavat toisistaan järjestyksestä riippuen. Jos [A,B] = 0, operaattorit kommu-toivat ja niillä on yhteisiä ominaisarvoja/mittaustuloksia tietyissä oloissa. Jos kommutaattori on nolla, niiden mittaaminen ei periaatteessa häiritse toisiaan täydellä tarkkuudella.
Sijainti ja impulssi kvanttimekaniikassa
Fyysikko Werner Heisenberg kehitti matrixmekaniikkaa, jossa fyysiset suureet esitetään matriiseina tai operaattoreina. Heisenberg ja hänen työtoverinsa huomasivat, että sijainti (operaattori yleensä merkitään Q tai x) ja impulssi (momentum, merkitään P tai p) eivät kommuoi: P*Q ei ole sama kuin Q*P. Tässä kertomerkki * tarkoittaa operaattoreiden yhdistämistä eli operaattorituloa.
Tämä havainto formalisoitiin matemaattisesti Bornin, Jordanin ja Heisenbergin matrixmekaniikassa. Esimerkin vuoksi artikkelissa näkyvät matriisituloja esittävät yhtälöt kuvaavat yleistettyä operaattorituloa eri indekseillä:
Ensimmäisen yhtälön avulla voidaan määrittää momentin ja sijainnin tulo:
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,p(n,n-a)q(n-a,n-b)} 
Toinen vastaava kaava antaa sijainnin ja liikemäärän tulon:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n,n-b)=\sum _{a}^{}\,q(n,n-a)p(n-a,n-b)} 
Kanonical commutation relation ja Heisenberg–Born
Max Born ja muut jatkoivat Heisenbergin työtä ja formalisoivat sen matemaattisesti. He havaitsivat, että sijainti- ja impulssiominaisuuksien kommutaatio on vakioisen arvon verran ei-nolla. Tämä esitetään usein muodossa
[Q,P] = Q P − P Q = i ħ
missä i on imaginaariyksikkö, ja ħ (h-bar) on reduktioitu Planckin vakio: ħ = h/(2π). Artikkelin alkuperäisessä kaavassa tämä ilmaistiin muotoon Q*P − P*Q = i h /(2π), joka on sama kuin i ħ.
Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\displaystyle {Q*P-P*Q={\frac {ih}{2\pi }}}} 
Tämä yhtälö on keskeinen kvanttimekaniikan rakennuspilari: se kertoo, että sijainnin ja impulssin mittaustulokset eivät voi olla samanaikaisesti arbiträäriä tarkkoja.
Yhteys epävarmuusperiaatteeseen
Kommutaattorin arvo johtaa suoraan Heisenbergin epävarmuusperiaatteeseen. Sijainnin ja impulssin epävarmuudet Δx ja Δp täyttävät rajoituksen
Δx · Δp ≥ ħ / 2
Tämä tarkoittaa, että mitä tarkemmin paikannamme hiukkasen sijainnin, sitä epävarmempi sen impulssi on, ja päinvastoin. Epävarmuus ei johdu mittauslaitteen puutteesta, vaan se on kvanttiluontoinen perusrajoite.
Miksi konjugoituja muuttujia tarvitaan ja missä niitä käytetään?
- Konjugoituvat muuttujat ja niiden kommutaatiosuhteet määräävät kvanttisysteemien dynamiikan ja säteilyominaisuudet.
- Niitä käytetään laajasti atomifysiikassa, kvanttielektrodynamiikassa, kvanttikenttäteoriassa ja kvanttilaskennassa.
- Niillä on myös klassinen vastineensa: Poissonin bracketit klassisessa mekaniikassa vastaavat kommutaatioita kvanttimekaniikassa, ja kvanttimekaniikan raja klassiseen mekaniikkaan liittyy näiden rakenteiden vastaavuuteen.
Lyhyt historiallisuus
Max Born, Heisenberg ja P. Jordan olivat keskeisiä hahmoja matrixmekaniikan kehityksessä. Heisenbergin alkuperäinen idea korvasi klassisen kuvaamisen matriisimuotoisella operaattorikielellä, ja Born antoi tälle matemaattisen ja tilastollisen tulkinnan. Näiden havaintojen pohjalta syntyi kvanttimekaniikan nykyinen formaali rakenne.
Konjugoituja muuttujia ja vastaavia periaatteita hyödynnetään nykyään laajasti fysiikassa, kemiassa sekä muissa tieteissä, joissa kvanttiluonteiset ilmiöt ovat merkityksellisiä.
Joitakin aiheeseen liittyviä aiheita
Kysymyksiä ja vastauksia
Q: Mitä ovat konjugoituvat muuttujat?
V: Konjugoituvat muuttujat ovat erityisiä muuttujapareja (kuten x, y, z), jotka eivät anna samaa tulosta, kun niillä tehdään tietty matemaattinen operaatio. Tämä tarkoittaa, että x*y ei ole yhtä suuri kuin y*x.
K: Kuka keksi konjugoituvat muuttujat?
V: Fyysikko Werner Heisenberg ja hänen työtoverinsa käyttivät klassisessa fysiikassa tutkittuja yhtälöitä kuvaamaan ja ennustamaan kvanttifysiikan tapahtumia. Hän havaitsi, että impulssi (massa kertaa nopeus, jota edustaa P) ja sijainti (jota edustaa Q) ovat konjugoituja muuttujia.
Kysymys: Millä yhtälöllä voidaan laskea momentin ja sijainnin tulo?
V: Ensimmäistä yhtälöä voidaan käyttää momentin ja sijainnin tulon selvittämiseen: Y(n,n-b)=∑a p(n,n-a)q(n-a,n-b).
K: Millä yhtälöllä voidaan laskea sijainnin ja impulssin tulo?
V: Toista yhtälöä voidaan käyttää sijainnin ja impulssin tulon laskemiseen: Z(n,n-b)=∑a q(n,n-a)p(n-a, n-b).
K: Mitä Max Born havaitsi konjugoituvista muuttujista?
V: Max Born havaitsi, että koska P*Q ei ole yhtä suuri kuin Q*P, tulos Q*P miinus P*Q ei ole nolla. Hän sai myös selville, että Q-P - P-Q = ih/2π.
K: Miten Planckin vakio näkyy kvanttimekaniikassa?
V: Planckin vakio esiintyy kvanttimekaniikassa paljon, koska se esiintyy Max Bornin yhtälössä, jolla lasketaan konjugoitujen muuttujien tuotteita; erityisesti h/2π:nä yhtäsuuruusmerkin toisella puolella.
K: Millä aloilla konjugoituja muuttujia käytetään?
V: Konjugaattimuuttujilla on sovelluksia kaikkialla fysiikassa, kemiassa ja muilla tieteenaloilla.
Etsiä