Kompleksiluku

Kompleksiluku on luku, mutta se eroaa tavallisista luvuista monin tavoin. Kompleksiluku muodostuu kahden luvun yhdistelmästä. Ensimmäinen osa on reaaliluku. Kompleksiluvun toinen osa on imaginaariluku. Tärkein imaginääriluku on nimeltään i {\displaystyle i}{\displaystyle i} , joka määritellään luvuksi, joka on -1, kun se neliöityy ("neliöityy" tarkoittaa "kerrotaan itsellään"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. Kaikki muut imaginääriluvut ovat i {\displaystyle i}{\displaystyle i} kerrottuna reaaliluvulla, samalla tavalla kuin kaikki reaaliluvut voidaan ajatella 1:llä kerrottuna toisella luvulla. Aritmeettisia funktioita, kuten yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua, voidaan käyttää kompleksilukujen kanssa. Ne noudattavat myös kommutatiivisia, assosiatiivisia ja distributiivisia ominaisuuksia, aivan kuten reaaliluvutkin.

Kompleksiluvut löydettiin, kun yritettiin ratkaista erityisiä yhtälöitä, joissa on eksponentteja. Nämä alkoivat aiheuttaa todellisia ongelmia matemaatikoille. Vertailun vuoksi voidaan todeta, että käyttämällä negatiivisia lukuja on mahdollista löytää x yhtälössä a + x = b {\displaystyle a+x=b}{\displaystyle a+x=b} kaikille a:n ja b:n reaaliarvoille, mutta jos x:lle sallitaan vain positiiviset luvut, on joskus mahdotonta löytää positiivista x:ää, kuten yhtälössä 3 + x = 1. Tämä on mahdollista, jos yhtälössä käytetään negatiivisia lukuja.

Eksponentioinnissa on vaikeuksia, jotka on voitettava. Ei ole olemassa yhtään reaalilukua, joka antaisi -1:n, kun se neliöityy. Toisin sanoen -1:llä (tai millään muulla negatiivisella luvulla) ei ole todellista neliöjuurta. Esimerkiksi ei ole olemassa reaalilukua x {\displaystyle x}x, joka ratkaisee ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}{\displaystyle (x+1)^{2}=-9} . Tämän ongelman ratkaisemiseksi matemaatikot ottivat käyttöön symbolin i ja kutsuivat sitä imaginääriluvuksi. Tämä on imaginääriluku, joka antaa -1, kun se neliöityy.

Ensimmäiset matemaatikot, jotka keksivät tämän, olivat luultavasti Gerolamo Cardano ja Raffaele Bombelli. He elivät 1500-luvulla. Luultavasti Leonhard Euler otti käyttöön i:n kirjoittamisen. }{\displaystyle \mathrm {i} } kyseiselle luvulle.

Kaikki kompleksiluvut voidaan kirjoittaa muodossa a + b i {\displaystyle a+bi} {\displaystyle a+bi}(tai a + b i {\displaystyle a+b\cdot i}{\displaystyle a+b\cdot i} ), jossa a on luvun reaaliosa ja b imaginääriosa. Kirjoitamme ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} {\displaystyle \Re (z)}tai Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}{\displaystyle \operatorname {Re} (z)} kompleksiluvun z reaaliosalle {\displaystyle z}{\displaystyle z} . Jos siis z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}{\displaystyle z=a+bi} , kirjoitetaan a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}{\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)} . Vastaavasti kirjoitamme ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} {\displaystyle \Im (z)}tai Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}{\displaystyle \operatorname {Im} (z)} kompleksiluvun z imaginääriosalle {\displaystyle z}{\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)}, kun kyseessä on sama z. Jokainen reaaliluku on myös kompleksiluku; se on kompleksiluku z, jonka ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}{\displaystyle \Im (z)=0} .

Kompleksiluku voidaan kirjoittaa myös järjestettynä parina (a, b). Sekä a että b ovat reaalilukuja. Mikä tahansa reaaliluku voidaan yksinkertaisesti kirjoittaa muodossa a + 0 i {\displaystyle a+0\cdot i}{\displaystyle a+0\cdot i} tai parina (a, 0).

Joskus kirjoitetaan j {\displaystyle j}{\displaystyle j} i {\displaystyle i}{\displaystyle i} sijasta. Sähkötekniikassa i {\displaystyle i}{\displaystyle i} tarkoittaa sähkövirtaa. Kirjoittaminen i {\displaystyle i} {\displaystyle i}voi aiheuttaa paljon ongelmia, koska jotkut sähkötekniikan luvut ovat monimutkaisia lukuja.

Kaikkien kompleksilukujen joukko kirjoitetaan yleensä muotoon C {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {C} }.

Operaatiot kompleksiluvuilla

Yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jakolasku, kunhan jakaja ei ole nolla, ja eksponentointi (lukujen nostaminen eksponentiksi) ovat kaikki mahdollisia kompleksiluvuilla. Myös jotkin muut laskutoimitukset ovat mahdollisia kompleksiluvuilla.

Monimutkaisten lukujen yhteen- ja vähennyslaskusääntö on melko yksinkertainen:

Olkoon z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)}, niin z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}{\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} , ja z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}{\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} .

Kertolasku on hieman erilainen:

z w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.}

Toinen merkittävä kompleksilukujen operaatio on konjugaatio. Kompleksikonjugaatti z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}}{\displaystyle {\overline {z}}}z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}{\displaystyle z=a+bi} on a - b i {\displaystyle a-bi}{\displaystyle a-bi} . Se on melko yksinkertaista, mutta on tärkeää laskelmien kannalta, koska z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}}{\displaystyle z\times {\overline {z}}} kuuluu reaalilukuihin kaikille kompleksisille z {\displaystyle z}}{\displaystyle z} :

z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}.

Voimme käyttää tätä jakamiseen:

1 z = z ¯ z z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i}

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}} \left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).}

Muita kompleksilukujen kuvaustapoja

Kompleksiluvut voidaan esittää niin sanotulla kompleksitasolla. Jos sinulla on luku z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}{\displaystyle z=a+bi} , voit mennä reaaliakselilla olevaan pisteeseen ja imaginaariakselilla olevaan pisteeseen b ja piirtää vektorin pisteestä ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} {\displaystyle (0,0)}pisteeseen ( a , b ) {\displaystyle (a,b)}{\displaystyle (a,b)} . Tämän vektorin pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen ja positiivisen reaaliakselin ja tämän vektorin välisen kulman avulla vastapäivään. Vektorin pituutta luvulle z {\displaystyle z}{\displaystyle z} kutsutaan sen modukseksi (kirjoitettuna | z | {\displaystyle |z|}{\displaystyle |z|} ), ja kulmaa kutsutaan sen argumentiksi ( arg z {\displaystyle \arg z}{\displaystyle \arg z} ).

Tämä johtaa trigonometriseen muotoon kompleksilukujen kuvaamiseksi: sinin ja kosinin määritelmien mukaan kaikille z {\displaystyle z}{\displaystyle z} on, että

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).}

Tämä liittyy läheisesti De Moivren kaavaan.

On olemassa vielä toinenkin muoto, jota kutsutaan eksponentiaaliseksimuodoksi.

Kompleksiluku voidaan esittää visuaalisesti kahtena lukuna, jotka muodostavat vektorin kompleksitasoa kuvaavassa Argandin diagrammissa.Zoom
Kompleksiluku voidaan esittää visuaalisesti kahtena lukuna, jotka muodostavat vektorin kompleksitasoa kuvaavassa Argandin diagrammissa.

Johtopäätös

Kun kompleksiluvut on lisätty matematiikkaan, jokaisella polynomilla, jolla on kompleksikertoimia, on kompleksilukuja olevia juuria. Kompleksilukujen onnistunut lisääminen matematiikkaan auttoi myös avaamaan tien toisenlaisten lukujen luomiseen, joilla voitaisiin ratkaista ja selittää monia erilaisia ongelmia, esimerkiksi hyperkompleksiluvut, sedenion, hyperreaaliluvut, surreaaliluvut ja monet muut. Katso numerotyypit.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on kompleksiluku?


A: Kompleksiluku on luku, joka koostuu kahdesta osasta, joista ensimmäinen osa on reaaliluku ja toinen osa imaginaariluku.

K: Mikä on tärkein imaginaariluku?


V: Tärkein imaginääriluku on nimeltään i, joka määritellään luvuksi, joka on -1, kun se neliöityy.

K: Miten aritmeettisia funktioita käytetään kompleksilukujen kanssa?


V: Aritmeettisia funktioita, kuten yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua, voidaan käyttää kompleksilukujen kanssa. Ne noudattavat myös kommutatiivisia, assosiatiivisia ja distributiivisia ominaisuuksia aivan kuten reaaliluvutkin.

K: Mikä symboli edustaa kompleksilukujen joukkoa?


V: Kompleksilukujen joukko esitetään usein symbolilla C.

K: Miksi kompleksiluvut löydettiin?


V: Kompleksiluvut löydettiin, kun yritettiin ratkaista erityisiä yhtälöitä, joissa on eksponentteja, koska ne aiheuttivat todellisia ongelmia matemaatikoille.

K: Kuka otti käyttöön i:n kirjoittamisen tämäntyyppisille luvuille?



V: Luultavasti Leonhard Euler otti käyttöön i:n kirjoittamisen tämäntyyppisille luvuille.

K: Miten kompleksiluku voidaan kirjoittaa järjestettynä parina?


A: Kompleksiluku voidaan kirjoittaa järjestettynä parina (a, b), jossa sekä a että b ovat reaalilukuja.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3