Kompleksiluku: määritelmä, a+bi-muoto, ominaisuudet ja historia

Kompleksiluku on luku, mutta se eroaa reaaliluvuista siinä, että siihen kuuluu kaksi osaa: reaaliosa ja imaginääriosa. Kompleksiluku voidaan ajatella parina reaalilukuja tai laajennuksena reaaliluvuille, joka mahdollistaa yhtälöiden ratkaisemisen myös silloin, kun reaalisia ratkaisuja ei ole.

a+bi-muoto ja terminologia

Jokainen kompleksiluku voidaan esittää muodossa a + b i {\displaystyle a+bi} $a+bi$ , jossa a ja b ovat reaalilukuja. Tässä a on luvun reaaliosa ja b imaginääriosa. Merkitsemme reaaliosaa useimmiten ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} $\Re (z)$ tai Re(z) ja imaginääriosaa ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} $\Im (z)$ tai Im(z). Esimerkiksi, jos z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , niin a = ℜ(z) ja b = ℑ(z).

Imaginaariyksikkö

Tärkein imaginääriluku on nimeltään i {\displaystyle i} $i$ , joka määritellään luvuksi, joka neliöityessään antaa -1. Kirjoitetaan siis i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ } $i^{2}=i\times i=-1\$ . Muita imaginäärisiä lukuja saadaan kertomalla i jollain reaaliluvulla b:llä, eli b·i.

Esitystavat ja järjestetty pari

Kompleksiluku voidaan esittää myös järjestettynä parina $(a, b)$ , jossa molemmat komponentit ovat reaalilukuja. Reaaliluku voidaan nähdä erikoistapauksena kompleksiluvusta: reaaliluku a vastaa kompleksilukua $a + 0\cdoti$ tai parina (a, 0).

Peruslaskutoimitukset

Yhteen- ja vähennyslasku: Lasketaan osittain eli reaaliosat yhteen ja imaginääriosat yhteen: (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i.
Kertolasku: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i; tässä hyödynnetään i2 = −1.
Jakolasku: Jakaminen tehdään usein kertomalla osoittaja ja nimittäjä osoittajan konjugaattilla (ks. alempana konjugaatti). Tällöin saadaan reaali- ja imaginääriosat erilleen.

Nämä operaatiot noudattavat samoja sääntöjä kuin reaaliluvuilla: ne ovat kommutatiivisia, assosiatiivisia ja distributiivisia.

Konjugaatti ja itseisarvo (moduuli)

Kompleksiluvun z = a+bi konjugaatti merkitään usein z̄ ja se on a−bi. Konjugaatilla on monia käyttötarkoituksia, kuten jakolaskun yksinkertaistaminen ja reaaliarvojen erotus. Kompleksiluvun itseisarvo eli moduuli on määritelty

|z| = sqrt(a² + b²), ja se vastaa pisteen etäisyyttä origosta kompleksitasossa. Itseisarvo on aina ei-negatiivinen reaaliluku.

Polaarimuoto ja Eulerin kaava

Kompleksiluku voidaan esittää myös polaarimuodossa z = r(cos θ + i sin θ), missä r = |z| on moduuli ja θ = arg(z) on argumentti (kulma). Eulerin kaavan avulla tämä kirjoitetaan yksinkertaisemmin muodossa e^{iθ} ja saadaan

z = r e^{iθ} = r(cos θ + i sin θ). Tämä muoto tekee kertolaskuista ja potensseista kätevämpiä: esimerkiksi kertolasku vastaa modulien kertomista ja argumenttien yhteenlaskua.

Geometrinen tulkinta

Kompleksiluvut voidaan esittää kaksidimensionaalisena tason pisteinä tai vektoreina: reaaliosa a vastaa x-koordinaattia ja imaginääriosa b y-koordinaattia. Tällöin kompleksilukujen yhteenlasku vastaa vektorien yhteenlaskua ja kertolasku yhdistää kiertoa (argumentin lisääminen) ja venytystä (moduulin kertominen).

Historia

Kompleksilukuja alettiin käyttää ratkaisemaan tiettyjä toisen asteen ja korkeampien polynomiyhtälöiden ongelmia, erityisesti tilanteissa, joissa neliöjuuria negatiivisista luvuista tarvittiin. Ensimmäisiä tämänkaltaisia havaintoja teki todennäköisesti Gerolamo Cardano yhdessä Raffaele Bombellin kanssa 1500-luvulla. Myöhemmin, todennäköisesti Leonhard Euler, otti käyttöön merkin i:n kirjoittamisen. } $\mathrm {i}$ Nykyaikainen analyyttinen ja algebrallinen käsitys kompleksiluvuista muotoutui 1800-luvulla, kun käsite kompleksitasosta ja kompleksifunktioista kehittyi.

Notaatio i vai j

Perinteisesti matematiikassa käytetään kirjainta i {\displaystyle i} $i$ imaginääriyksikkönä. Joissain teknisissä aloissa, kuten sähkötekniikassa, käytetään kuitenkin merkintää j {\displaystyle j} $j$ , koska i {\displaystyle i} $i$ usein merkitsee sähkövirtaa. Tämä ero on käytännöllinen ja molemmat merkinnät tarkoittavat samaa imaginääriyksikköä.

Sovelluksia ja merkitys

Kompleksiluvut ovat keskeisiä differentiaali- ja integraalilaskennassa kompleksifunktioiden teoriassa.
Ne ovat välttämättömiä sähkötekniikassa, signaalinkäsittelyssä, kontrolliteoriassa ja kvanttimekaniikassa.
Myös fraktaalit, Fourier-analyysi ja monet numeeriset menetelmät perustuvat kompleksilukuihin.

Joukko

Kaikkien kompleksilukujen joukko merkitään tyypillisesti symbolilla C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ . ℂ on kenttä, mikä tarkoittaa, että siinä on määritelty kaikki peruslaskutoimitukset (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku, paitsi jakaminen nollalla) ja ne noudattavat tavanomaisia laskusääntöjä.

Kompleksiluvut laajentavat reaalilukujen maailmaa ja tarjoavat luonnollisen kehyksen monille matemaattisille ja teknisille ongelmille, joita pelkät reaaliluvut eivät pysty käsittelemään.

Operaatiot kompleksiluvuilla

Yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jakolasku, kunhan jakaja ei ole nolla, ja eksponentointi (lukujen nostaminen eksponentiksi) ovat kaikki mahdollisia kompleksiluvuilla. Myös jotkin muut laskutoimitukset ovat mahdollisia kompleksiluvuilla.

Monimutkaisten lukujen yhteen- ja vähennyslaskusääntö on melko yksinkertainen:

Olkoon z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} $z=(a+bi),w=(c+di)$ , niin z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ , ja z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ .

Kertolasku on hieman erilainen:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Toinen merkittävä kompleksilukujen operaatio on konjugaatio. Kompleksikonjugaatti z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} ${\overline {z}}$ z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ on a - b i {\displaystyle a-bi} $a-bi$ . Se on melko yksinkertaista, mutta on tärkeää laskelmien kannalta, koska z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}} $z\times {\overline {z}}$ kuuluu reaalilukuihin kaikille kompleksisille z {\displaystyle z}} $z$ :

z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

Voimme käyttää tätä jakamiseen:

1 z = z ¯ z z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}} \left((cx+dy)+(dx-cy)i\right). } ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

Muita kompleksilukujen kuvaustapoja

Kompleksiluvut voidaan esittää niin sanotulla kompleksitasolla. Jos sinulla on luku z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , voit mennä reaaliakselilla olevaan pisteeseen ja imaginaariakselilla olevaan pisteeseen b ja piirtää vektorin pisteestä ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} $(0,0)$ pisteeseen ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} $(a,b)$ . Tämän vektorin pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen ja positiivisen reaaliakselin ja tämän vektorin välisen kulman avulla vastapäivään. Vektorin pituutta luvulle z {\displaystyle z} $z$ kutsutaan sen modukseksi (kirjoitettuna | z | {\displaystyle |z|} $|z|$ ), ja kulmaa kutsutaan sen argumentiksi ( arg z {\displaystyle \arg z} $\arg z$ ).

Tämä johtaa trigonometriseen muotoon kompleksilukujen kuvaamiseksi: sinin ja kosinin määritelmien mukaan kaikille z {\displaystyle z} $z$ on, että

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) . {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

Tämä liittyy läheisesti De Moivren kaavaan.

On olemassa vielä toinenkin muoto, jota kutsutaan eksponentiaaliseksimuodoksi.

Kompleksiluku voidaan esittää visuaalisesti kahtena lukuna, jotka muodostavat vektorin kompleksitasoa kuvaavassa Argandin diagrammissa.

Johtopäätös

Kun kompleksiluvut on lisätty matematiikkaan, jokaisella polynomilla, jolla on kompleksikertoimia, on kompleksilukuja olevia juuria. Kompleksilukujen onnistunut lisääminen matematiikkaan auttoi myös avaamaan tien toisenlaisten lukujen luomiseen, joilla voitaisiin ratkaista ja selittää monia erilaisia ongelmia, esimerkiksi hyperkompleksiluvut, sedenion, hyperreaaliluvut, surreaaliluvut ja monet muut. Katso numerotyypit.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on kompleksiluku?

A: Kompleksiluku on luku, joka koostuu kahdesta osasta, joista ensimmäinen osa on reaaliluku ja toinen osa imaginaariluku.

K: Mikä on tärkein imaginaariluku?

V: Tärkein imaginääriluku on nimeltään i, joka määritellään luvuksi, joka on -1, kun se neliöityy.

K: Miten aritmeettisia funktioita käytetään kompleksilukujen kanssa?

V: Aritmeettisia funktioita, kuten yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua, voidaan käyttää kompleksilukujen kanssa. Ne noudattavat myös kommutatiivisia, assosiatiivisia ja distributiivisia ominaisuuksia aivan kuten reaaliluvutkin.

K: Mikä symboli edustaa kompleksilukujen joukkoa?

V: Kompleksilukujen joukko esitetään usein symbolilla C.

K: Miksi kompleksiluvut löydettiin?

V: Kompleksiluvut löydettiin, kun yritettiin ratkaista erityisiä yhtälöitä, joissa on eksponentteja, koska ne aiheuttivat todellisia ongelmia matemaatikoille.

K: Kuka otti käyttöön i:n kirjoittamisen tämäntyyppisille luvuille?

V: Luultavasti Leonhard Euler otti käyttöön i:n kirjoittamisen tämäntyyppisille luvuille.

K: Miten kompleksiluku voidaan kirjoittaa järjestettynä parina?

A: Kompleksiluku voidaan kirjoittaa järjestettynä parina (a, b), jossa sekä a että b ovat reaalilukuja.