Juuri (matematiikka): radikaali, neliö- ja kuutiojuuri – määritelmä

Selkeä ja kattava selitys juurista: radikaali, neliö- ja kuutiojuuri, määritelmät, laskusäännöt ja muunnokset potensseiksi — täydellinen opiskelijoille ja kertaajille.

Tekijä: Leandro Alegsa

19-01-2026 22:20

Luvun r n:s juuri on luku, joka kerrottuna itsellään n kertaa muodostaa luvun r. Sitä kutsutaan myös radikaaliksi tai radikaalilausekkeeksi. Voidaan sanoa, että se on luku k, jolle seuraava yhtälö on tosi:

k n = r {\displaystyle k^{n}=r} $k^{n}=r$

Radikaalilauseke kirjoitetaan yleensä muodossa r n {\displaystyle {\sqrt[n]{{r}}}} ${\sqrt[{n}]{r}}$ . Kun n on 2, puhutaan neliöjuuresta (usein indeksi 2 jätetään merkitsemättä ja kirjoitetaan vain √r); kun n on 3, puhutaan kuutiojuuresta. Radikaalin osat ovat radikaali (eli radikaandi) r, indeksi n ja itse radikaalisymboli (rasti tai juurimerkki).

Perusesimerkkejä

Esimerkiksi 8 3 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}}=2} ${\sqrt[{3}]{8}}=2$ koska 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8}} $2^{3}=8$ .

Huomaa, että jos indeksi on parillinen (esim. 2, 4, ...), neliö- tai yleistetty parillinen juuri määritellään tavallisesti siten, että se antaa ei-negatiivisen arvon (ns. pääjuuri). Esimerkiksi √9 = 3, ei −3, vaikka (−3)² = 9. Jos indeksi on pariton, juuri voi olla myös negatiivinen: ∛(−8) = −2, koska (−2)³ = −8.

Juuret ja potenssit

Radikaali voidaan ilmaista potenssina yleisesti seuraavasti:

x a b = x a b = ( x b ) a = ( x a ) 1 b {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}}} ${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}=({\sqrt[{b}]{x}})^{a}=(x^{a})^{\frac {1}{b}}$ .

Tämä yhteys tekee helpommaksi käsitellä juuria yhdistettynä potenssisääntöihin ja yhtälöiden sievennyksiin. Esimerkiksi x^{1/2} tarkoittaa √x ja x^{3/2} tarkoittaa (√x)^3 = √(x^3).

Tuote- ja osamääräominaisuudet

Radikaalin tuoteominaisuus on muotoa

a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}$ .

Radikaalin lainausominaisuus (osamäärä) on

a b = a b {\displaystyle {\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}} ${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ .

Huom. Nämä identiteetit pätevät reaalilukujen pääjuuria käyttäen silloin, kun radikaalin alla olevat luvut (radikaandit) ovat ei-negatiivisia (tai kun käytetään samaa haun arvoja signoidulle juurelle). Jos käsitellään yleisemmin kompleksilukuja tai eri haaroja, on oltava varovainen ja mainittava oletukset.

Sieventäminen ja muita käytännön sääntöjä

Indeksi 2 voidaan usein jättää pois ja kirjoitetaan vain √x.
Juuri kannattaa sieventää poimimalla radikaalin alta täydelliset potenssit: esimerkiksi √50 = √(25·2) = 5√2. Vastaavasti ∛54 = ∛(27·2) = 3∛2.
Kun juurta ja potenssia yhdistetään, muistetaan eksponenttisäännöt: (x^{a})^{b} = x^{ab} sekä x^{a} x^{b} = x^{a+b}, kun määrittelyalueet sallivat.
Jos neliöjuuri esiintyy nimittäjässä, usein pyritään rationalisoimaan nimittäjä kertomalla sopivalla juurella (esim. 1/√2 = √2/2).

Negatiiviset radikaandit ja kompleksiluvut

Jos radikaalin indeksi on parillinen, negatiivisella radikaandilla ei ole reaalista pääjuurta. Esimerkiksi √(−4) ei ole reaaliluku, mutta kompleksilukujen puolella voidaan määritellä √(−4) = 2i (tai −2i riippuen haarasta). Yleisesti yhtälöllä k^{n} = r on kompleksiluvuissa n erillistä juurta (kun r ≠ 0), jotka liittyvät toisiinsa yhtenäisin kulma-askelin yksikköympyrällä.

Numeriset menetelmät

Juuren laskemiseen käytännössä käytetään usein laskinta tai numeerisia menetelmiä kuten Newton–Raphsonin menetelmää. Myös hajotelmat (esim. alkutekijöihin) auttavat tarkkojen täyslukujen ja sievennettyjen lausekkeiden löytämisessä.

Yhteenveto

Juuri (radikaali) on ratkaisu yhtälölle k^{n} = r. Radikaalilla on useita laskusääntöjä ja yhteyksiä potensseihin: erityisesti {\displaystyle {\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}}. Parillisilla indekseillä pääjuuri valitaan ei-negatiiviseksi, ja negatiiviset radikaandit johtavat kompleksisiin juuriin. Radikaalit voidaan usein sieventää poimimalla täydellisiä potensseja ja käyttää tuote- ja osamääräominaisuuksia, kun radikaandit ovat sopivan suuruisia (esim. ei-negatiivisia reaalilukuja).

Tämä on kuvaaja yhtälölle y = x {\displaystyle y={\sqrt {x}}} $y={\sqrt {x}}$ . Se on neliöjuuri.

Tämä on y = x 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}}} $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . Se on kuutiojuuri.

Yksinkertaistaminen

Tämä on esimerkki radikaalin yksinkertaistamisesta.

8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2 {\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}}} ${\sqrt {8}}={\sqrt {4\times 2}}={\sqrt {4}}\times {\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Jos kaksi radikaalia on sama, ne voidaan yhdistää. Tämä tapahtuu silloin, kun molemmat indeksit ja radikaalit ovat samat.

2 2 + 1 2 = 3 2 {\displaystyle 2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}}} $2{\sqrt {2}}+1{\sqrt {2}}=3{\sqrt {2}}$

2 7 3 - 6 7 3 = - 4 7 3 {\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}}} $2{\sqrt[{3}]{7}}-6{\sqrt[{3}]{7}}=-4{\sqrt[{3}]{7}}$

Näin löydät täydellisen neliön ja rationalisoit nimittäjän.

8 x x 3 = 8 x x x = 8 x = 8 x x × x x = 8 x x 2 = 8 x x {\displaystyle {\frac {\fac {8x}{{{\sqrt {x}}^{3}}}}={\frac {8{\\cancel {x}}}{{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}}}{x}}} ${\frac {8x}{{\sqrt {x}}^{3}}}={\frac {8{\cancel {x}}}{{\cancel {x}}{\sqrt {x}}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}={\frac {8}{\sqrt {x}}}\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}^{2}}}={\frac {8{\sqrt {x}}}{x}}$

Aiheeseen liittyvät sivut

Rationalisointi (matematiikka)

Kysymyksiä ja vastauksia

Kysymys: Mikä on n:nnen juuri?

V: Luvun r n:s juuri on luku, joka kertomalla itsellään n kertaa saadaan luku r.

K: Miten n:nnen juuri kirjoitetaan?

V: Luvun r n:nnen juuren nimi on r^(1/n).

K: Mitä esimerkkejä juurista on?

V: Jos indeksi (n) on 2, radikaali lauseke on neliöjuuri. Jos se on 3, se on kuutiojuuri. Muihin n:n arvoihin viitataan käyttämällä järjestyslukuja, kuten neljäs juuri ja kymmenes juuri.

Kysymys: Mitä radikaalilausekkeen tuoteominaisuus sanoo?

V: Radikaalilausekkeen tuoteominaisuus sanoo, että sqrt(ab) = sqrt(a) x sqrt(b).

Kysymys: Mitä radikaalilausekkeen lainausominaisuus sanoo?

V: Radikaali-ilmaisun lainausominaisuus sanoo, että sqrt(a/b) = (sqrt(a))/(sqrt(b)), missä b != 0.

K: Mitä muita termejä voidaan käyttää viittaamaan n:nteen juureen?

V: n:nnen juurta voidaan kutsua myös radikaaliksi tai radikaalilausekkeeksi.

Etsiä