Determinantti — neliömatriisin määritelmä ja käyttö lineaarialgebrassa

Determinantti: selkeä opas neliömatriisin määritelmään, laskemiseen ja käyttöön lineaarialgebrassa. Käytännön esimerkit, kaavat ja tulkinnat vaihe vaiheelta.

Tekijä: Leandro Alegsa

Neliömatriisin determinantti on skalaari (luku), joka osoittaa, miten kyseinen matriisi käyttäytyy. Se voidaan laskea matriisin luvuista.

Matriisin {\displaystyle A} determinantti kirjoitetaan kaavassa muodossa {\displaystyle \det(A)} tai {\displaystyle |A|} . Joskus {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)} ja {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|}kirjoitetaan yksinkertaisesti {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} ja {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|} .




 

Mitä determinantti kertoo?

Determinantti kuvaa neliömatriisin vaikutusta lineaarikuvauksena: se kertoo, kuinka paljon se skaalaa n-ulotteisen tilan tilavuuden ja muuttaa orientaatiota. Jos det(A) = 0, matriisi ei ole käännettävissä (se on singulaarinen) ja sen kuva on alemmassa dimensiossa. Jos det(A) > 0, orientaatio säilyy; jos det(A) < 0, orientaatio kääntyy.

Peruslaskut (esimerkit)

2×2-matriisin determinantti on helppo laskea. Jos A = [a b; c d], niin

det(A) = ad − bc.

Esimerkki: A = [2 3; 1 4] → det(A) = 2·4 − 3·1 = 8 − 3 = 5.

3×3-matriisille voidaan käyttää esimerkiksi Sarruksen sääntöä (vain 3×3:lle): jos

A = [a b c; d e f; g h i], niin

det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh.

Yleisemmin determinantti lasketaan Laplacen kehitelmän (alakeon laajennus) tai Gaussin eliminoinnin avulla. Gaussin eliminointi on tehokas suuremmille matriiseille: muokkaamalla matriisi yläkolmiomuotoon ja laskemalla diagonaalialkioiden tulo, saa determinanttiin arvioitavaksi diagonaalituotteen, mutta on huomioitava, että rivinvaihdot kääntävät determinantin merkin ja rivin kertominen skalaarilla skaalaa determinanttua.

Tärkeitä ominaisuuksia

  • Multiplikatiivisuus: det(AB) = det(A)·det(B).
  • Transpose: det(A^T) = det(A).
  • Skalaarikerroin: det(kA) = k^n det(A) kun A on n×n.
  • Rivitoimenpiteet:
    • Rivinvaihto: vaihtaminen kahden rivin välillä muuttaa determinantin etumerkin (kertoo −1).
    • Kertominen vakio k rivillä muuttaa determinantin k-kertaiseksi.
    • Kun yhteen riviin lisätään toisen rivin monikerta, determinantti ei muutu.
  • Kolmiomatriisi: Jos A on ylä- tai alakulmikas (triangular), det(A) = tuotediagonaalialkiot = ∏ a_ii.
  • Käänteismatriisi: A on käännettävissä täsmälleen silloin kun det(A) ≠ 0. Lisäksi A^−1 = (1/det(A))·adj(A), missä adj(A) on adjugaatta (kofaktori- eli komplementtimatriisin transpoosi).
  • Yhteys ominaisarvoihin: det(A) = ∏ λ_i, eli determinantti on matriisin ominaisarvojen tulo (lukuarvojen mukaan laskettuna, mukaan lukien moninkertaisuus).

Geometrinen tulkinta

Determinantti kertoo, kuinka paljon n-ulotteisen peruskuution tilavuus skaalautuu lineaarikuvauksen A vaikutuksesta. Esimerkiksi ℝ^2:ssa absoluuttinen arvo |det(A)| on kuvan alueen skaalauskerroin, ja etumerkki kertoo orientaation (kääntyyko suuntaus vai ei).

Kuinka laskea käytännössä

  • 2×2: kaava ad − bc (katso yllä).
  • 3×3: Sarrus tai Laplace/Gauss.
  • yleinen n×n: Gaussin eliminaatiolla (muunna yläkolmiomuotoon, huomioi rivinvaihtojen lukumäärä), tai Laplacen kehitelmällä (kofaktorilaajennus) pienempiin osiin.

Lyhyt laskuesimerkki 3×3:lle (Sarrus)

Olkoon A = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0]. Sarruksen mukaan

det(A) = 1·1·0 + 2·4·5 + 3·0·6 − 3·1·5 − 2·0·0 − 1·4·6 = 0 + 40 + 0 − 15 − 0 − 24 = 1.

Huomioita ja sovelluksia

Determinantteja käytetään monissa sovelluksissa kuten differentiaaliyhtälöissä, liike- ja mekaniikkamalleissa, lineaaristen yhtälöryhmien käänteisratkaisuissa ja geometriassa (tilavuuslaskenta). Arvioitaessa lineaarikuvauksen läpinäkyvyyttä (invertibility) tai tilavuudenmuutosta, determinantti on keskeinen työkalu.

Yhteenvetona: determinantti on skalaari, joka kuvaa neliömatriisin vaikutuksen tilavuuteen ja orientaatioon. Se voidaan laskea monella eri tavalla riippuen matriisin koosta ja rakenteesta, ja sen tunnetut ominaisuudet tekevät siitä tärkeän työkalun lineaarialgebrassa.

Tulkinta

On olemassa muutamia tapoja ymmärtää, mitä determinantti kertoo matriisista.

Geometrinen tulkinta

{\displaystyle n\times n} matriisin voidaan katsoa kuvaavan lineaarista karttaa n ulottuvuudessa. Tällöin determinantti osoittaa tekijän, jolla tämä matriisi skaalaa (kasvattaa tai kutistaa) n -ulotteisen avaruuden aluetta.

Esimerkiksi {\displaystyle 2\times 2} matriisin {\displaystyle A}lineaarisena karttana tarkasteltuna muuttaa neliön 2-ulotteisessa avaruudessa parallelogrammiksi. Tuon rinnakkaisneliön pinta-ala on {\displaystyle \det(A)} kertaa niin suuri kuin neliön pinta-ala.

Samalla tavalla {\displaystyle 3\times 3} matriisi {\displaystyle B} , lineaarisena karttana tarkasteltuna, muuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa olevan kuution yhdensuuntaiseksi neliöksi. Kyseisen halkaisijan tilavuus on {\displaystyle \det(B)} kertaa niin suuri kuin kuution tilavuus.

Determinantti voi olla negatiivinen tai nolla. Lineaarinen kartta voi venyttää ja skaalata tilavuutta, mutta se voi myös heijastaa sitä akselin yli. Aina kun näin tapahtuu, determinantin merkki muuttuu positiivisesta negatiiviseksi tai negatiivisesta positiiviseksi. Negatiivinen determinantti tarkoittaa, että tilavuus on peilattu parittoman akselimäärän yli.

"Yhtälösysteemin" tulkinta

Matriisin voidaan ajatella kuvaavan lineaaristen yhtälöiden järjestelmää. Kyseisellä systeemillä on ainutkertainen ei-triviaali ratkaisu juuri silloin, kun determinantti ei ole 0 (ei-triviaali tarkoittaa, että ratkaisu ei ole pelkästään nollia).

Jos determinantti on nolla, ei joko ole olemassa ainoaa ei-triviaalia ratkaisua tai niitä on äärettömän monta.



 

Zoom

Jos kyseessä on {\displaystyle 2\times 2} matriisi {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}, determinantti on parallellogrammin pinta-ala. (Pinta-ala on yhtä suuri kuin {\displaystyle ad-bc} .)


 

Singulaarimatriisit

Matriisilla on käänteismatriisi täsmälleen silloin, kun sen determinantti ei ole 0. Tästä syystä matriisia, jonka determinantti on nollasta poikkeava, kutsutaan käänteismatriisiksi. Jos determinantti on 0, matriisia kutsutaan ei-käännettäväksi tai singulaariseksi.

Geometrisesti voidaan ajatella, että singulaarimatriisi "litistää" yhdensuuntaisen neliön yhdensuuntaiseksi tai yhdensuuntaisen neliön viivaksi. Tällöin tilavuus tai pinta-ala on 0, mikä tarkoittaa, että ei ole olemassa lineaarista karttaa, joka toisi vanhan muodon takaisin.


 

Determinantin laskeminen

Determinantti voidaan laskea muutamalla eri tavalla.

Kaavat pienille matriiseille

  • Matriiseille {\displaystyle 1\times 1} ja {\displaystyle 2\times 2} pätevät seuraavat yksinkertaiset kaavat:

{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

  • {\displaystyle 3\times 3} matriisien kaava on:

{\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Tämän kaavan muistamiseen voidaan käyttää Sarruksen sääntöä (katso kuva).

Kofaktorin laajeneminen

Suurempien matriisien determinantti on vaikeampi laskea. Eräs tapa tehdä se on niin sanottu kofaktoreiden laajentaminen.

Oletetaan, että meillä on {\displaystyle n\times n} matriisi {\displaystyle A} . Ensin valitaan jokin matriisin rivi tai sarake. Jokaiselle kyseisellä rivillä tai sarakkeessa olevalle luvulle {\displaystyle a_{ij}} laskemme jotain, jota kutsutaan sen kofaktoriksi {\displaystyle C_{ij}}. Tällöin {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}.

Tällaisen kofaktorin laskemiseksi {\displaystyle C_{ij}}poistetaan matriisista {\displaystyle A} rivi {\displaystyle i} ja sarake {\displaystyle j} . Näin saadaan pienempi {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} matriisi. Kutsumme sitä {\displaystyle M} . Koefaktori {\displaystyle C_{ij}} on tällöin yhtä suuri kuin {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Seuraavassa on esimerkki {\displaystyle 3\times 3} -matriisin vasemman sarakkeen kofaktoreiden laajennuksesta:

⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\\{\color {red}2}&1&1\\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\\&=-11.\end{aligned}}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}}

Kuten edellä on havainnollistettu, determinantin laskemista voidaan yksinkertaistaa valitsemalla rivi tai sarake, jossa on paljon nollia; jos {\displaystyle a_{ij}} on 0, voidaan {\displaystyle C_{ij}} laskeminen jättää kokonaan väliin.



 

Zoom

{\displaystyle 3\times 3} determinantti kaava on tuotteiden summa. Nämä tuotteet kulkevat lävistäjiä pitkin, jotka "kiertyvät" matriisin yläosaan. Tätä temppua kutsutaan Sarruksen säännöksi.


 

Aiheeseen liittyvät sivut

  • Invertiivinen matriisi
  • Volume
 

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on determinantti?


A: Determinantti on skalaari (luku), joka osoittaa, miten neliömatriisi käyttäytyy.

K: Miten matriisin determinantti voidaan laskea?


V: Matriisin determinantti voidaan laskea matriisissa olevista luvuista.

K: Miten matriisin determinantti kirjoitetaan?


V: Matriisin determinantti kirjoitetaan kaavassa muodossa det(A) tai |A|.

K: Onko olemassa muita tapoja kirjoittaa matriisin determinantti?


V: Kyllä, det([a b c d]) ja |[a b c d]| sijasta voidaan yksinkertaisesti kirjoittaa det [a b c d] ja |[a b c d]|.

K: Mitä tarkoittaa, kun sanomme "skalaari"?


V: Skaalaari on yksittäinen luku tai suure, jolla on suuruus, mutta johon ei liity suuntaa.

K: Mitä ovat neliömatriisit?


V: Neliömatriisit ovat matriiseja, joissa on yhtä monta riviä ja saraketta, kuten 2x2- tai 3x3-matriisit.


Etsiä
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3