Determinantti — neliömatriisin määritelmä ja käyttö lineaarialgebrassa

On olemassa muutamia tapoja ymmärtää, mitä determinantti kertoo matriisista.

Geometrinen tulkinta

N × n {\displaystyle n\times n} matriisin voidaan katsoa kuvaavan lineaarista karttaa n {\displaystyle n} ulottuvuudessa. Tällöin determinantti osoittaa tekijän, jolla tämä matriisi skaalaa (kasvattaa tai kutistaa) n {\displaystyle n} -ulotteisen avaruuden aluetta.

Esimerkiksi 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} matriisin A {\displaystyle A} lineaarisena karttana tarkasteltuna muuttaa neliön 2-ulotteisessa avaruudessa parallelogrammiksi. Tuon rinnakkaisneliön pinta-ala on det ( A ) {\displaystyle \det(A)} kertaa niin suuri kuin neliön pinta-ala.

Samalla tavalla 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matriisi B {\displaystyle B} , lineaarisena karttana tarkasteltuna, muuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa olevan kuution yhdensuuntaiseksi neliöksi. Kyseisen halkaisijan tilavuus on det ( B ) {\displaystyle \det(B)} kertaa niin suuri kuin kuution tilavuus.

Determinantti voi olla negatiivinen tai nolla. Lineaarinen kartta voi venyttää ja skaalata tilavuutta, mutta se voi myös heijastaa sitä akselin yli. Aina kun näin tapahtuu, determinantin merkki muuttuu positiivisesta negatiiviseksi tai negatiivisesta positiiviseksi. Negatiivinen determinantti tarkoittaa, että tilavuus on peilattu parittoman akselimäärän yli.

"Yhtälösysteemin" tulkinta

Matriisin voidaan ajatella kuvaavan lineaaristen yhtälöiden järjestelmää. Kyseisellä systeemillä on ainutkertainen ei-triviaali ratkaisu juuri silloin, kun determinantti ei ole 0 (ei-triviaali tarkoittaa, että ratkaisu ei ole pelkästään nollia).

Jos determinantti on nolla, ei joko ole olemassa ainoaa ei-triviaalia ratkaisua tai niitä on äärettömän monta.

Matriisilla on käänteismatriisi täsmälleen silloin, kun sen determinantti ei ole 0. Tästä syystä matriisia, jonka determinantti on nollasta poikkeava, kutsutaan käänteismatriisiksi. Jos determinantti on 0, matriisia kutsutaan ei-käännettäväksi tai singulaariseksi.

Geometrisesti voidaan ajatella, että singulaarimatriisi "litistää" yhdensuuntaisen neliön yhdensuuntaiseksi tai yhdensuuntaisen neliön viivaksi. Tällöin tilavuus tai pinta-ala on 0, mikä tarkoittaa, että ei ole olemassa lineaarista karttaa, joka toisi vanhan muodon takaisin.

Determinantti voidaan laskea muutamalla eri tavalla.

Kaavat pienille matriiseille

• Matriiseille 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} ja 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} pätevät seuraavat yksinkertaiset kaavat:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

• 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} matriisien kaava on:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Tämän kaavan muistamiseen voidaan käyttää Sarruksen sääntöä (katso kuva).

Kofaktorin laajeneminen

Suurempien matriisien determinantti on vaikeampi laskea. Eräs tapa tehdä se on niin sanottu kofaktoreiden laajentaminen.

Oletetaan, että meillä on n × n {\displaystyle n\times n} matriisi A {\displaystyle A} . Ensin valitaan jokin matriisin rivi tai sarake. Jokaiselle kyseisellä rivillä tai sarakkeessa olevalle luvulle a i j {\displaystyle a_{ij}} laskemme jotain, jota kutsutaan sen kofaktoriksi C i j {\displaystyle C_{ij}} . Tällöin det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}} .

Tällaisen kofaktorin C i j laskemiseksi {\displaystyle C_{ij}} poistetaan matriisista A {\displaystyle A} rivi i {\displaystyle i} ja sarake j {\displaystyle j} . Näin saadaan pienempi ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} matriisi. Kutsumme sitä M {\displaystyle M} . Koefaktori C i j {\displaystyle C_{ij}} on tällöin yhtä suuri kuin ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Seuraavassa on esimerkki 3 × 3 \displaystyle 3 \times 3} -matriisin vasemman sarakkeen kofaktoreiden laajennuksesta:

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\\{\color {red}2}&1&1\\\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\\\&=-11.\end{aligned}}}}

Kuten edellä on havainnollistettu, determinantin laskemista voidaan yksinkertaistaa valitsemalla rivi tai sarake, jossa on paljon nollia; jos a i j {\displaystyle a_{ij}} on 0, voidaan C i j {\displaystyle C_{ij}} laskeminen jättää kokonaan väliin.

• Invertiivinen matriisi
• Volume