Matematiikassa sana merkki viittaa yleensä siihen, onko luku positiivinen vai negatiivinen. Jokainen reaaliluku (joka ei ole nolla) on joko positiivinen tai negatiivinen, joten sillä on merkki. Nolla itsessään on merkitön eli sillä ei ole merkkiä. Kun luku kirjoitetaan ilman etumerkkiä, sen katsotaan olevan positiivinen (esimerkiksi 5 merkitsee +5).

Perusmerkitys ja kirjoitustapa

Tavallisimmin merkki ilmaistaan etumerkillä: plusmerkki "+" osoittaa positiivisuutta ja miinusmerkki "−" negatiivisuutta. Miinusmerkkiä käytetään kahdessa eri roolissa:

  • unaarinen miinus: ilmaisee luvun vastaluvun (esim. −3 tarkoittaa luvun 3 vastalukua),
  • binäärinen miinus: toimii vähennysoperaation merkkinä (esim. 5 − 2 = 3).
Symboli ± (plus–miinus) käytetään tilanteissa, joissa halutaan ilmaista kaksi vaihtoehtoa samanaikaisesti (esim. x = ±2 tarkoittaa x = 2 tai x = −2).

Signum-funktio (merkkifunktio)

Merkin kuvaamiseen käytetään usein signum- eli merkkifunktiota sgn(x), joka määritellään reaaliarvoisille x seuraavasti:

  • sgn(x) = 1, jos x > 0,
  • sgn(x) = 0, jos x = 0,
  • sgn(x) = −1, jos x < 0.
Merkkifunktiolla on hyödyllinen yhteys itse lukuun: x = sgn(x) · |x|, missä |x| on luvun itseisarvo.

Merkin laskusäännöt

Merkkeihin liittyy joukko yksinkertaisia sääntöjä, jotka pätevät muun muassa kertolaskussa ja jakolaskussa:

  • + · + = +,
  • + · − = −,
  • − · + = −,
  • − · − = +.
Tästä seuraa, että kahden negatiivisen luvun tulo on positiivinen ja yhden negatiivisen ja yhden positiivisen luvun tulo on negatiivinen. Jakolaskussa pätevät samat merkkisäännöt. Summa- ja erotuslaskuissa merkin vaikutus ei ole yhtä suoraviivainen; esimerkiksi 5 + (−3) = 2 mutta 5 + 3 = 8.

Potensseissa parillinen eksponentti poistaa merkin (x² on aina ≥ 0, jos x on reaalinen), kun taas pariton eksponentti säilyttää merkin (esim. (−2)³ = −8).

Merkin vaihtaminen ja vastaluku

Merkin vaihtaminen tarkoittaa luvun kertomista −1:llä. Jos x on reaaliluku, niin −x on x:n vastaluku. Merkin kääntäminen kahdesti palauttaa alkuperäisen luvun: −(−x) = x.

Nolla ja merkitön tila

Nolla on erityistapaus: sillä ei ole positiivista tai negatiivista merkkiä, ja usein merkkifunktio antaa arvon 0 juuri nollalle. Monet merkkisääntöihin perustuvat lauseet täytyy käsitellä erikseen tapauksen x = 0 vuoksi.

Muita merkityksiä matematiikassa

Sana "merkki" esiintyy matematiikassa myös muissa yhteyksissä: se voi viitata eri merkkeihin (kuten plus-, miinus- ja kertolaskun merkkiin) tai johonkin muuttujan eteen liitettyyn etumerkkiin. Kompleksiluvuilla ei ole luonnollista "positiivisuuden" käsitettä, mutta niille voidaan määritellä esimerkiksi vaihe (phase) tai yksikkökompleksi z/|z|, joka vastaa kompleksiluvun "suuntaa" (ei kuitenkaan reaaliluvun merkkiä).

Yhteenvetona: "merkki" kertoo tavallisesti luvun etumerkin (positiivinen/negatiivinen), nolla on merkitön, ja merkkeihin liittyvät säännöt ovat perusvälineitä aritmetiikassa ja algebrassa.