Merkki matematiikassa: positiivinen, negatiivinen ja symbolit
Tutustu merkkiin matematiikassa: mitä tarkoittavat positiivinen, negatiivinen ja laskumerkit (plus, miinus) — selkeät selitykset ja esimerkit aloittelijalle.
Matematiikassa sana merkki viittaa yleensä siihen, onko luku positiivinen vai negatiivinen. Jokainen reaaliluku (joka ei ole nolla) on joko positiivinen tai negatiivinen, joten sillä on merkki. Nolla itsessään on merkitön eli sillä ei ole merkkiä. Kun luku kirjoitetaan ilman etumerkkiä, sen katsotaan olevan positiivinen (esimerkiksi 5 merkitsee +5).
Perusmerkitys ja kirjoitustapa
Tavallisimmin merkki ilmaistaan etumerkillä: plusmerkki "+" osoittaa positiivisuutta ja miinusmerkki "−" negatiivisuutta. Miinusmerkkiä käytetään kahdessa eri roolissa:
- unaarinen miinus: ilmaisee luvun vastaluvun (esim. −3 tarkoittaa luvun 3 vastalukua),
- binäärinen miinus: toimii vähennysoperaation merkkinä (esim. 5 − 2 = 3).
Signum-funktio (merkkifunktio)
Merkin kuvaamiseen käytetään usein signum- eli merkkifunktiota sgn(x), joka määritellään reaaliarvoisille x seuraavasti:
- sgn(x) = 1, jos x > 0,
- sgn(x) = 0, jos x = 0,
- sgn(x) = −1, jos x < 0.
Merkin laskusäännöt
Merkkeihin liittyy joukko yksinkertaisia sääntöjä, jotka pätevät muun muassa kertolaskussa ja jakolaskussa:
- + · + = +,
- + · − = −,
- − · + = −,
- − · − = +.
Potensseissa parillinen eksponentti poistaa merkin (x² on aina ≥ 0, jos x on reaalinen), kun taas pariton eksponentti säilyttää merkin (esim. (−2)³ = −8).
Merkin vaihtaminen ja vastaluku
Merkin vaihtaminen tarkoittaa luvun kertomista −1:llä. Jos x on reaaliluku, niin −x on x:n vastaluku. Merkin kääntäminen kahdesti palauttaa alkuperäisen luvun: −(−x) = x.
Nolla ja merkitön tila
Nolla on erityistapaus: sillä ei ole positiivista tai negatiivista merkkiä, ja usein merkkifunktio antaa arvon 0 juuri nollalle. Monet merkkisääntöihin perustuvat lauseet täytyy käsitellä erikseen tapauksen x = 0 vuoksi.
Muita merkityksiä matematiikassa
Sana "merkki" esiintyy matematiikassa myös muissa yhteyksissä: se voi viitata eri merkkeihin (kuten plus-, miinus- ja kertolaskun merkkiin) tai johonkin muuttujan eteen liitettyyn etumerkkiin. Kompleksiluvuilla ei ole luonnollista "positiivisuuden" käsitettä, mutta niille voidaan määritellä esimerkiksi vaihe (phase) tai yksikkökompleksi z/|z|, joka vastaa kompleksiluvun "suuntaa" (ei kuitenkaan reaaliluvun merkkiä).
Yhteenvetona: "merkki" kertoo tavallisesti luvun etumerkin (positiivinen/negatiivinen), nolla on merkitön, ja merkkeihin liittyvät säännöt ovat perusvälineitä aritmetiikassa ja algebrassa.
Plus- ja miinusmerkkejä käytetään osoittamaan numeron merkki. Plus tarkoittaa positiivista ja miinus negatiivista.
Luvun merkki
Reaaliluvun sanotaan olevan positiivinen, jos se on suurempi kuin nolla, ja negatiivinen, jos se on pienempi kuin nolla. Ominaisuutta olla positiivinen tai negatiivinen kutsutaan luvun merkiksi. Nollalla itsellään ei katsota olevan merkkiä.
Aritmeettisessa laskutoimituksessa numeron merkki merkitään usein laittamalla plus- tai miinusmerkki numeron eteen. Esimerkiksi +3 tarkoittaa positiivista 3 ja -3 negatiivista 3. Kun plus- tai miinusmerkkiä ei anneta, pääasiallinen tapa nähdä se on, että luku on positiivinen.
Minkä tahansa luvun, joka ei ole nolla, merkki voidaan muuttaa positiiviseksi absoluuttisen arvon funktion avulla. Esimerkiksi -3:n absoluuttinen arvo ja 3:n absoluuttinen arvo ovat molemmat yhtä suuria kuin 3. Symboleissa tämä kirjoitetaan |-3| = 3 ja |3| = 3.
Nollan merkki
Luku nolla ei ole positiivinen eikä negatiivinen, joten sillä ei ole merkkiä. Aritmeettisessa laskutoimituksessa +0 ja -0 tarkoittavat molemmat samaa lukua 0.
Merkkien merkitykset
Koska nolla ei ole positiivinen eikä negatiivinen, tuntemattoman luvun merkistä käytetään joskus seuraavia merkkejä:
- Luku on positiivinen, jos se on suurempi kuin nolla.
- Luku on negatiivinen, jos se on pienempi kuin nolla.
- Luku on ei-negatiivinen, jos se on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.
- Luku on ei-positiivinen, jos se on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla.
Ei-negatiivinen luku on siis joko positiivinen tai nolla, kun taas ei-positiivinen luku on joko negatiivinen tai nolla. Esimerkiksi reaaliluvun absoluuttinen arvo on aina ei-negatiivinen, mutta ei välttämättä positiivinen.
Samaa määritelmää käytetään joskus funktioille, jotka ottavat reaali- tai kokonaislukuarvoja. Esimerkiksi funktiota kutsutaan positiiviseksi, jos kaikki sen arvot ovat positiivisia, tai ei-negatiiviseksi, jos kaikki sen arvot ovat ei-negatiivisia.
Kulman merkki
Monissa teksteissä on tavallista nähdä merkki yhdessä kulman, erityisesti sijaintikulman tai kiertokulman, mitan kanssa. Tällaisessa tilanteessa merkki kertoo, onko kulma myötä- vai vastapäivään. Vaikka voidaan käyttää erilaisia konventioita, matematiikassa on yleistä, että vastapäivään kulmat lasketaan positiivisiksi ja myötäpäivään kulmat negatiivisiksi.
Myös kolmiulotteisen kiertokulman merkitseminen on mahdollista, kunhan kiertoakseli on suunnattu. Oikeakätinen kierto akselin ympäri lasketaan yleensä positiiviseksi, kun taas vasenkätinen kierto lasketaan negatiiviseksi.
Suunnan merkki
Aritmetiikassa ja fysiikassa on yleistä merkitä tietyt suunnat positiivisiksi tai negatiivisiksi. Perusesimerkkinä voidaan mainita, että numeroviiva piirretään yleensä siten, että positiiviset luvut ovat oikealla ja negatiiviset vasemmalla:
Kartesiolaisessa tasossa oikealle ja ylöspäin suuntautuvat suunnat ajatellaan yleensä positiivisina, jolloin oikealle on positiivinen x-suunta ja ylöspäin on positiivinen y-suunta.
Muut merkitykset
Reaaliluvun merkin lisäksi sanaa merkki käytetään matematiikassa ja luonnontieteissä monin eri tavoin:
- Graafiteoriassa allekirjoitettu graafi on graafi, jossa jokainen reuna on merkitty positiivisella tai negatiivisella merkillä.
- Fysiikassa kaikilla sähkövarauksilla on merkki, joko positiivinen tai negatiivinen. Yleisten sääntöjen mukaan positiivinen varaus on protonin varauksen kanssa samanmerkkinen varaus ja negatiivinen varaus on elektronin varauksen kanssa samanmerkkinen varaus.
Yksikköympyrän kulmat ovat x-akselilta mitattuna positiivisia vastapäivään ja negatiivisia myötäpäivään päin.
Sähkövaraus voi olla positiivinen tai negatiivinen.
Etsiä