Rinnakkaissärmiö (parallelepipedi): määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit

Mitä tahansa kolmesta yhdensuuntaisesta pinnasta voidaan pitää prisman perustasona. Parallelepipedissä on kolme neljän yhdensuuntaisen reunan sarjaa; kunkin sarjan sisällä olevat reunat ovat yhtä pitkiä.

Parallelepipedit ovat tulosta kuution lineaarisista muunnoksista (ei-degeneroituneissa tapauksissa: bijektiiviset lineaariset muunnokset).

Koska jokainen pinta on pistesymmetrinen, rinnakkaislohko on zonoedri. Myös koko rinnakkaislohkare on pistesymmetrinen _Ci (ks. myös trikliininen). Kukin pinta on ulkopuolelta katsottuna vastakkaisen pinnan peilikuvana. Sivut ovat yleensä kiraalisia, mutta rinnakkaislohko ei ole.

Tilan täyttävä tessellaatio on mahdollinen minkä tahansa rinnakkaissärmiön yhtenevillä kopioilla.

Pallon tilavuus on sen pohjan A pinta-alan ja korkeuden h tulo. Pohja on mikä tahansa pallon kuudesta sivusta. Korkeus on pohjan ja vastakkaisen sivun välinen kohtisuora etäisyys.

Vaihtoehtoinen menetelmä määrittelee vektorit a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) ja c = (c1, c2, c3) kuvaamaan kolmea reunaa, jotka kohtaavat yhdessä pisteessä. Silloin rinnakkaissärmiön tilavuus on yhtä suuri kuin skalaarisen kolmoistuotoksen a - (b × c) absoluuttinen arvo:

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Tämä on totta, koska jos valitsemme b ja c edustamaan pohjan reunoja, pohjan pinta-ala on ristitulon määritelmän mukaan (ks. ristitulon geometrinen merkitys),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

jossa θ on b:n ja c:n välinen kulma, ja korkeus on

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

jossa α on a:n ja h:n välinen sisäkulma.

Kuvasta voidaan päätellä, että α:n suuruus rajoittuu 0° ≤ α < 90°. Päinvastoin, vektori b × c voi muodostaa a:n kanssa sisäisen kulman β, joka on suurempi kuin 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Koska b × c on nimittäin yhdensuuntainen h:n kanssa, β:n arvo on joko β = α tai β = 180° - α. Joten

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

ja

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|. }

Päättelemme, että

V = A h = | a | b × c | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

joka skalaarituoton (tai pisteproduktion) määritelmän mukaan vastaa absoluuttista arvoa a - (b × c), Q.E.D..

Jälkimmäinen lauseke vastaa myös kolmiulotteisen matriisin determinantin absoluuttista arvoa, joka on muodostettu käyttämällä riveinä (tai sarakkeina) a, b ja c:tä:

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Tämä saadaan käyttämällä Cramerin sääntöä kolmelle pienennetylle kaksiulotteiselle matriisille, jotka on saatu alkuperäisestä matriisista.

Jos a, b ja c ovat suuntaissärmiön reunojen pituudet ja α, β ja γ ovat reunojen väliset sisäkulmat, tilavuus on seuraava

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Vastaava tetraedri

Minkä tahansa tetraedrin, joka jakaa kolme samansuuntaista reunaa, tilavuus on yhtä suuri kuin yksi kuudesosa kyseisen neliön tilavuudesta (ks. todiste).

Symmetriatason omaavilla parallelepipedoilla on kaksi tapausta:

• siinä on neljä suorakulmaista pintaa
• sillä on kaksi rombipintaa, kun taas muista pinnoista kaksi vierekkäistä on yhtä suuria ja kaksi muuta myös (nämä kaksi paria ovat toistensa peilikuvia).

Katso myös monokliininen.

Suorakulmainen kuutio, jota kutsutaan myös suorakulmaiseksi parallelepipediksi tai joskus yksinkertaisesti kuutioksi, on parallelepipedi, jonka kaikki pinnat ovat suorakulmaisia; kuutio on kuutio, jolla on neliönmuotoiset pinnat.

Romboedri on rinnakkaislohko, jonka kaikki sivut ovat ruudullisia; trigonaalinen puolisuunnikas on romboedri, jonka sivut ovat yhteneviä ruudullisia.

Täydellinen rinnakkaissärmiö on rinnakkaissärmiö, jolla on kokonaislukujen pituiset särmät, pinta-alan lävistäjät ja avaruuden lävistäjät. Vuonna 2009 osoitettiin, että on olemassa kymmeniä täydellisiä rinnakkaispiirteitä, mikä vastasi Richard Guyn avoimeen kysymykseen. Eräässä esimerkissä on reunat 271, 106 ja 103, pienet kasvojen lävistäjät 101, 266 ja 255, suuret kasvojen lävistäjät 183, 312 ja 323 sekä avaruuden lävistäjät 374, 300, 278 ja 272.

Tunnetaan joitakin täydellisiä parallelopipedejä, joilla on kaksi suorakulmaista pintaa. Ei kuitenkaan tiedetä, onko olemassa sellaisia, joiden kaikki pinnat ovat suorakulmaisia; tällaista tapausta kutsuttaisiin täydelliseksi kuutioksi.

Coxeter kutsui rinnakkaislohkon yleistystä korkeammissa ulottuvuuksissa rinnakkaisotopiksi.

Erityisesti n-ulotteisessa avaruudessa sitä kutsutaan n-ulotteiseksi parallelotopiksi tai yksinkertaisesti n-parallelotopiksi. Siten parallelogrammi on 2-parallelotoppi ja rinnakkaislohko on 3-parallelotoppi.

Yleisemmin rinnakkaisotopilla eli Voronoi- rinnakkaisotopilla on yhdensuuntaiset ja yhteneväiset vastakkaiset puolet. Näin ollen 2-parallelotop on parallelogon, johon voi kuulua myös tiettyjä kuusikulmioita, ja 3-parallelotop on paralleloedri, johon kuuluu 5 monihedrityyppiä.

n-parallelotopin lävistäjät leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä ja ovat tämän pisteen kautta puoliksi halkaisijoita. Inversio tässä pisteessä jättää n-parallelotopin ennalleen. Katso myös Euklidisen avaruuden isometriaryhmien kiintopisteet.

K-parallelotopin yhdestä kärjestä lähtevät reunat muodostavat vektoriavaruuden k-kehyksen ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}, ja parallelotop voidaan palauttaa näistä vektoreista ottamalla vektoreiden lineaarikombinaatioita, joiden painot ovat välillä 0 ja 1.

R m:ään {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}}, jossa m ≥ n {\displaystyle m\geq n}, upotetun n-parallelotopin n-tilavuus voidaan laskea Gramin determinantin avulla. Vaihtoehtoisesti tilavuus on vektoreiden ulkotuoton normi:

V = ‖ v 1 ∧ ∧ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Jos m = n, tämä on n vektorin determinantin absoluuttinen arvo.

Toinen kaava n-parallelotopin P tilavuuden laskemiseksi R n:ssä {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , jonka n + 1 kärkeä ovat V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} , on

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T ,... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

jossa [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} on rivivektori, joka muodostuu V i {\displaystyle V_{i}}:n ja 1:n yhdistämisestä. Determinantti pysyy muuttumattomana, jos [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} vähennetään [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}:sta. (i > 0), ja [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} sijoittaminen viimeiseen asemaan muuttaa vain sen merkkiä.

Vastaavasti minkä tahansa sellaisen n-simpleksin tilavuus, joka jakaa n samansuuntaista reunaa rinnakkaisotopin kanssa, on yhtä suuri kuin 1/n! kyseisen rinnakkaisotopin tilavuudesta.

Sana esiintyy sanana parallelipipedon Sir Henry Billingsleyn Eukleideen elementtien käännöksessä vuodelta 1570. Pierre Hérigone käytti vuonna 1644 ilmestyneessä Cursus mathematicus -teoksessaan kirjoitusasua parallelepipedum. Oxford English Dictionary mainitsee nykyisen parallelepipedin esiintyneen ensimmäisen kerran Walter Charletonin teoksessa Chorea gigantum (1663).

Charles Huttonin sanakirjassa (1795) esiintyy parallelopiped ja parallelopipedon, mikä osoittaa yhdistelmämuodon parallelo- vaikutuksen, ikään kuin toinen elementti olisi pikemminkin pipedon kuin epipedon. Noah Webster (1806) sisältää kirjoitusasun parallelopiped. Oxford English Dictionaryn vuoden 1989 painoksessa parallelopiped (ja parallelipiped) kuvataan nimenomaisesti virheellisiksi muodoiksi, mutta vuoden 2004 painoksessa ne on lueteltu kommentoimatta, ja ainoastaan ääntämistavat, joissa painotetaan viidettä tavua pi (/paɪ/), on annettu.

Muutos pois perinteisestä ääntämyksestä on kätkenyt kreikkalaisten juurien ehdottaman erilaisen osion, jossa epi- ("päällä") ja pedon ("maa") yhdistyvät ja antavat epipedin, tasaisen "tason". Näin ollen parallelepipedin sivut ovat tasomaisia, ja vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaisia.