Nollalla jakaminen

Matematiikassa lukua ei voi jakaa nollalla. Huomaa:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Jos B = 0, niin C = 0. Tämä on totta. Mutta:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(jossa B=0, joten jaamme vain nollalla).

Mikä on sama kuin:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Ongelmana on, että A {\displaystyle A} $A$ voi olla mikä tahansa luku. Se toimisi, jos A {\displaystyle A} $A$ olisi 1 tai jos se olisi 1,000,000,000. Tästä syystä 0/0:n sanotaan olevan "epämääräinen muoto", koska sillä ei ole yhtä arvoa. Luvut, joiden muoto on A/0 ja joissa A {\displaystyle A} $A$ ei ole 0, sanotaan puolestaan "määrittelemättömiksi" tai "epämääräisiksi". Tämä johtuu siitä, että jos niitä yritetään määritellä, tuloksena on ääretön arvo, joka on itsessään määrittelemätön. Yleensä kun kaksi lukua on yhtä suuri kuin sama asia, ne ovat yhtä suuria keskenään. Näin ei ole silloin, kun niiden molempien arvo on 0/0. Tämä tarkoittaa, että normaalit matematiikan säännöt eivät toimi, kun luku jaetaan nollalla.

Virheelliset nollalla jakamiseen perustuvat todistukset

Nollalla jakamisen erityistapaus on mahdollista naamioida algebralliseen argumenttiin. Tämä voi johtaa virheellisiin todistuksiin, kuten 1=2, kuten seuraavassa:

Seuraavien oletusten mukaisesti:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\\0\times 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Seuraavan on oltava totta:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Jakamalla nollalla saadaan:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}\times 1={\frac {0}{0}{0}}\times 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Yksinkertaista:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Harhaluulo on oletus, että jakaminen 0:lla on laillinen operaatio, jossa 0/0 = 1.

Useimmat ihmiset todennäköisesti tunnistaisivat yllä olevan "todisteen" virheelliseksi, mutta sama väite voidaan esittää tavalla, joka vaikeuttaa virheen havaitsemista. Jos esimerkiksi 1 kirjoitetaan x:nä, 0 voidaan piilottaa x-x:n taakse ja 2 x+x:n taakse. Edellä mainittu todistus voidaan tällöin esittää seuraavasti:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

siksi:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Jakamalla x - x saadaan:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

ja jakamalla x:llä saadaan:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Yllä oleva "todiste" on virheellinen, koska se jaetaan nollalla, kun se jaetaan x-x:llä, koska mikä tahansa luku miinus itsensä on nolla.

Calculus

Laskennassa edellä mainitut "epämääräiset muodot" syntyvät myös suoran korvaamisen tuloksena raja-arvoja arvioitaessa.

Jakaminen nollalla tietokoneissa

Jos tietokoneohjelma yrittää jakaa kokonaisluvun nollalla, käyttöjärjestelmä yleensä havaitsee tämän ja pysäyttää ohjelman. Yleensä se tulostaa "virheilmoituksen" tai antaa ohjelmoijalle neuvoja ohjelman parantamiseksi^[]. Jakaminen nollalla on yleinen virhe tietokoneohjelmoinnissa. Liukulukujen (desimaalilukujen) jakaminen nollalla johtaa yleensä joko äärettömyyteen tai erityiseen NaN-arvoon (not a number) riippuen siitä, mitä nollalla jaetaan.

Jakaminen nollalla geometriassa

Geometriassa 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Tämä äärettömyys (projektiivinen äärettömyys) ei ole positiivinen eikä negatiivinen luku, samalla tavalla kuin nolla ei ole positiivinen eikä negatiivinen luku.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on tulos, kun luku jaetaan nollalla?

V: Kun luku jaetaan nollalla, tuloksena on "määrittelemätön" tai "epämääräinen muoto", mikä tarkoittaa, että luvulla ei ole yhtä arvoa.

Q: Mitä tarkoittaa 0/0?

V: 0/0:n sanotaan olevan "määrittelemätön muoto", koska sillä ei ole mitään yksittäistä arvoa.

K: Mitä tapahtuu, kun kaksi lukua on yhtä suuri kuin sama asia, mutta tämä asia on 0/0?

V: Normaalit matematiikan säännöt eivät toimi, kun luku jaetaan nollalla, joten nämä kaksi lukua eivät ole yhtä suuria keskenään.

K: Pitääkö paikkansa, että kaikki yritykset määritellä luku, joka on muotoa A/0, johtavat äärettömään arvoon?

V: Kyllä, kaikki yritykset määritellä luku, jonka muoto on A/0 (jossa A ei ole 0), johtavat äärettömyyteen, joka itsessään on määrittelemätön.

K: Miten voimme määrittää, ovatko kaksi lukua yhtä suuret?

V: Voimme määrittää, ovatko kaksi lukua yhtä suuret keskenään, katsomalla, ovatko ne molemmat yhtä suuria kuin sama asia. Yleensä tämä toimii, mutta tämä ei päde silloin, kun molemmat luvut ovat yhtä suuria kuin 0/0.

K: Onko olemassa poikkeus, kun emme voi jakaa lukua nollalla? V: Kyllä, matematiikassa ei ole mahdollista jakaa lukua nollalla.