Liukulukujen esitys tietokoneissa: binäärinen muoto, eksponentti ja tarkkuus

Matematiikassa ja luonnontieteissä hyvin suuria ja hyvin pieniä lukuja yksinkertaistetaan usein ja kerrotaan potenssilla kymmenen, jotta niitä olisi helpompi ymmärtää. Esimerkiksi 1,2 biljoonaa voi olla paljon helpompi lukea muodossa 1,2 × 10 12 {\displaystyle 1.2\times 10^{12}} kuin 1 200 000 000 000. Tätä voidaan käyttää myös negatiivisten kymmenkertaisten potenssien kanssa pienten lukujen muodostamiseen, eli 0,000001 voidaan esittää muodossa 1 × 10 - 6 {\displaystyle 1\times 10^{-6}}. . Tätä prosessia kutsutaan tieteelliseksi merkintätavaksi.

Koska tietokoneet rajoittuvat kokonaislukuihin ja binäärilukuihin, ne eivät voi helposti esittää murtolukuja desimaalilukuina. Murtolukujen esittämiseksi tietokoneet käyttävät kolmea binäärilukusarjaa tieteellisen merkintätavan esitykseen. Ne ovat: merkkibitti, joka määrittää, onko luku positiivinen (0) vai negatiivinen (1); merkitsevä, joka on kokonaislukuversio luvusta; ja eksponentti, joka on potenssi, jolla perusluku kerrotaan.

Significand

Merkkipaalu löytyy ottamalla luku ja siirtämällä radix-pistettä, kunnes siinä ei ole murto-osaa, jolloin siitä tulee kokonaisluku. Desimaalilukuna tämä tarkoittaa, että 1,45:stä tehdään 145 siirtämällä pistettä 2 askelta oikealle, ja binäärilukuna tämä tarkoittaa, että 1101,0111 (13,4375) tehdään 1101 0111 (215) siirtämällä pistettä 4 askelta oikealle; molemmissa tapauksissa nämä luvut eivät liity toisiinsa muuten kuin käyttämällä samoja numeroita samanlaisessa järjestyksessä.

Samoin kuin tieteellisessä merkintätavassa merkitsevä on mahdollisimman yksinkertainen, liukuluvuissa siitä pyritään tekemään kokonaisluku, jotta se voidaan esittää tavuina ja käyttää laskutoimituksissa.

Eksponentti

Eksponentti on numeroiden määrä, jonka radix-piste on siirtynyt: jos se siirtyy vasemmalle, eksponentti on negatiivinen, mutta jos se siirtyy oikealle, se on positiivinen. Kuten edellä, 1,45:n muuttaminen 145:ksi edellyttää kertomista 100:lla, joten eksponentti on 2, koska 100 = 10 2 {\displaystyle 100=10^{2}} . Vastaavasti 1101.0111 (13.4375) muuttaminen 1101 0111 (215) -luvuksi edellyttää radix-pisteen siirtämistä neljä saraketta oikealle, joten eksponentti on 4; tämä voidaan todentaa desimaalilukuna seuraavasti: 215 ÷ 13.4375 = 16 ( 2 4 ) {\displaystyle 215\div 13.4375=16(2^{4})} .

Koska prosessi on käänteinen useimpiin tieteellisen merkintätavan tapauksiin verrattuna, koska siinä tehdään murtoluvusta kokonaisluku sen sijaan, että käännetään suuri kokonaisluku murtoluvuksi, eksponentit ovat yleensä negatiivisia desimaalipisteen siirtämiseksi vasemmalle; desimaalilukuna tämä tarkoittaisi, että kokonaisluku 145 käännetään takaisin murtoluvuksi 1.45 kertomalla se luvulla 10 - 2 {\displaystyle 10^{-2}}. . Sen sijaan, että eksponentissa käytettäisiin allekirjoitettua vasemmanpuoleisinta bittiä, eksponentti on sen sijaan vinoutettu, jolloin 32-bittisten liukulukujen eksponenttien vaihteluväli on 2 - 126 {\displaystyle 2^{-126}} ja 2 127 {\displaystyle 2^{127}}} välillä. . Vääristetyn eksponentin lähtöarvo saadaan lisäämällä siihen 127:

b 5 = 132 ( 5 + 127 ) = 10000100 {\displaystyle b^{5}=132(5+127)=10000100}

b - 5 = 122 ( - 5 + 127 ) = 01111010 {\displaystyle b^{-5}=122(-5+127)=01111010}}

b 0 = 127 ( 0 + 127 ) = 0111111111 {\displaystyle b^{0}=127(0+127)=011111111111}

Desimaaliluku to Kaksoisluku

Oletetaan esimerkiksi, että haluamme esittää desimaaliluvun 37,40625 sen binäärisen vastakohdan eli bikimaaliluvun (tai binäärisen desimaaliluvun/-murtoluvun). Ensin meidän on muunnettava desimaalilukumme, joka on 10:n potensseja, binääriluvuksi, joka on 2:n potensseja. Yksi tapa tehdä tämä on vähentää suurin mahdollinen kahden potenssi, kunnes saavutetaan nolla:

37.40625 - 32 ( 2 5 ) = 5.40625 {\displaystyle 37.40625-\mathbf {32} (2^{5})=5.40625}

5.40625 - 4 ( 2 2 ) = 1.40625 {\displaystyle 5.40625-\mathbf {4} (2^{2})=1.40625}

1.40625 - 1 ( 2 0 ) = 0.40625 {\displaystyle 1.40625-\mathbf {1} (2^{0})=0.40625}

0.40625 - 0.25 ( 2 - 2 ) = 0.15625 {\displaystyle 0.40625-\mathbf {0.25} (2^{-2})=0.15625}

0.15625 - 0.125 ( 2 - 3 ) = 0.03125 {\displaystyle 0.15625-\mathbf {0.125} (2^{-3})=0.03125}

0.03125 - 0.03125 ( 2 - 5 ) = 0 {\displaystyle 0.03125-\mathbf {0.03125} (2^{-5})=0}

Käyttämällä edellä mainittuja kahden potensseja voimme esittää desimaalilukumme 37.40625 {\displaystyle 37.40625} seuraavasti:

Bicimal to Float

Olemme varmistaneet, että desimaalilukumme 37.40625 {\displaystyle 37.40625} esitetään binäärilukuna 100101.01101 {\displaystyle 100101.01101} . Tietokoneiden ongelmana on kuitenkin se, että ne esittävät luvut kokonaislukujen potensseina bittien avulla, mikä tekee murtoluvuista ja negatiivisista luvuista monimutkaisia. IEEE-754:n mukaisesti tämä tehdään tietokoneella yleensä siten, että luodaan 32-bittinen liukuluku, joka koostuu kolmesta osasta: merkistä, 1 bitti, jolla määritetään, onko luku positiivinen vai negatiivinen; eksponentista, 8 bittiä, jolla esitetään eksponentti ja johon lisätään 127, jotta vältytään merkityiltä tavuilta; ja merkkialkiosta, joka on binäärilukumme ilman kaksoispistettä, joka jakautuu 23 bittiin. Koska meidän on siirrettävä kaksoispisteemme 5 paikkaa, jotta 100100.01101 {\displaystyle 100100.01101} muuttuu merkitseväksi 10010001101 {\displaystyle 10010001101} , eksponenttimme on 132 ( 5 + 127 ) {\displaystyle 132(5+127)} . Käyttämällä 32-bittistä liukulukua voimme esittää 37,40625 näin:

• Binäärinen
• Negatiiviset binääriluvut
• Radix-piste
• Tieteellinen merkintätapa