Reaaliluku

Reaaliluku on rationaalinen tai irrationaalinen luku. Kun ihmiset sanovat "luku", he tarkoittavat yleensä "reaalilukua". Reaalilukujen virallinen symboli on lihavoitu R tai taululla lihavoitu R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ .

Joitakin reaalilukuja kutsutaan positiivisiksi. Positiivinen luku on "suurempi kuin nolla". Reaalilukuja voidaan ajatella äärettömän pitkänä viivottimena. Nollalle ja jokaiselle muulle luvulle on oma merkkinsä suuruusjärjestyksessä. Toisin kuin viivoittimessa, nollan alapuolella on lukuja. Niitä kutsutaan negatiivisiksi reaaliluvuiksi. Negatiiviset luvut ovat "nollaa pienempiä". Ne ovat ikään kuin positiivisten lukujen peilikuvia, paitsi että niille annetaan miinusmerkit (-), jotta ne merkitään eri tavalla kuin positiiviset luvut.

Reaalilukuja on äärettömän monta. Ei ole olemassa pienintä tai suurinta reaalilukua. Riippumatta siitä, kuinka monta reaalilukua on laskettu, on aina enemmän, jotka on laskettava. Reaalilukujen välissä ei ole tyhjää tilaa. Tämä tarkoittaa sitä, että jos otetaan kaksi eri reaalilukua, niiden välissä on aina kolmas reaaliluku, riippumatta siitä, kuinka lähellä toisiaan kaksi ensimmäistä lukua ovat.

Jos positiivinen luku lisätään toiseen positiiviseen lukuun, luku kasvaa. Myös nolla on reaaliluku. Jos johonkin lukuun lisätään nolla, luku ei muutu. Jos negatiivinen luku lisätään toiseen lukuun, kyseinen luku pienenee.

Todelliset luvut ovat lukemattomia. Se tarkoittaa, että kaikkia reaalilukuja ei voi asettaa järjestykseen. Mistä tahansa reaalilukujen sarjasta puuttuu yksi reaaliluku, vaikka sarja olisi ääretön. Tämä tekee reaaliluvuista erityisiä. Vaikka reaalilukuja ja kokonaislukuja on äärettömän monta, voimme sanoa, että reaalilukuja on "enemmän" kuin kokonaislukuja, koska kokonaisluvut ovat laskettavissa ja reaaliluvut ovat laskemattomia.

Joitakin yksinkertaisempia lukujärjestelmiä on reaalilukujen sisällä. Esimerkiksi rationaaliluvut ja kokonaisluvut ovat kaikki reaalilukujen sisällä. On myös reaalilukuja monimutkaisempia lukujärjestelmiä, kuten kompleksiluvut. Jokainen reaaliluku on kompleksiluku, mutta kaikki kompleksiluvut eivät ole reaalilukuja.

Reaalilukujen eri tyypit

Reaalilukuja on erityyppisiä. Joskus kaikista reaaliluvuista ei puhuta kerralla. Joskus puhutaan vain erityisistä, pienemmistä joukoista. Näillä joukoilla on erityisiä nimiä. Niitä ovat mm:

Luonnolliset luvut: Ne ovat reaalilukuja, joissa ei ole desimaaleja ja jotka ovat suurempia kuin nolla.
Kokonaiset luvut: Nämä ovat positiivisia reaalilukuja, joissa ei ole desimaaleja eikä nollaa. Luonnolliset luvut ovat myös kokonaislukuja.
Kokonaisluvut: Nämä ovat reaalilukuja, joissa ei ole desimaaleja. Näihin kuuluvat sekä positiiviset että negatiiviset luvut. Myös kokonaisluvut ovat kokonaislukuja.
Rationaaliluvut: Nämä ovat reaalilukuja, jotka voidaan kirjoittaa kokonaislukujen murtolukuina. Myös kokonaisluvut ovat rationaalilukuja.
Transsendenttilukuja ei voida saada ratkaisemalla yhtälö, jossa on kokonaislukukomponentteja.
Irrationaaliset luvut: Nämä ovat reaalilukuja, joita ei voida kirjoittaa kokonaislukujen murtolukuina. Myös transsendentaaliluvut ovat irrationaalisia.

Numero 0 (nolla) on erityinen. Joskus sitä pidetään osana tarkasteltavaa osajoukkoa, joskus taas ei. Se on yhteen- ja vähennyslaskun identiteettielementti. Se tarkoittaa, että nollan lisääminen tai vähentäminen ei muuta alkuperäistä lukua. Kerto- ja jakolaskussa identiteettielementti on 1.

Yksi reaaliluku, joka ei ole rationaaliluku, on 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\sqrt {2}}$ . Tämä luku on irrationaalinen. Jos piirretään neliö, jonka sivut ovat yhden yksikön pituiset, sen vastakkaisten kulmien välisen viivan pituus on 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}. ${\sqrt {2}}$ .

Kysymyksiä ja vastauksia

Kysymys: Mikä on reaaliluku?

A: Reaaliluku on mikä tahansa rationaalinen tai irrationaalinen luku, joka voidaan ilmaista desimaalilukujen avulla. Se on yleisin lukutyyppi, johon viitataan, kun ihmiset sanovat "luku".

K: Mikä symboli edustaa reaalilukuja?

V: Reaalilukujen virallinen symboli on lihavoitu R tai taululla lihavoitu R-juna {\displaystyle \mathbb {R} }. .

K: Miten positiiviset ja negatiiviset luvut eroavat toisistaan?

V: Positiiviset luvut ovat "nollaa suurempia", kun taas negatiiviset luvut ovat "nollaa pienempiä", ja niihin on liitetty miinusmerkit (-), jotta niitä voidaan merkitä eri tavalla kuin positiivisia lukuja.

K: Onko reaalilukuja enemmän kuin kokonaislukuja?

V: Kyllä, reaalilukuja on äärettömän monta, kun taas kokonaislukuja on laskettavissa. Tämä tarkoittaa, että vaikka molempia lukutyyppejä on äärettömän monta, reaalilukuja on silti enemmän kuin kokonaislukuja.

K: Ovatko kaikki kompleksiluvut myös reaalilukuja?

V: Ei, kaikki reaaliluvut ovat kompleksilukuja, mutta kaikki kompleksiluvut eivät ole reaalilukuja. Vastaavasti 3/7 on rationaaliluku mutta ei kokonaisluku.

K: Onko mahdollista asettaa kaikki reaaliluvut järjestykseen?

V: Ei, koska kaikkien reaalilukujen joukko on lukematon, mikä tarkoittaa, että vaikka järjestys olisi kuinka pitkä, siitä puuttuu aina vähintään yksi luku.