Reaaliluvut: määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit
Tutustu reaalilukuihin: selkeä määritelmä, keskeiset ominaisuudet ja havainnolliset esimerkit sekä käytännön sovellukset aloittelijoille ja edistyneille.
Reaaliluku on rationaalinen tai irrationaalinen luku. Kun arkikielessä puhutaan pelkästään "luvusta", tarkoitetaan yleensä reaalilukua. Reaalilukujen virallinen symboli on lihavoitu R tai taululla lihavoitu R {\displaystyle \mathbb {R} } 
.
Määritelmä ja intuitio
Reaalilukujen joukon voi ajatella yhtenäisenä lukusuorana, eli äärettömän pitkänä viivottimena, jonka pisteet vastaavat lukuja. Lukusuoralla nollalla on erityinen paikka, ja sitä suuremmat luvut kutsutaan positiivisiksi, nollaa pienemmät negatiivisiksi. Positiivisten ja negatiivisten lukujen erottaminen näkyy usein merkkinä: miinusmerkki (-) ilmaisee negatiivisuuden.
Perusominaisuudet
- Reaaliluvut muodostavat kentän: niillä voi laskea yhteen, vähentää, kertoa ja jakaa (nollalla jakaminen on kielletty).
- Niillä on järjestys: luvuilla voidaan verrata suurempaa ja pienempää, ja lukusuoran suhteen pätee esimerkiksi a < b tai a > b.
- Reaalilukujen järjestys on tiheä: jos a ja b ovat eri reaalilukuja ja a < b, niin näiden välillä on aina jokin c siten, että a < c < b.
- Reaaliluvut täyttävät täydellisyyden (completeness) ominaisuuden: jokaisella ylemmällä rajoituksella varustetulla ei-tyhjällä allegojoukolla on pienin mahdollinen ylempi raja (supremum). Tämä erottaa reaalit rationaaleista.
- Desimaalimuodot: reaaliluvut voi esittää desimaalikehitelmänä. Rationaaliluvut saavat lopullisen tai toistuvan desimaalikehitelmän, kun taas irrationaalilukujen desimaalikehitelmä on äärettömän pitkä eikä toistu jaksollisesti.
Esimerkkejä
Rationaalisia reaalilukuja ovat mm. 1/2 = 0,5, 2 = 2,0 ja -3 = -3,0. Irrationaalisia esimerkkejä ovat mm. √2 (neliöjuuri kahdesta), π (pii) ja e (Eulerin luku). Kaikki nämä ovat reaalilukuja, mutta niiden desimaaliesitys ei ole toistuva rationaalimuodossa (irrationaalit).
lukujen laskettavuus ja lukumäärä
Reaalilukuja on äärettömän monta, mutta niiden äärettömyys on "suurempi" kuin esimerkiksi kokonaislukujen äärettömyys. Kokonaisluvut ovat laskettavissa eli niitä voidaan luetteloda peräkkäin, kun taas reaaliluvut ovat laskemattomia. Tämän voi muotoilla myös siten, että reaalilukujen joukko ei ole luetteloitavissa niin, että jokaiselle reaaliluvulle olisi oma positiivinen kokonaislukunsa indeksinä. Tämän takia sanotaan myös, että todelliset luvut ovat lukemattomia.
Huomaa, että vaikka minkä tahansa kahden reaaliluvun välissä on aina kolmas reaaliluku (tiheys), reaaliluvut voidaan kuitenkin järjestää suuruusjärjestykseen (esimerkiksi nousevassa järjestyksessä). Sen sijaan ei ole olemassa bijektiota reaalilukujen ja luonnollisten lukujen välillä, minkä takia reaalit ovat ei-laskettavia.
Operaatioiden vaikutus
- Kun kaksi positiivista lukua lasketaan yhteen, summa on positiivinen ja suurempi kuin kumpikaan lisättävistä.
- Nolla on reaaliluku. Luvun lisääminen nollalla ei muuta sitä: a + 0 = a.
- Negatiivisen luvun lisääminen pienentää lukua; käsitteet summa, erotus, tulo ja osamäärä noudattavat kentän aksioomia.
- Absoluuttinen arvo |a| kertoo etäisyyden nollasta: |a| = a, jos a ≥ 0, ja |a| = −a, jos a < 0.
Joukko-opilliset ja topologiset ominaisuudet
Reaalilukujen joukko on sekä joukko-opillisesti että topologisesti tärkeä. Siihen liittyviä käsitteitä ovat muun muassa:
- Intervallit: avoin (a, b), suljettu [a, b], puolisuletut [a, b) ja (a, b].
- Supremum ja infimum: esimerkiksi jokaisen ei-tyhjän ylärajoitetun joukion pienin ylempi raja on olemassa reaaliluvuissa.
- Jatkuvuus ja raja-arvot: monien analyysin käsitteiden perusta perustuu reaalilukujen täydellisyyteen; esimerkiksi Cauchyn jonoilla on raja-arvo reaalilukujen joukossa silloin kun ne ovat Cauchy-jonoja.
Reaaliluvut muiden lukujärjestelmien rinnalla
Reaaliluvut sisältävät monia yksinkertaisempia lukujoukkoja: rationaaliluvut, kokonaisluvut ja luonnolliset luvut ovat kaikki reaalilukujen alijoukkoja. On olemassa myös laajempia järjestelmiä, kuten kompleksiluvut. Jokainen reaaliluku voidaan ajatella monimutkaisempana kompleksilukuna (reaaliosa ei-nolla ja imaginaariosa nolla), mutta kaikki kompleksiluvut eivät ole reaalisia.
Käytännön huomioita
Reaalilukuja käytetään lähes kaikissa luonnontieteiden, tekniikan ja taloustieteen laskelmissa, koska ne kuvaavat jatkuvuutta ja mittausta hyvin. Tietokoneissa reaalilukujen mallintaminen tapahtuu usein likiarvoina (liukulukusuureina), jolloin tarkan reaaliluvun esitys voi olla mahdoton ja laskuissa on pyrittävä huomioimaan pyöristysvirheet.
Yhteenvetona: reaaliluvut muodostavat perusjoukon, joka on sekä algebrallisesti että analyysisesti keskeinen — ne antavat mallin jatkuvuudelle, sisältävät rationaaliset ja irrationaaliset luvut, ovat tiheitä lukusuoralla ja ovat lukumääräisesti laskemattomia.
Reaalilukujen eri tyypit
Reaalilukuja on erityyppisiä. Joskus kaikista reaaliluvuista ei puhuta kerralla. Joskus puhutaan vain erityisistä, pienemmistä joukoista. Näillä joukoilla on erityisiä nimiä. Niitä ovat mm:
- Luonnolliset luvut: Ne ovat reaalilukuja, joissa ei ole desimaaleja ja jotka ovat suurempia kuin nolla.
- Kokonaiset luvut: Nämä ovat positiivisia reaalilukuja, joissa ei ole desimaaleja eikä nollaa. Luonnolliset luvut ovat myös kokonaislukuja.
- Kokonaisluvut: Nämä ovat reaalilukuja, joissa ei ole desimaaleja. Näihin kuuluvat sekä positiiviset että negatiiviset luvut. Myös kokonaisluvut ovat kokonaislukuja.
- Rationaaliluvut: Nämä ovat reaalilukuja, jotka voidaan kirjoittaa kokonaislukujen murtolukuina. Myös kokonaisluvut ovat rationaalilukuja.
- Transsendenttilukuja ei voida saada ratkaisemalla yhtälö, jossa on kokonaislukukomponentteja.
- Irrationaaliset luvut: Nämä ovat reaalilukuja, joita ei voida kirjoittaa kokonaislukujen murtolukuina. Myös transsendentaaliluvut ovat irrationaalisia.
Numero 0 (nolla) on erityinen. Joskus sitä pidetään osana tarkasteltavaa osajoukkoa, joskus taas ei. Se on yhteen- ja vähennyslaskun identiteettielementti. Se tarkoittaa, että nollan lisääminen tai vähentäminen ei muuta alkuperäistä lukua. Kerto- ja jakolaskussa identiteettielementti on 1.
Yksi reaaliluku, joka ei ole rationaaliluku, on 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 
. Tämä luku on irrationaalinen. Jos piirretään neliö, jonka sivut ovat yhden yksikön pituiset, sen vastakkaisten kulmien välisen viivan pituus on 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}. .
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mikä on reaaliluku?
A: Reaaliluku on mikä tahansa rationaalinen tai irrationaalinen luku, joka voidaan ilmaista desimaalilukujen avulla. Se on yleisin lukutyyppi, johon viitataan, kun ihmiset sanovat "luku".
K: Mikä symboli edustaa reaalilukuja?
V: Reaalilukujen virallinen symboli on lihavoitu R tai taululla lihavoitu R-juna {\displaystyle \mathbb {R} }. .
K: Miten positiiviset ja negatiiviset luvut eroavat toisistaan?
V: Positiiviset luvut ovat "nollaa suurempia", kun taas negatiiviset luvut ovat "nollaa pienempiä", ja niihin on liitetty miinusmerkit (-), jotta niitä voidaan merkitä eri tavalla kuin positiivisia lukuja.
K: Onko reaalilukuja enemmän kuin kokonaislukuja?
V: Kyllä, reaalilukuja on äärettömän monta, kun taas kokonaislukuja on laskettavissa. Tämä tarkoittaa, että vaikka molempia lukutyyppejä on äärettömän monta, reaalilukuja on silti enemmän kuin kokonaislukuja.
K: Ovatko kaikki kompleksiluvut myös reaalilukuja?
V: Ei, kaikki reaaliluvut ovat kompleksilukuja, mutta kaikki kompleksiluvut eivät ole reaalilukuja. Vastaavasti 3/7 on rationaaliluku mutta ei kokonaisluku.
K: Onko mahdollista asettaa kaikki reaaliluvut järjestykseen?
V: Ei, koska kaikkien reaalilukujen joukko on lukematon, mikä tarkoittaa, että vaikka järjestys olisi kuinka pitkä, siitä puuttuu aina vähintään yksi luku.
Etsiä