Potenssi ja potensointi: määritelmä, eksponentit, säännöt ja esimerkit

Matematiikassa potensointi (potenssi) on aritmeettinen operaatio luvuille. Sitä voidaan pitää toistettuna kertolaskuna, aivan kuten kertolaskua voidaan pitää toistettuna yhteenlaskuna.

Yleisesti ottaen kaksi lukua x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} voidaan kirjoittaa seuraavasti: x y {\displaystyle x^{y}}}. ja lukea " x {\displaystyle x} korotettuna potenssiin y {\displaystyle y} ", tai " x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} kolmanteen potenssiin". Aikaisemmin on käytetty muitakin matemaattisia merkintätapoja. Kun yläindeksiä ei voida kirjoittaa, potensseja voidaan kirjoittaa ^- tai **-merkein, jolloin 2^4 tai 2**4 tarkoittaa 2 4 {\displaystyle 2^{4}} .

Tässä lukua x {\displaystyle x} kutsutaan perusluvuksi ja lukua y {\displaystyle y} eksponentiksi. Esimerkiksi luvussa 2 4 {\displaystyle 2^{4}} 2 on perusta ja 4 on eksponentti.

Lasketaan 2 4 {\displaystyle 2^{4}} , yksinkertaisesti kerrotaan 4 kappaletta 2:sta. 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2} , ja tulokseksi saadaan 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2=16} . Yhtälö voitaisiin lukea ääneen seuraavasti: "2 potenssiin 4 korotettuna on 16".

Lisää esimerkkejä potensoinnista ovat:

• 5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
• x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
• 1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} jokaiselle luvulle x

Jos eksponentti on 2, potenssia kutsutaan neliöksi, koska neliön pinta-ala lasketaan käyttämällä 2 {\displaystyle a^{2}} . Joten

x 2 {\displaystyle x^{2}} on x:n neliö {\displaystyle x}

Vastaavasti jos eksponentti on 3, niin potenssia kutsutaan kuutioksi, koska kuution tilavuus lasketaan käyttämällä 3 {\displaystyle a^{3}} . Joten

x 3 {\displaystyle x^{3}} on x:n kuutio {\displaystyle x}

Jos eksponentti on -1, potenssi on yksinkertaisesti perusluvun käänteisluku. Eli

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

Jos eksponentti on kokonaisluku, joka on pienempi kuin 0, potenssi on vastakkaiseen eksponenttiin korotettu käänteisluku. Esimerkiksi:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}}

Jos eksponentti on 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}} , niin eksponentioinnin tulos on perusluvun neliöjuuri, jolloin x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.} Esim:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

Vastaavasti, jos eksponentti on 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}} , niin tulos on n:nnen juuren, jossa:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}}

Jos eksponentti on rationaaliluku p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}} , niin tulos on perusluvun q:nnen juuren korotus potenssiin p:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

Joissakin tapauksissa eksponentti ei välttämättä ole edes rationaalinen. Jos haluamme korottaa perusluvun a irrationaaliseen x:nteen potenssiin, käytämme rationaalilukujen ääretöntä sarjaa (x_n ), jonka raja on x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

näin:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

On olemassa joitakin sääntöjä, jotka helpottavat eksponenttien laskemista:

• ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}}
• ( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
• a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}}
• a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
• a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
• ( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
• a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1}

On mahdollista laskea matriisien potensointi. Tässä tapauksessa matriisin on oltava neliö. Esimerkiksi I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .

Selvennystä merkinnöistä ja määrittelyalueista

Potenssi a^x (eli a^x) on määritelty eri laajuisesti riippuen siitä, mitä lukujoukkoa käytetään:

• Kokonaiseksponentit (positiiviset, nollat, negatiiviset): määritelmä perustuu toistuvaan kertolaskuun ja käänteislukuihin.
• Rationaaliset eksponentit p/q: tulkitaan q:nnen juurena korotettuna p:ään: .
• Irrationaalinen eksponentti x: määritellään raja-arvona rationaalisten approksimaatioiden avulla: .

Tärkeät erikoistapaukset ja huomioita

• nolla eksponenttina: a⁰=1 kaikille a≠0. Merkintä 0⁰ on epäselvä ja kontekstiriippuvainen (usein määrittelemätön).
• negatiivinen eksponentti: a^-n=1/aⁿ (a≠0).
• murtoluku-eksponentit: a^1/n on n:s juuri (määritelty esimerkiksi positiivisille a reaaliluvuilla kun n pariton/jaollinen), ja yleisesti a^p/q= (a^p)^1/q.
• positiivinen perusluku: jos a>0, potenssi a^x on hyvin määritelty kaikilla reaalisilla x:llä ja jatkuva funktio. Jos a≤0, tilanteet rationaalisten eksponenttien kohdalla voivat vaatia lisäehtoja (esim. parillinen juurta ei ole reaalinen).
• kompleksiset luvut: eksponentointi laajenee kompleksiluvuille, mutta silloin täytyy huomioida moniarvoisuus (esim. kompleksisen logaritmin eri haarat).

Yleisimmät eksponenttisäännöt (tiivistelmä ja esimerkit)

Seuraavat säännöt pätevät silloin, kun lausekkeet ovat määriteltyjä:

• (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Esim. (2·3)² = 4·9 = 36.
• (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b≠0. Esim. (3/2)²=9/4.
• a^r·a^s = a^r+s. Esim. 2³·2⁴=2⁷=128.
• a^r/a^s = a^r-s, a≠0. Esim. 5³/5¹=5²=25.
• a^-n = 1/aⁿ, a≠0. Esim. 2^-3=1/8.
• (a^r)^s = a^r·s. Esim. (x²)³=x⁶.
• a⁰=1 kun a≠0.

Usein esiintyviä virheitä ja käytännön vinkkejä

• Älä luota sääntöihin, jos lausekkeet eivät ole määriteltyjä (esim. jakaminen nollalla tai parillinen juuri negatiivisesta luvusta reaalialueella).
• Kun käsittelet murtolukuja eksponentteina, on usein kätevä laskea ensin potenssi (a^p) ja vasta sitten ottaa juuri tai päinvastoin riippuen tilanteesta ja lukujen suuruudesta.
• Muista, että potenssilausekkeiden yhdistäminen edellyttää, että perusluvut ovat samat (esim. a^r·b^r ≠ (ab)^r ainoastaan tietyissä muodoissa — oikea muoto on (ab)^r=a^rb^r).

Potensointi matriiseilla ja muilla rakenteilla

Kuten tekstissä mainittiin, myös matriiseilla voidaan laskea potensseja, mutta matriisin tulee olla neliömatriisi. Matriisipotenssi määritellään kertomalla matriisi itsellään tarvittavan määrän kertoja: A²=A·A, A³=A·A·A jne. Jotkin identiteetit muuttuvat matriisien kohdalla (matriisien kertolasku ei ole kommutatiivista yleisesti):

• Yleensä (AB)ⁿ ≠ AⁿBⁿ ellei A ja B commuteeraa (AB = BA).
• Jos I on identiteettimatriisi, niin I·A = A ja Iⁿ=I.

Lisää esimerkkejä

• 5³=5·5·5=125 (kuten yllä).
• x²=x·x.
• 1^x=1 kaikille x.
• 4^1/2=√4=2.
• 2^-3=1/2³=1/8.

Potenssi ja potensointi ovat peruskäsitteitä matematiikassa, joita käytetään monilla alueilla: algebrassa, analyysissä, differentiaaliyhtälöissä, lineaarialgebrassa ja lukuteoriassa. Hyvät perussäännöt ja niiden soveltamisen taito helpottavat laskemista ja ymmärrystä myös monimutkaisemmissa yhteyksissä.