Potenssi | aritmeettinen operaatio luvuille

Matematiikassa potensointi (potenssi) on aritmeettinen operaatio luvuille. Sitä voidaan pitää toistettuna kertolaskuna, aivan kuten kertolaskua voidaan pitää toistettuna yhteenlaskuna.

Yleisesti ottaen kaksi lukua x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} voidaan kirjoittaa seuraavasti: x y {\displaystyle x^{y}}}. $x^{y}$ ja lukea " x {\displaystyle x} korotettuna potenssiin y {\displaystyle y} ", tai " x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} kolmanteen potenssiin". Aikaisemmin on käytetty muitakin matemaattisia merkintätapoja. Kun yläindeksiä ei voida kirjoittaa, potensseja voidaan kirjoittaa ^- tai **-merkein, jolloin 2^4 tai 2**4 tarkoittaa 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ .

Tässä lukua x {\displaystyle x} kutsutaan perusluvuksi ja lukua y {\displaystyle y} eksponentiksi. Esimerkiksi luvussa 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ 2 on perusta ja 4 on eksponentti.

Lasketaan 2 4 {\displaystyle 2^{4}} $2^{4}$ , yksinkertaisesti kerrotaan 4 kappaletta 2:sta. 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ , ja tulokseksi saadaan 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ . Yhtälö voitaisiin lukea ääneen seuraavasti: "2 potenssiin 4 korotettuna on 16".

Lisää esimerkkejä potensoinnista ovat:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ jokaiselle luvulle x

Jos eksponentti on 2, potenssia kutsutaan neliöksi, koska neliön pinta-ala lasketaan käyttämällä 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Joten

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ on x:n neliö {\displaystyle x}

Vastaavasti jos eksponentti on 3, niin potenssia kutsutaan kuutioksi, koska kuution tilavuus lasketaan käyttämällä 3 {\displaystyle a^{3}} $a^{3}$ . Joten

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ on x:n kuutio {\displaystyle x}

Jos eksponentti on -1, potenssi on yksinkertaisesti perusluvun käänteisluku. Eli

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Jos eksponentti on kokonaisluku, joka on pienempi kuin 0, potenssi on vastakkaiseen eksponenttiin korotettu käänteisluku. Esimerkiksi:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Jos eksponentti on 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}} ${\tfrac {1}{2}}$ , niin eksponentioinnin tulos on perusluvun neliöjuuri, jolloin x 1 2 = x . {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.} $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Esim:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Vastaavasti, jos eksponentti on 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}} ${\tfrac {1}{n}}$ , niin tulos on n:nnen juuren, jossa:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Jos eksponentti on rationaaliluku p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}} ${\tfrac {p}{q}}$ , niin tulos on perusluvun q:nnen juuren korotus potenssiin p:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Joissakin tapauksissa eksponentti ei välttämättä ole edes rationaalinen. Jos haluamme korottaa perusluvun a irrationaaliseen x:nteen potenssiin, käytämme rationaalilukujen ääretöntä sarjaa (x_n ), jonka raja on x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

näin:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

On olemassa joitakin sääntöjä, jotka helpottavat eksponenttien laskemista:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

On mahdollista laskea matriisien potensointi. Tässä tapauksessa matriisin on oltava neliö. Esimerkiksi I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Kommutatiivisuus

Sekä yhteen- että kertolasku ovat kommutatiivisia. Esimerkiksi 2+3 on sama kuin 3+2, ja 2 - 3 on sama kuin 3 - 2. Vaikka potensointi on toistuvaa kertolaskua, se ei ole kommutatiivinen. Esimerkiksi 2³=8, mutta 3²=9.

Käänteisoperaatiot

Yhteenlaskulla on yksi käänteisoperaatio: vähennyslasku. Myös kertolaskulla on yksi käänteisoperaatio: jakaminen.

Mutta potensoinnilla on kaksi käänteisoperaatiota: Juuri ja logaritmi. Tämä johtuu siitä, että potensointi ei ole kommutatiivinen. Voit nähdä tämän tässä esimerkissä:

Jos x+2=3, voit käyttää vähennyslaskentaa saadaksesi selville, että x=3-2. Sama pätee, jos sinulla on 2+x=3: saat myös x=3-2. Tämä johtuu siitä, että x+2 on sama kuin 2+x.
Jos x - 2=3, voit käyttää jakoa saadaksesi selville, että x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Sama pätee, jos 2 - x=3: Saat myös x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Tämä johtuu siitä, että x - 2 on sama kuin 2 - x.
Jos x²=3, käytetään (neliö)juurta x:n selvittämiseksi: saadaan tulos x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Jos kuitenkin 2^x =3, et voi käyttää juurta x:n määrittämiseen, vaan sinun on käytettävä (binääri)logaritmia x:n määrittämiseen: saat tuloksen x=log₂ (3).

Aiheeseen liittyvät sivut

Eksponentti
Eksponenttifunktio
Korotus neliöimällä
Tetration

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mitä on eksponentiaalifunktio?

V: Eksponentointi on aritmeettinen operaatio luvuille, jota voidaan ajatella toistuvana kertolaskuna.

K: Miten potensointi kirjoitetaan?

V: Eksponentointi kirjoitetaan yleensä muodossa x^y, jossa x on perusta ja y on eksponentti. Se voidaan kirjoittaa myös ^- tai **-merkkien avulla, kuten 2^4 tai 2**4.

K: Mitkä ovat esimerkkejä eksponenttiarvoista?

V: Esimerkkejä potensoinnista ovat 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 jokaiselle luvulle x; ja 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

Kysymys: Mitä tarkoittaa, kun eksponentti on -1?

V: Kun eksponentti on yhtä suuri kuin -1, potenssi on yksinkertaisesti perusluvun käänteisluku (x^(-1) = 1/x).

K: Miten lasketaan irrationaalinen potenssi emäksen potenssista?

V: Nostaaksemme emäksen a irrationaaliseen x:nteen potenssiin, käytämme ääretöntä rationaalilukujen (xn) sarjaa, jonka raja on x (a^x = lim n-> ääretön a^(x_n)).

Kysymys: Onko olemassa sääntöjä, jotka helpottavat eksponenttien laskemista?

V: Kyllä, on olemassa useita sääntöjä, jotka helpottavat eksponenttien laskemista. Näitä ovat esimerkiksi (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); ja niin edelleen.