Gammafunktio – faktoriaalin laajennus kompleksilukuihin
Gammafunktio (Γ) laajentaa faktoriaalin kompleksiluvuille; selkeä esitys määritelmästä, ominaisuuksista ja sovelluksista matemaattisissa ja fysikaalisissa ongelmissa.
Matematiikassa gammafunktio (Γ(z)) on faktoriaalifunktion laajennus kaikkiin kompleksilukuihin negatiivisia kokonaislukuja lukuun ottamatta. Positiivisille kokonaisluvuille se määritellään seuraavasti: Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } 
Gammafunktio on määritelty kaikille kompleksiluvuille. Sitä ei kuitenkaan ole määritelty negatiivisille kokonaisluvuille ja nollalle. Kompleksiluvulle, jonka reaaliosa ei ole negatiivinen kokonaisluku, funktio määritellään seuraavasti:
Γ(z) = ∫0∞ tz−1 e−t dt, kun Re(z) > 0. Tämä integraaliesitys antaa gammafunktion alkuperäisen ja konvergoivan määritelmän re(z)>0.
Analyyttinen jatko ja rekursio
Gammafunktio voidaan jatkaa analyyttisesti koko kompleksitasolle lukuun ottamatta epäelimellisiä kohtia z = 0, −1, −2, ... . Jatko tapahtuu toistokertoimen avulla, joka pätee kaikilla z missä funktio on määritelty:
Γ(z+1) = z·Γ(z). Tämän yhtälön avulla integraaliesityksen määritelmää voidaan käyttää laajempaan joukkoon arvoja ja siten gammafunktio toteuttaa faktoriaalin laajennuksen: jos n on positiivinen kokonaisluku, niin Γ(n) = (n−1)!.
Singulariteetit ja residuoot
Gammafunktiolla on yksinkertaiset napapisteet (simple poles) kohdissa z = 0, −1, −2, ... . Napojen residuoot ovat
Res(Γ, −n) = (−1)n / n! , for n = 0, 1, 2, ... .
Tärkeitä kaavoja
- Peilikaava (Eulerin peilikaava): Γ(z)·Γ(1−z) = π / sin(πz). Tämä kaava yhdistää funktion arvot pisteissä z ja 1−z.
- Duplikaatioyhtälö (Gauss): Γ(z)·Γ(z+1/2) = 21−2z √π · Γ(2z).
- Weierstrassin tuote-esitys: 1 / Γ(z) = z eγz ∏n=1∞ (1 + z/n) e−z/n, missä γ on Eulerin–Mascheronin vakio.
- Beta-funktion suhde: Beta-funktio B(x,y) liittyy gammaan kaavalla B(x,y) = Γ(x)·Γ(y) / Γ(x+y).
- Digamma ja polygamma: Digammafunktio ψ(z) = d/dz ln Γ(z) = Γ′(z)/Γ(z) ja korkeamman kertaluvun polygammafunktiot ovat gammafunktion logaritmisen derivaatan korkeampia derivaattoja.
Arvot ja esimerkit
- Γ(1) = 1, Γ(2) = 1, Γ(3) = 2, koska Γ(n) = (n−1)!.
- Γ(1/2) = √π. Tästä seuraa esimerkiksi Γ(−1/2) = −2√π käyttämällä rekursiota.
- Puolikkaiden arvojen yleistetty muoto: Γ(k + 1/2) = ( (2k)! / (4^k k!) ) √π, k∈N.
Asymptoottinen käyttäytyminen (Stirlingin kaava)
Suurella relaatiolla z → ∞ (kompleksitasolla tiettyjen sektoreiden sisällä) gammafunktio kasvaa suunnilleen Stirlingin kaavan mukaisesti:
Γ(z) ~ √(2π) zz−1/2 e−z (1 + O(1/z)).
Tämä antaa hyödyllisen approksimaation ja on keskeinen monissa laskennallisissa ja asymptoottisissa arvioissa.
Sovelluksia
Gammafunktiota käytetään laajasti matematiikan ja fysiikan eri aloilla:
- todennäköisyyslaskennassa gamma- ja beta-jakaumien määrittelyssä,
- matemaattisessa analyysissä ja kompleksifunktioiden teoriassa,
- integroinnissa ja erikoisfunktioiden tutkimuksessa,
- fysikaalisissa sovelluksissa kuten kvanttimekaniikassa ja tilastotieteessä.
Yhteenveto
Gammafunktio laajentaa faktoriaalifunktion reaalisiin ja kompleksisiin arvoihin, tarjoaa jatkuvan ja analyyttisen jatkon lukuun ottamatta negatiivisia kokonaislukuja, ja sillä on useita kaavoja (peilikaava, duplikaatio, Weierstrassin tuote) sekä merkittävä asema analyysissä ja soveltavissa tieteissä. Erityisarvot kuten Γ(1/2)=√π tekevät funktiosta myös käytännöllisen työkalun numeerisissa ja teoreettisissa sovelluksissa.
Gammafunktio reaaliakselin osaa pitkin
Ominaisuudet
Erityisarvot
Joitakin erityisiä gammafunktion arvoja ovat:
Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\\\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.3293934038818\\\\\\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.3233335097045\\\\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\\\\\end{array}}}} 
Pi-toiminto
Gauss otti käyttöön Pi-funktion. Tämä on toinen tapa merkitä gammafunktiota. Gammafunktiota kuvaamalla Pi-funktio on seuraava
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}{t},} 
niin että
Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} 
jokaiselle ei-negatiiviselle kokonaisluvulle n.
Sovellukset
Analyyttinen lukuteoria
Gammafunktiota käytetään Riemannin zeta-funktion tutkimiseen. Riemannin zeta-funktion ominaisuus on sen funktionaalinen yhtälö:
Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } 
Bernhard Riemann löysi näiden kahden funktion välisen suhteen. Tämä tapahtui vuonna 1859 julkaistussa artikkelissa "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Primaarilukujen lukumäärästä, joka on pienempi kuin annettu määrä").
ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}}. } 
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mikä on gammafunktio matematiikassa?
V: Gammafunktio on keskeinen aihe matematiikan erikoisfunktioiden alalla.
K: Mikä on faktoriaali-funktion laajennus kaikkiin kompleksilukuihin negatiivisia kokonaislukuja lukuun ottamatta?
V: Gammafunktio on faktoriaalifunktion laajennus kaikkiin kompleksilukuihin negatiivisia kokonaislukuja lukuun ottamatta.
K: Miten gammafunktio määritellään positiivisille kokonaisluvuille?
V: Positiivisille kokonaisluvuille gammafunktio määritellään seuraavasti: Γ(n) = (n-1)!.
K: Onko gammafunktio määritelty kaikille kompleksiluvuille?
V: Kyllä, gammafunktio on määritelty kaikille kompleksiluvuille.
K: Onko gammafunktio määritelty negatiivisille kokonaisluvuille ja nollalle?
V: Ei, gammafunktiota ei ole määritelty negatiivisille kokonaisluvuille ja nollalle.
K: Miten gammafunktio määritellään kompleksiluvulle, jonka reaaliosa ei ole negatiivinen kokonaisluku?
V: Gammafunktio määritellään kompleksiluvulle, jonka reaaliosa ei ole negatiivinen kokonaisluku, erityisellä kaavalla, jota ei anneta tekstissä.
K: Miksi gammafunktio on tärkeä matematiikassa?
V: Gammafunktio on tärkeä matematiikassa, koska se on keskeinen aihe erikoisfunktioiden alalla ja koska se laajentaa faktoriaalifunktion koskemaan kaikkia kompleksilukuja paitsi negatiivisia kokonaislukuja.
Etsiä