Gammafunktio

Matematiikassa gammafunktio (Γ(z)) on faktoriaalifunktion laajennus kaikkiin kompleksilukuihin negatiivisia kokonaislukuja lukuun ottamatta. Positiivisille kokonaisluvuille se määritellään seuraavasti: Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

Gammafunktio on määritelty kaikille kompleksiluvuille. Sitä ei kuitenkaan ole määritelty negatiivisille kokonaisluvuille ja nollalle. Kompleksiluvulle, jonka reaaliosa ei ole negatiivinen kokonaisluku, funktio määritellään seuraavasti:

Gammafunktio reaaliakselin osaa pitkin

Ominaisuudet

Erityisarvot

Joitakin erityisiä gammafunktion arvoja ovat:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\\\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.3293934038818\\\\\\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.3233335097045\\\\\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\\\\\end{array}}}} ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Pi-toiminto

Gauss otti käyttöön Pi-funktion. Tämä on toinen tapa merkitä gammafunktiota. Gammafunktiota kuvaamalla Pi-funktio on seuraava

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}{t},} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

niin että

Π ( n ) = n ! , {\displaystyle \Pi (n)=n!\,,} $\Pi (n)=n!\,,$

jokaiselle ei-negatiiviselle kokonaisluvulle n.

Sovellukset

Analyyttinen lukuteoria

Gammafunktiota käytetään Riemannin zeta-funktion tutkimiseen. Riemannin zeta-funktion ominaisuus on sen funktionaalinen yhtälö:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhard Riemann löysi näiden kahden funktion välisen suhteen. Tämä tapahtui vuonna 1859 julkaistussa artikkelissa "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" ("Primaarilukujen lukumäärästä, joka on pienempi kuin annettu määrä").

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Kysymyksiä ja vastauksia

Kysymys: Mikä on gammafunktio matematiikassa?

V: Gammafunktio on keskeinen aihe matematiikan erikoisfunktioiden alalla.

K: Mikä on faktoriaali-funktion laajennus kaikkiin kompleksilukuihin negatiivisia kokonaislukuja lukuun ottamatta?

V: Gammafunktio on faktoriaalifunktion laajennus kaikkiin kompleksilukuihin negatiivisia kokonaislukuja lukuun ottamatta.

K: Miten gammafunktio määritellään positiivisille kokonaisluvuille?

V: Positiivisille kokonaisluvuille gammafunktio määritellään seuraavasti: Γ(n) = (n-1)!.

K: Onko gammafunktio määritelty kaikille kompleksiluvuille?

V: Kyllä, gammafunktio on määritelty kaikille kompleksiluvuille.

K: Onko gammafunktio määritelty negatiivisille kokonaisluvuille ja nollalle?

V: Ei, gammafunktiota ei ole määritelty negatiivisille kokonaisluvuille ja nollalle.

K: Miten gammafunktio määritellään kompleksiluvulle, jonka reaaliosa ei ole negatiivinen kokonaisluku?

V: Gammafunktio määritellään kompleksiluvulle, jonka reaaliosa ei ole negatiivinen kokonaisluku, erityisellä kaavalla, jota ei anneta tekstissä.

K: Miksi gammafunktio on tärkeä matematiikassa?

V: Gammafunktio on tärkeä matematiikassa, koska se on keskeinen aihe erikoisfunktioiden alalla ja koska se laajentaa faktoriaalifunktion koskemaan kaikkia kompleksilukuja paitsi negatiivisia kokonaislukuja.