Valokello on yksinkertainen ajatuskoe, joka havainnollistaa yhden erityissuhteellisuusteorian perusominaisuuden: ajan laajenemisen eli aikadilataation. Valokello koostuu pystysuorasta tolpassa olevasta valonlähteestä tolpan alareunassa, peilistä tolpan yläpäässä ja valoilmaisimesta tolpan alareunassa. Kello "tikittää", kun tolpan alapäästä lähetetty valonvälähdys kulkee peiliin ja palaa takaisin pohjalle; valoilmaisin laskee jokaisen vastaanotetun välähdyksen ja läpäisee samalla syklit, joita käytetään ajan mittaamiseen. Jos tällainen kello liikkuu nopeasti suhteessa tarkkailijaan, tarkkailija näkee valon kulkevan pidemmän reitin ja siksi kellon tikityksen hidastuvan — tämä on aikadilataatio.

Yksinkertainen esimerkki: koripallon dribblaus

Ennen valokellon matemaattista tarkastelua tarkastellaan samanlaista, arkipäiväisempää suhteellisen liikkeen esimerkkiä. Kuvittele, että joku dribblaa koripalloa suuren rahtikoneen ruumassa; koripalloilija liikkuu koneen kanssa samaan suuntaan. Lentokoneen sisällä olevat ihmiset näkevät pallon pomppaavan ehkä vain metrin tai kaksi kerrallaan, ja yhden pompun väliin kuluu noin yksi sekunti. Maan suhteen (maassa olevien tarkkailijoiden mielestä) ensimmäinen pomppu saattoi tapahtua Gibraltarin yläpuolella ja seuraava pomppu Espanjan rannikolla, jolloin pallo onkin matkannut maan suhteen satoja metrejä yhden sekunnin aikana. Tämä ero mitatuissa etäisyyksissä ja ajoissa johtuu liikkeen suhteellisuudesta ja havainnointikehyksestä.

Valokellon geometria ja perusyhtälö

Tarkastellaan nyt valokelloa, joka on pystysuora tolppa pituudeltaan a. Helpottaaksemme laskuja voitaisiin esimerkiksi valita a = 0,5 km, kuten alkuperäisessä esimerkissä, mutta derivaatio pätee yleisesti mihin tahansa a:han.

Valon nopeus on vakio; merkitään sitä kirjaimella c. Kun kello on levossa tarkkailijan suhteen, valo kulkee pystysuoraa matkaa ylös ja alas; yhden tikin kokonaismatka on d = 2a ja siitä seuraava aika on

t = d / c = 2a / c.

Esimerkiksi jos 2a = 1 km, niin

t = 1 km / (300 000 km/s) ≈ 0,00000333 s (3,33·10−6 s).

Valokello liikkuvassa aluksessa — mittaus maasta

Oletetaan nyt, että samanlainen valokello on kiinnitetty nopeasti liikkuvaan avaruusalukseen, joka lentää vaakasuoraan nopeudella v maan tarkkailijan ohi. Maasta katsottuna tolppa liikkuu vaakasuunnassa samaan aikaan kun valo kulkee ylös ja alas; siksi valon reitti ei ole enää pystysuora vaan vino (hypotenuusa kolmiossa). Merkitään yhden tikin aikaa havaittuna maasta t'. Koska tolppa liikkuu vaakasuoraan, kun välähdys lähtee pohjasta kohti peiliä, peili on siirtynyt eteenpäin pituuden (v t'/2) kun välähdys saavuttaa sen. Kolmion korkeus on siis a ja kantapituus on (v t'/2), joten vinon sivun pituus on

h = √(a² + (v t'/2)²).

Valon kokonaismatka yhden tikin aikana on kaksinkertainen, eli

d = 2h = 2 √(a² + (v t'/2)²).

Koska valo etenee nopeudella c, matka ja aika liittyvät toisiinsa yhtälöllä c t' = d. Saamme siis yhtälön

c t' = 2 √(a² + (v t'/2)²).

Ratkaisu ja aikadilataatio

Ratkaistaan tämä t' :lle. Neliöimällä molemmat puolet saadaan

c² t'² = 4 [ a² + (v² t'² / 4) ]

joka yksinkertaistuu muotoon

c² t'² = 4 a² + v² t'².

Siirretään termit t'²:n ympärille:

(c² − v²) t'² = 4 a².

Tästä

t'² = 4 a² / (c² − v²)

ja siten

t' = 2a / √(c² − v²) = (2a / c) · 1 / √(1 − v² / c²).

Koska levossa olevan valokellon tikin kesto oli t = 2a / c, voimme kirjoittaa yksinkertaisesti

t' = t / √(1 − v² / c²).

Tässä termissä γ = 1 / √(1 − v² / c²) on niin sanottu Lorentz-tekijä. Se on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 1 (kun 0 ≤ v < c), joten t' ≥ t. Toisin sanoen, maasta katsottuna nopeassa liikkeessä oleva valokello tikittää hitaammin kuin sama kello levossa.

Numeroinen esimerkki ja tulkinta

Esimerkiksi jos t = 1 s (eli levossa olevan valokellon tikin kesto on yksi sekunti) ja alus liikkuu nopeudella v = 0,5 c, niin

t' = 1 s / √(1 − 0,5²) = 1 / √0,75 ≈ 1,1547 s.

Tämä tarkoittaa, että maasta katsottuna aluksessa oleva kello näyttää tikittävän noin 15,5 % hitaammin.

On tärkeää huomata, että erityinen suhteellisuusteoria on symmetrinen: aluksesta katsottuna maapallon kellot näyttävät vastaavasti hidastuvan. Kumpikin havaitsija pitää omaa kellonsa normaalina; ero johtuu havaitsijoiden liikkeestä toisiinsa nähden ja ajan/sijainnin suhteellisuudesta (erityisesti samanaikaisuuden relativisoinnista).

Kokeile eri nopeuksia ja havainnollista aikadilataatiota osoitteessa: http://www.1728.org/reltivty.htm.