Valokello – suhteellisuusteorian esimerkki: valon kello ja aikadilataatio
Valokello: selkeä esimerkki suhteellisuusteoriasta ja aikadilataatiosta. Havainnollinen kuvaus valon kellosta ja laskelmista, jotka näyttävät, miten aika hidastuu nopeasti liikkuvassa aluksessa.
Valokello on yksinkertainen ajatuskoe, joka havainnollistaa yhden erityissuhteellisuusteorian perusominaisuuden: ajan laajenemisen eli aikadilataation. Valokello koostuu pystysuorasta tolpassa olevasta valonlähteestä tolpan alareunassa, peilistä tolpan yläpäässä ja valoilmaisimesta tolpan alareunassa. Kello "tikittää", kun tolpan alapäästä lähetetty valonvälähdys kulkee peiliin ja palaa takaisin pohjalle; valoilmaisin laskee jokaisen vastaanotetun välähdyksen ja läpäisee samalla syklit, joita käytetään ajan mittaamiseen. Jos tällainen kello liikkuu nopeasti suhteessa tarkkailijaan, tarkkailija näkee valon kulkevan pidemmän reitin ja siksi kellon tikityksen hidastuvan — tämä on aikadilataatio.
Yksinkertainen esimerkki: koripallon dribblaus
Ennen valokellon matemaattista tarkastelua tarkastellaan samanlaista, arkipäiväisempää suhteellisen liikkeen esimerkkiä. Kuvittele, että joku dribblaa koripalloa suuren rahtikoneen ruumassa; koripalloilija liikkuu koneen kanssa samaan suuntaan. Lentokoneen sisällä olevat ihmiset näkevät pallon pomppaavan ehkä vain metrin tai kaksi kerrallaan, ja yhden pompun väliin kuluu noin yksi sekunti. Maan suhteen (maassa olevien tarkkailijoiden mielestä) ensimmäinen pomppu saattoi tapahtua Gibraltarin yläpuolella ja seuraava pomppu Espanjan rannikolla, jolloin pallo onkin matkannut maan suhteen satoja metrejä yhden sekunnin aikana. Tämä ero mitatuissa etäisyyksissä ja ajoissa johtuu liikkeen suhteellisuudesta ja havainnointikehyksestä.
Valokellon geometria ja perusyhtälö
Tarkastellaan nyt valokelloa, joka on pystysuora tolppa pituudeltaan a. Helpottaaksemme laskuja voitaisiin esimerkiksi valita a = 0,5 km, kuten alkuperäisessä esimerkissä, mutta derivaatio pätee yleisesti mihin tahansa a:han.
Valon nopeus on vakio; merkitään sitä kirjaimella c. Kun kello on levossa tarkkailijan suhteen, valo kulkee pystysuoraa matkaa ylös ja alas; yhden tikin kokonaismatka on d = 2a ja siitä seuraava aika on
t = d / c = 2a / c.
Esimerkiksi jos 2a = 1 km, niin
t = 1 km / (300 000 km/s) ≈ 0,00000333 s (3,33·10−6 s).
Valokello liikkuvassa aluksessa — mittaus maasta
Oletetaan nyt, että samanlainen valokello on kiinnitetty nopeasti liikkuvaan avaruusalukseen, joka lentää vaakasuoraan nopeudella v maan tarkkailijan ohi. Maasta katsottuna tolppa liikkuu vaakasuunnassa samaan aikaan kun valo kulkee ylös ja alas; siksi valon reitti ei ole enää pystysuora vaan vino (hypotenuusa kolmiossa). Merkitään yhden tikin aikaa havaittuna maasta t'. Koska tolppa liikkuu vaakasuoraan, kun välähdys lähtee pohjasta kohti peiliä, peili on siirtynyt eteenpäin pituuden (v t'/2) kun välähdys saavuttaa sen. Kolmion korkeus on siis a ja kantapituus on (v t'/2), joten vinon sivun pituus on
h = √(a² + (v t'/2)²).
Valon kokonaismatka yhden tikin aikana on kaksinkertainen, eli
d = 2h = 2 √(a² + (v t'/2)²).
Koska valo etenee nopeudella c, matka ja aika liittyvät toisiinsa yhtälöllä c t' = d. Saamme siis yhtälön
c t' = 2 √(a² + (v t'/2)²).
Ratkaisu ja aikadilataatio
Ratkaistaan tämä t' :lle. Neliöimällä molemmat puolet saadaan
c² t'² = 4 [ a² + (v² t'² / 4) ]
joka yksinkertaistuu muotoon
c² t'² = 4 a² + v² t'².
Siirretään termit t'²:n ympärille:
(c² − v²) t'² = 4 a².
Tästä
t'² = 4 a² / (c² − v²)
ja siten
t' = 2a / √(c² − v²) = (2a / c) · 1 / √(1 − v² / c²).
Koska levossa olevan valokellon tikin kesto oli t = 2a / c, voimme kirjoittaa yksinkertaisesti
t' = t / √(1 − v² / c²).
Tässä termissä γ = 1 / √(1 − v² / c²) on niin sanottu Lorentz-tekijä. Se on aina suurempi tai yhtä suuri kuin 1 (kun 0 ≤ v < c), joten t' ≥ t. Toisin sanoen, maasta katsottuna nopeassa liikkeessä oleva valokello tikittää hitaammin kuin sama kello levossa.
Numeroinen esimerkki ja tulkinta
Esimerkiksi jos t = 1 s (eli levossa olevan valokellon tikin kesto on yksi sekunti) ja alus liikkuu nopeudella v = 0,5 c, niin
t' = 1 s / √(1 − 0,5²) = 1 / √0,75 ≈ 1,1547 s.
Tämä tarkoittaa, että maasta katsottuna aluksessa oleva kello näyttää tikittävän noin 15,5 % hitaammin.
On tärkeää huomata, että erityinen suhteellisuusteoria on symmetrinen: aluksesta katsottuna maapallon kellot näyttävät vastaavasti hidastuvan. Kumpikin havaitsija pitää omaa kellonsa normaalina; ero johtuu havaitsijoiden liikkeestä toisiinsa nähden ja ajan/sijainnin suhteellisuudesta (erityisesti samanaikaisuuden relativisoinnista).
Kokeile eri nopeuksia ja havainnollista aikadilataatiota osoitteessa: http://www.1728.org/reltivty.htm.
Kysymyksiä ja vastauksia
Q: Mikä on valonkello?
V: Valokello on laite, joka on suunniteltu osoittamaan eräs erityissuhteellisuusteorian perusominaisuus. Se toimii heijastamalla valon välähdyksen kaukaisesta peilistä ja käyttämällä sen paluuta toisen valon välähdyksen laukaisemiseen ja laskemalla samalla, kuinka monta välähdystä on tapahtunut matkan varrella.
Kysymys: Mitä on aikadilataatio?
V: Ajanlaajeneminen on ilmiö, joka ilmenee, kun ihmiset maapallolla katsovat avaruusaluksen lentämistä valokellon avulla. He näkevät sen tikittävän suhteellisen hitaasti suhteellisuusteorian vaikutuksesta.
K: Miten voimme laskea, kuinka paljon aika hidastuu avaruusaluksessa?
V: Voimme käyttää algebraa ja Pythagoraan lausetta laskeaksemme, kuinka paljon aika hidastuu avaruusaluksessa. Meidän on sovellettava yhtälöä d = rt (etäisyys on yhtä kuin nopeus kertaa aika) ja käytettävä valon vakionopeutta c kahdessa ongelmassa.
Kysymys: Miten valokello toimii?
V: Valokello koostuu pitkän tangon alaosassa olevasta valolähteestä, jonka yläosassa on peili ja alaosassa elektroninen ilmaisin. Kun se käynnistetään, yksi valon välähdys kulkee alhaalta ylöspäin, jossa se heijastuu takaisin alaspäin, kun se havaitaan alhaalla sijaitsevassa ilmaisimessa, joka lisää yhden laskurin kiinnitettyyn laskuriin ja laukaisee taas uuden välähdyksen ylöspäin. Tämä prosessi jatkuu, kunnes se pysäytetään tai nollataan.
K: Mitä yhtälöä tarvitsemme tätä laskentaa varten?
V: Tarvitsemme t' = 2a/(c√(1-r2/c2)), jonka mukaan t' (pohjoisnavan kellon tikitysten välinen aika) on yhtä kuin 2a/c jaettuna √(1-r2/c2). Jos t = 1 sekunti, ja jos matkataan puolet valonnopeudesta, t' = 1,1547 sekuntia.
Kysymys: Miten Pythagoraan lause liittyy tähän laskutoimitukseen?
V: Pythagoraan lause auttaa meitä saamaan selville h:n (hypotenuusan), joka on osa yhtälöä, jonka avulla voimme laskea, kuinka kauan kukin tikki kestää sekunteina (d=ct). Kun tiedämme h:n, pystymme ratkaisemaan t':n, joka kertoo, kuinka kauan kukin tiketti kestää maapallolla olevien ihmisten mukaan, jotka katsovat pohjoisnavalta, sekä niiden ihmisten mukaan, jotka ovat itse aluksella, joka kulkee hyvin nopeasti niiden yli.
Etsiä