Valokello

Valokello on yksinkertainen tapa osoittaa eräs erityissuhteellisuusteorian perusominaisuus. Kello on suunniteltu toimimaan siten, että valon välähdys kimpoaa kaukaisesta peilistä ja käyttää sen paluuta toisen valon välähdyksen laukaisemiseen ja laskee samalla, kuinka monta välähdystä on tapahtunut matkan varrella. On helppo osoittaa, että ihmiset maapallolla, jotka katsovat avaruusaluksen lentoa tällaisen kellon avulla, näkisivät sen tikittävän suhteellisen hitaasti. Tätä ilmiötä kutsutaan aikadilataatioksi.

Ennen kuin tutkimme valokelloa, tarkastellaan toisenlaista suhteellisuusteoriaa. Kuvittele, että joku dribblaa koripalloa suuren rahtikoneen ruumassa. Koripalloilija liikkuu samaan suuntaan kuin suihkukone. Muut lentokoneessa olevat ihmiset näkevät hänen liikkuvan metrin tai kaksi, kun hän tekee yhden dribblen. Sen välillä, kun pallo kimpoaa ensimmäisen kerran ja kun pallo kimpoaa toisen kerran, on kulunut noin yksi sekunti. Ensimmäisen pompun tapahtuessa koripallo oli kuitenkin Gibraltarin yläpuolella, ja toisen pompun tapahtuessa koripallo oli veden yläpuolella lähempänä Espanjaa. Koripallo on siis liikkunut 280 metriä Maan suhteen.

Tarkastellaan nyt hieman samanlaista kysymystä suhteellisesta liikkeestä. Tällä kertaa tarkastelemme sitä, mitä pohjoisnavalta tähtiin katsovat ihmiset näkevät, kun hyvin nopea avaruusalus lentää heidän ylitseen. Voimme käyttää algebraa ja Pythagoraan lausetta laskeaksemme, kuinka paljon aika hidastuu avaruusaluksessa. Tarvitsemme vain yhtälön, joka yhdistää etäisyyden d, matkanopeuden r ja ajan t. Yhtälö on seuraava:

d = rt

Valon nopeus on vakio, joten sovellamme tätä arvoa kahteen ongelmaan. Kutsumme valon nopeutta c:ksi, koska tiedemiehet käyttävät siitä yleensä tätä kirjainta.

Kello valmistetaan asettamalla valonlähde pitkän tolpan alapäähän, peili tolpan päälle ja elektroninen valoilmaisin tolpan alapäähän. Kello käynnistetään sulkemalla lyhyesti kytkin, joka lähettää yhden valon välähdyksen tolpan alaosasta tolpan yläosaan, josta se heijastuu takaisin tolpan alaosaan. Kun pylvään alaosassa oleva valoilmaisin näkee valon vilkkumisen, se tekee kaksi asiaa. Se lisää yhden valon siihen kiinnitettyyn laskuriin, ja se lähettää toisen valon vilkkumisen peiliin. Kun tämä valon vilkahdus palaa takaisin pylvään pohjaan, laskuri muuttuu kahdeksi ja toinen valon vilkahdus käynnistyy. Koska valo kulkee hyvin nopeasti (300 000 kilometriä sekunnissa), valokello "tikittää" jokaista tavallisella kellolla mitattua sekuntia kohti hyvin monta kertaa.

Helpottaaksemme matematiikkaa sanomme, että napa on puoli kilometriä pitkä. Jos siis seisomme pohjoisnavalle suuren teleskoopin viereen rakennetun valokellon vieressä, näemme, että valo kulkee yhden kilometrin jokaisella valokellon "tikillä". Koska kuljettu matka, d, on yhtä kuin nopeus kerrottuna ajalla, ja kyseinen nopeus on c, saadaan yhtälö:

d = ct

ja voimme ratkaista tämän yhtälön t:n suhteen saadaksemme selville, kuinka kauan sekunneissa kukin "rasti" kestää.

1 km = 300 000 km/sekunti * t sekuntia

t sekuntia = 1 km/300,000 (km/sekunti) = 1/300,000 sekuntia = 0.00000333...3 sekuntia

Toisin sanoen jokainen valonkellon "tikitys" kestää 0,00000333...3 sekuntia.

Jos avaruusalus lentäisi suoraa linjaa pohjoisnavan yli suurella murto-osalla valon nopeudesta, ja siinä olisi samanlainen kello, sen kulkua tarkkailevat ihmiset näkisivät, että navan päällä oleva peili olisi siirtynyt suoraan lähettämänsä valon yläpuolelle, joten valo kulkisi kaavioon merkittyä h-viivaa pitkin, ja sen jälkeen se seuraisi toista hypotenuusaa takaisin alas navan juurelle, joka olisi jo siirtynyt jonkin matkaa, koska avaruusalus liikkuu niin nopeasti. Voimme laskea, kuinka paljon aikaa yksi rasti kestäisi Maan asukkaiden mukaan. Tiedämme, että avaruusaluksen napa on pituudeltaan a, koska se on samanlainen kello kuin ihmiset käyttävät pohjoisnavalla. Haluamme selvittää t' , ajan, joka kuluu yhteen avaruusaluksen kellon tikitykseen.

Tiedämme, että avaruusalus kulkee 1/2 r t', kun valon vilkkuminen suuntautuu ylöspäin kohti peiliä, ja toiset 1/2 r t', kun valon vilkkuminen suuntautuu alaspäin kohti pylvään juurta. Tämä laskutoimitus antaa meille kaavion viivan b pituuden. Tiedämme a:n, joten voimme laskea h:n Pythagoraan lauseen avulla:

h = √(a2 + (rt' /2)²)

Valon kulkema kokonaismatka on siis 2 h eli d = 2 √(a2 + (rt' /2)²).

Tiedämme myös, että valon nopeus c on vakio. Se on sama nopeus riippumatta siitä, kuka sen mittaa. Voimme siis käyttää tätä tosiasiaa saadaksemme toisen tavan laskea, kuinka kauan valon välähdykseltä kestää kulkea pylvään juurelta pylvään huipulle ja takaisin:

t' = d/c

Toisin sanoen d = c t' .

Voimme siis kirjoittaa

c t' = 2 √(a2 + (rt' /2)²)

tai

1/2 c t' = √(a2 + (rt' /2)²)

Ratkaistaksemme edellä olevan yhtälön, meidän on:

1. Neliö molemmin puolin
2. Jaa molemmat puolet luvulla t' ²
3. Kerro molemmat puolet 4:llä
4. Jaa molemmat puolet c2:lla
5. Yksinkertaista c2 / c2
6. Vähennetään r2/c2 molemmista puolista.
7. Ota molempien puolien neliöjuuri
8. Kerrotaan molemmat puolet luvulla t'
9. Jaetaan molemmat puolet √(1-r2/c2):lla.

Ratkaisemalla edellä oleva yhtälö havaitaan, että:

t' = 2a/(c√(1-r2/c2))

Pohjoisnavan kellon tikitysten välinen aika on 2a/c, joten voimme kirjoittaa:

t' = t/√(1-r2/c2)

Jos t = 1 sekunti, niin jos avaruusalus kulkee puolet valon nopeudesta, t' = 1,1547 sekuntia.

Kokeile eri ajonopeuksia osoitteessa: http://www.1728.org/reltivty.htm.

Kysymyksiä ja vastauksia

Q: Mikä on valonkello?

Kysymys: Mitä on aikadilataatio?

K: Miten voimme laskea, kuinka paljon aika hidastuu avaruusaluksessa?

Kysymys: Miten valokello toimii?

K: Mitä yhtälöä tarvitsemme tätä laskentaa varten?

Kysymys: Miten Pythagoraan lause liittyy tähän laskutoimitukseen?

Hae kirjaimella