Matemaattisen kohteen suuruus on sen koko: ominaisuus, jonka perusteella kohteita voidaan verrata ja sanoa, että yksi on suurempi tai pienempi kuin toinen. Suuruus voi tarkoittaa esimerkiksi pituutta, pinta-alaa, tilavuutta, kulmaa, määrää tai abstraktimpaa järjestys- tai kasvunopeusominaisuutta.

Matemaattisella kielellä suuruutta käsitellään useilla eri tavoilla riippuen kontekstista: joskus suuruus on reaaliluku (esim. segmentin pituus), toisinaan kyse on järjestyksestä (esim. suurempien ja pienempien relaatiosta), ja toisinaan tarkastellaan joukkojen määrällistä suuruutta eli kardinaalisuutta.

Muinaiset kreikkalaiset erottelivat toisistaan useita eri suuruusluokkia, kuten:

  • (positiiviset) jakeet
  • viivasegmentit (järjestetty pituuden mukaan)
  • Lentokoneen luvut (pinta-alan mukaan järjestettynä)
  • Kiinteät aineet (tilavuusjärjestyksessä)
  • Kulmat (järjestetty kulman suuruuden mukaan)

Muinaisten ja nykymatematiikan ero

Antiikin matemaatikot havaitsivat, että eri suuruusluokkien välillä voi olla olennaisia eroja. Esimerkiksi viivasegmenttien pituudet eivät aina ole suhteellisia niin, että niiden suhde olisi rationaaliluku — tästä seurasi irrationaalilukujen löytäminen (esim. √2), joka muutti käsitystä "mitattavasta" suuruudesta. He havaitsivat myös, että esimerkiksi segmenttien pituudet ja lukujen määrä (kardinaalisuus) eivät ole sama asia eivätkä isomorfisia käsitteitä.

Nykyajan näkökulma

Modernissa matematiikassa suuruus määritellään ja luokitellaan useilla tavoilla riippuen kontekstista:

  • Mittasuuruudet ja reaaliluvut: Pituus, pinta-ala, tilavuus ja kulma ilmaistaan yleensä reaaliluvuilla (tai vektorien normeilla). Näissä konteksteissa suuruus on ei-negatiivinen ja usein additiivinen (esim. kahden kappaleen tilavuudet yhteenlaskettuna).
  • Mitta- ja integraatioteoria: Lebesguen-mitta ja muut mittateoriat antavat tarkan tavan käsitellä suuruutta monimutkaisille joukoille ja funktioille, myös sellaisille, joita ei voi mitata pelkällä pituudella tai pinta-alalla.
  • Kardinaalisuus (joukkojen koko): Joukkojen suuruutta mitataan bijektioiden avulla. Joukot voivat olla finiittisiä, numeerisesti äärettömiä (kuten luonnolliset luvut) tai numeerisesti epäjatkuvia (kuten reaaliluvut). Cantorin teoreemat näyttävät, että on eri kokoisia äärettömyyksiä (esim. reaalilukujen joukko on suurempi kuin luonnollisten lukujen joukko).
  • Järjestys ja relatiot: Joissakin rakenteissa suuruus on järjestysominaisuus: voidaan puhua kokonaisesta järjestyksestä (jokaiset kaksi alkiota ovat verrattavissa) tai osittaisesta järjestyksestä. Esimerkiksi reaaliluvut muodostavat täydellisen järjestyksen.
  • Normit ja etäisyydet: Vektoriavaruuksissa suuruus voidaan määritellä normilla (vektorin pituus) ja etäisyyksillä metrisiin avaruuksiin.
  • Asymptootti- ja kasvunopeudet: Suuruutta käytetään myös kuvaamaan funktioiden kasvunopeutta: Big O-, Θ- ja o-notaatiot vertaavat, kuinka nopeasti funktiot kasvavat (esim. n, n log n, n^2, 2^n).

Esimerkkejä

  • Pituus: Viivasegmentin suuruus on sen pituus, joka voidaan mitata reaalilukuna metreinä tai muuna mittayksikkönä.
  • Pinta-ala ja tilavuus: Suuruus ilmaistaan neliö- tai kuutioyksiköinä; mitta on additiivinen erillisten alueiden kohdalla.
  • Kulma: Kulman suuruus voidaan ilmaista asteina tai radiaaneina; kulmat voidaan myös järjestää.
  • Kardinaalisuus: Luonnollisten lukujen joukon ja kokonaislukujen joukon kardinaalisuus on sama (molemmat ovat laskettavissa), mutta reaalilukujen joukko on suurempi (ei-laskettavissa).
  • Kasvunopeus: Algoritmin aikavaativuutta verrataan esimerkiksi f(n)=n ja g(n)=n^2; kun n kasvaa, g kasvaa paljon nopeammin, joten g on suurempi kasvuasteeltaan.

Nolla ja negatiiviset suuruudet

Perinteisesti monet suuruudet, kuten pituus, pinta-ala, tilavuus ja vektorin normi, ovat ei-negatiivisia — nolla on pienin mahdollinen arvo. Tällöin suuruutta ei yleensä ajatella negatiivisena. Kuitenkin matemaattisia rakenteita voidaan laajentaa tai määritellä niin, että ”negatiivinen suuruus” on mielekäs:

  • Suunnatut (allekirjoitetut) määrät: Suuntaan liittyvät määrät, kuten suunnattu pituus tai orientaatio (esim. vektorien komponentit), voivat olla negatiivisia, koska niiden merkitys sisältää suunnan.
  • Signed measure / orientaatio: Mittateoriassa on käsitteitä kuten signoidut mittaukset, joissa mitta voi olla positiivinen tai negatiivinen (esim. erilaisten alueiden erot).
  • Abstraktit laajennukset: Joissain teoreettisissa konteksteissa voidaan käsitellä ”negatiivisia määriä” muodollisesti, mutta fysikaalisissa mitoissa ne yleensä eivät ole suoria mitattavia arvoja.

Päätelmä

Suuruus on monimuotoinen käsite matematiikassa: se voi tarkoittaa konkreettista mittaa (pituus, pinta-ala), abstraktimpaa järjestystä tai joukkojen kardinaalisuutta, tai kasvunopeutta analytiikassa. Käsitteen tulkinta riippuu kontekstista ja niitä kuvaavista rakenteista (mitta-, järjestys-, normaali- tai kardinaalisuusrakenne). Historiallisesti suuruusajatus on kehittynyt antiikin geometriasta aina nykyaikaiseen analyysiin ja joukko-oppiin asti, ja sen tarkka määrittely mahdollistaa monipuoliset vertailut ja rigoroiset laskelmat.