Newtonin menetelmä | tapa löytää funktion reaaliset nollakohdat
Newtonin menetelmä tarjoaa tavan löytää funktion reaaliset nollakohdat. Tätä algoritmia kutsutaan joskus Newton-Raphson-menetelmäksi, joka on nimetty Sir Isaac Newtonin ja Joseph Raphsonin mukaan.
Menetelmässä käytetään funktion derivaattaa sen juurien löytämiseksi. Nollakohdan sijainnille on tehtävä alustava "arvausarvo". Tästä arvosta lasketaan uusi arvaus tällä kaavalla:
Tässä xn on alkuperäinen arvaus ja xn+1 on seuraava arvaus. Funktiolla f (jonka nollakohtaa ratkaistaan) on derivaatta f'.
Soveltamalla tätä kaavaa toistuvasti luotuihin arvauksiin (eli asettamalla x:n arvon kaavan ulostuloon ja laskemalla uudelleen), arvausten arvo lähestyy funktion nollaa.
Newtonin menetelmä voidaan selittää graafisesti tarkastelemalla tangenttisuorien ja x-akselin leikkauspisteitä. Ensin lasketaan f:n tangenttisuoraa x:ssän . Seuraavaksi etsitään tämän tangenttisuoran ja x-akselin leikkauspiste. Lopuksi tämän leikkauspisteen x-paikka kirjataan seuraavaksi arvioksi, x .n+1
Funktiota (sininen) käytetään laskemaan tangenttisuoran (punainen) kaltevuus kohdassa x .n
Newtonin menetelmän ongelmat
Newtonin menetelmä voi löytää ratkaisun nopeasti, jos arvausarvo alkaa riittävän läheltä haluttua juurta. Kun alkuarvoitusarvo ei kuitenkaan ole lähellä, ja funktiosta riippuen Newtonin menetelmä voi löytää vastauksen hitaasti tai ei ollenkaan.
Aiheeseen liittyvät sivut
- Kantorovitšin lause (Leonid Kantorovitšin löytämä väite Newtonin menetelmän konvergenssista).
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on Newtonin menetelmä?
V: Newtonin menetelmä on algoritmi funktion reaalisten nollakohtien löytämiseksi. Se käyttää funktion derivaattaa sen juurien laskemiseen ja vaatii nollan sijainnille alkuarvion.
K: Kuka kehitti tämän menetelmän?
V: Sir Isaac Newton ja Joseph Raphson kehittivät menetelmän, minkä vuoksi sitä kutsutaan joskus Newton-Raphson-menetelmäksi.
K: Miten tämä algoritmi toimii?
V: Tämä algoritmi toimii soveltamalla toistuvasti kaavaa, joka ottaa alkuarvion (xn) ja laskee uuden arvion (xn+1). Toistamalla tätä prosessia arvaukset lähestyvät funktion nollaa.
K: Mitä tämän algoritmin käyttäminen edellyttää?
V: Jotta voit käyttää tätä algoritmia, sinulla on oltava nollan sijaintia koskeva alkuperäinen "arvausarvo" sekä tieto annetun funktion derivaatasta.
K: Miten Newtonin menetelmä voidaan selittää graafisesti?
V: Voimme selittää Newtonin menetelmän graafisesti tarkastelemalla tangenttisuorien ja x-akselin leikkauspisteitä. Ensin lasketaan f:n tangenttisuoraa xn:ssä. Seuraavaksi etsitään tämän tangenttisuoran ja x-akselin leikkauspiste ja kirjataan sen x-paikka seuraavaksi arvioksi - xn+1.
Kysymys: Onko Newtonin menetelmää käytettäessä rajoituksia?
V: Kyllä, jos arvion alkuarvo on liian kaukana todellisesta juuresta, se voi kestää kauemmin tai jopa epäonnistua konvergoitumisessa kohti juurta, koska se heilahtaa sen ympärillä tai poikkeaa siitä.
