Derivaatta – määritelmä, geometrinen tulkinta ja laskuesimerkit
Derivaatta — selkeä määritelmä, geometrinen tulkinta ja käytännön laskuesimerkit. Opas tangenttisuoran kaltevuudesta ja funktioiden muutosnopeuksista askel askeleelta.
Matematiikassa (erityisesti differentiaalilaskennassa) derivaatta on tapa osoittaa hetkellinen muutosnopeus, eli se, kuinka paljon funktio muuttuu tietyssä pisteessä. Reaalilukuihin vaikuttavien funktioiden osalta se on tangenttisuoran kaltevuus kuvaajan pisteessä. Derivaatta kirjoitetaan usein muodossa ("dy over dx" tai "dy upon dx", mikä tarkoittaa y:n erotusta jaettuna x:n erotuksella). D ei ole muuttuja, eikä sitä siksi voi kumota. Toinen yleinen merkintä on
-funktion
derivaatta pisteessä
, joka luetaan yleensä seuraavasti: "
prime of
".
Geometrinen tulkinta ja fysikaalinen merkitys
Geometrisesti derivaatta pisteessä kertoo kuvaajan tangenttisuoran kulmakertoimen eli suoran jyrkkyyden siinä pisteessä. Jos f'(a) on positiivinen, kuvaaja nousee pisteessä a; jos negatiivinen, kuvaaja laskee. Fysiikassa derivaattaa käytetään esimerkiksi nopeuden ilmaisemiseen: jos x(t) kuvaa kappaleen paikan ajan t funktiona, niin x'(t) on kappaleen hetkellinen nopeus ja x''(t) sen kiihtyvyys.
Määritelmä (raja-arvo)
Funktion f derivaatta pisteessä a määritellään raja-arvona erotusosamäärälle:
f'(a) = lim_{h→0} (f(a+h) − f(a)) / h
Toisin sanoen tutkitaan, miten keskimääräinen muutosnopeus välillä [a, a+h] käyttäytyy, kun h pienenee kohti nollaa. Jos raja-arvo ei ole olemassa, funktiota ei ole differentioitu pisteessä a.
Perussäännöt ja usein käytetyt derivaatat
- Vakion derivaatta: (c)' = 0
- Potenssifunktion derivaatta: (x^n)' = n x^{n-1} (n reaaliluku tai kokonaisluku)
- Summa- ja erotus: (f+g)' = f' + g', (f−g)' = f' − g'
- Kerroin: (c f)' = c f'
- Produktisääntö: (f g)' = f' g + f g'
- Osamääräsääntö: (f/g)' = (f' g − f g') / g^2, kun g ≠ 0
- Ketjusääntö: (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
- Trigonometristen funktioiden perusderivaatat: (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x
- Eksponenttifunktio: (e^{x})' = e^{x}, yleisemmin (e^{u(x)})' = e^{u(x)} u'(x)
Laskuesimerkit
Esimerkki 1 — raja-arvomenetelmä: Laske f'(x) kun f(x) = x^2 käyttäen määritelmää.
f'(x) = lim_{h→0} ((x+h)^2 − x^2) / h = lim_{h→0} (2xh + h^2) / h = lim_{h→0} (2x + h) = 2x.
Esimerkki 2 — potenssifunktio ja ketjusääntö: f(x) = (3x+1)^4. Ketjusäännön mukaan f'(x) = 4(3x+1)^3 · 3 = 12(3x+1)^3.
Esimerkki 3 — trigonometrinen funktio: f(x) = sin x ⇒ f'(x) = cos x.
Esimerkki 4 — produktisääntö: f(x) = x^2 · sin x. f'(x) = 2x sin x + x^2 cos x.
Esimerkki 5 — osamääräsääntö: f(x) = (x^2 + 1) / x. Tässä f'(x) = ((2x)·x − (x^2+1)·1) / x^2 = (2x^2 − x^2 − 1) / x^2 = (x^2 − 1) / x^2.
Lisäominaisuuksia ja huomioita
- Erottuvuus ja jatkuvuus: Jos f on differentioituva pisteessä a, niin f on myös jatkuva pisteessä a. Käänteinen ei aina päde: jatkuva funktio ei välttämättä ole differentioituva.
- Toinen derivaatta: f''(x) kertoo kuvaajan käyrän kaarevuudesta (kovetuksesta). Jos f''(a) > 0, käyrä on kupera ylös (concave up) pisteessä a; jos f''(a) < 0, se on kupera alas (concave down).
- Ääripisteet ja kriittiset pisteet: Kohdat, joissa f' = 0 tai f' ei ole määritelty, voivat olla paikallisia maksimi- tai minimikohtia. Toisen derivaatan testiä käytetään usein päättämään, onko kyseessä minimi vai maksimi.
Derivaatta on keskeinen käsite differentiaalilaskennassa ja sitä sovelletaan laajasti luonnontieteissä, tekniikassa ja taloustieteissä kuvaamaan muutosnopeuksia ja optimointiongelmia.


Funktio (musta) ja tangentti (punainen). Derivaatta pisteessä on tangentin kaltevuus.
Johdannaisen määritelmä
Y:n derivaatta x:n suhteen määritellään y:n muutoksena x:n muutoksen suhteen, kun ja
välinen etäisyys muuttuu äärettömän pieneksi (infinitesimaaliseksi). Matemaattisesti ilmaistuna,
Toisin sanoen, kun kahden x-pisteen välinen etäisyys (h) lähestyy nollaa, niiden välisen suoran kaltevuus muistuttaa yhä enemmän tangenttisuoraa.
.gif)

Animaatio, joka antaa intuitiivisen käsityksen derivaatasta, sillä funktion "keinu" muuttuu, kun argumentti muuttuu.
Funktioiden derivaatat
Lineaariset funktiot
Lineaaristen funktioiden derivaatat (funktiot, jotka ovat muotoa ilman kvadraattisia tai korkeampia termejä) ovat vakioita. Toisin sanoen derivaatta yhdessä kuvaajan kohdassa pysyy samana toisessa kohdassa.
Kun riippuvainen muuttuja ottaa suoraan
'n arvon (
), suoran kaltevuus on 1 kaikissa paikoissa, joten
paikasta riippumatta.
Kun muuttaa
lukua lisäämällä tai vähentämällä vakioarvon, kaltevuus on edelleen 1, koska
ja
muutokset eivät muutu, jos kuvaajaa siirretään ylös- tai alaspäin. Toisin sanoen kaltevuus on edelleen 1 koko kuvaajassa ja sen derivaatta on myös 1.
Tehotoiminnot
Potenssifunktiot (muodossa ) käyttäytyvät eri tavalla kuin lineaariset funktiot, koska niiden eksponentti ja kaltevuus vaihtelevat.
Potenssifunktiot noudattavat yleensä sääntöä, jonka mukaan . Eli jos annamme a:lle luvun 6, niin
Toinen esimerkki, joka ei ole yhtä ilmeinen, on funktio . Tämä on olennaisesti sama, koska 1/x voidaan yksinkertaistaa käyttämällä eksponentteja:
Lisäksi juuret voidaan muuttaa käyttämään murto-osan eksponentteja, jolloin niiden derivaatta voidaan löytää:
Eksponenttifunktiot
Eksponenttifunktio on muotoa , jossa
ja
ovat vakioita ja
on funktio
. Eksponentin ja polynomin ero on siinä, että polynomissa
korotetaan johonkin potenssiin, kun taas eksponentissa
on potenssissa.
Esimerkki 1
Esimerkki 2
Etsi .
Siksi,
Logaritmiset funktiot
Logaritmien derivaatta on käänteisluku:
Otetaan esimerkiksi . Tämä voidaan pelkistää (logaritmien ominaisuuksien avulla):
Logaritmi 5 on vakio, joten sen derivaatta on 0. playstyle {\tfrac {1}{x}}} . Joten,
Logaritmien derivaatat, jotka eivät ole emäksessä e, kuten , tämä voidaan pelkistää muotoon:
Trigonometriset funktiot
Kosinusfunktio on sinifunktion derivaatta, kun taas kosinuksen derivaatta on negatiivinen sini (edellyttäen, että x mitataan radiaaneina):
.
Johdannaisten ominaisuudet
Johdannaiset voidaan jakaa pienempiin osiin, jos ne ovat hallittavissa (koska niillä on vain yksi edellä mainituista toiminnallisista ominaisuuksista). Esimerkiksi voidaan jakaa seuraavasti:
Johdannaisten käyttö
Funktion derivaatan avulla voidaan etsiä funktion maksimia ja minimejä etsimällä paikkoja, joissa funktion kaltevuus on nolla.
Derivaattoja käytetään Newtonin menetelmässä, joka auttaa löytämään funktion nollakohdat (juuret).Derivaattojen avulla voidaan myös määrittää funktion koveruus ja se, onko funktio kasvava vai laskeva.
Aiheeseen liittyvät sivut
- Erotusosamäärä
- Laskennan perusteoria
- Implisiittinen johdannainen
- Integroitu
- Osittaisderivaatta
- Toinen derivaatta
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on johdannainen?
V: Derivaatta on tapa osoittaa hetkellinen muutosnopeus eli määrä, jolla funktio muuttuu tietyssä pisteessä.
K: Miten se tyypillisesti kirjoitetaan?
V: Se kirjoitetaan tyypillisesti muodossa "dy over dx" tai "dy upon dx", mikä tarkoittaa eroa y:ssä jaettuna erolla x:ssä. Toinen yleinen merkintä on f'(x), mikä tarkoittaa funktion f derivaattaa pisteessä x.
Kysymys: Onko d muuttuja?
V: Ei, d ei ole muuttuja, eikä sitä voi mitätöidä.
K: Mitä f tarkoittaa tässä yhteydessä?
V: Tässä yhteydessä 'f' tarkoittaa funktiota.
K: Mitä 'x' tarkoittaa tässä yhteydessä?
V: Tässä yhteydessä 'x' edustaa pistettä kuvaajassa.
K: Mitä 'y' tarkoittaa tässä yhteydessä?
V: Tässä yhteydessä 'y' tarkoittaa tangenttisuoran kaltevuutta kuvaajan kyseisessä pisteessä.
K: Miten voit lukea "f'(x)"? V: Voit lukea "f'(x)" muodossa "f prime of x".
Etsiä