Derivaatta – määritelmä, geometrinen tulkinta ja laskuesimerkit

Johdannaisen määritelmä

Y:n derivaatta x:n suhteen määritellään y:n muutoksena x:n muutoksen suhteen, kun x 0 {\displaystyle x_{0}} ja x 1 {\displaystyle x_{1}} välinen etäisyys muuttuu äärettömän pieneksi (infinitesimaaliseksi). Matemaattisesti ilmaistuna,

f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}}

Toisin sanoen, kun kahden x-pisteen välinen etäisyys (h) lähestyy nollaa, niiden välisen suoran kaltevuus muistuttaa yhä enemmän tangenttisuoraa.

Funktioiden derivaatat

Lineaariset funktiot

Lineaaristen funktioiden derivaatat (funktiot, jotka ovat muotoa m x + c {\displaystyle mx+c} ilman kvadraattisia tai korkeampia termejä) ovat vakioita. Toisin sanoen derivaatta yhdessä kuvaajan kohdassa pysyy samana toisessa kohdassa.

Kun riippuvainen muuttuja y {\displaystyle y} ottaa suoraan x {\displaystyle x} 'n arvon ( y = x {\displaystyle y=x} ), suoran kaltevuus on 1 kaikissa paikoissa, joten d d x ( x ) = 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(x)=1} paikasta riippumatta.

Kun y {\displaystyle y} muuttaa x {\displaystyle x} lukua lisäämällä tai vähentämällä vakioarvon, kaltevuus on edelleen 1, koska x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} muutokset eivät muutu, jos kuvaajaa siirretään ylös- tai alaspäin. Toisin sanoen kaltevuus on edelleen 1 koko kuvaajassa ja sen derivaatta on myös 1.

Tehotoiminnot

Potenssifunktiot (muodossa x a {\displaystyle x^{a}} ) käyttäytyvät eri tavalla kuin lineaariset funktiot, koska niiden eksponentti ja kaltevuus vaihtelevat.

Potenssifunktiot noudattavat yleensä sääntöä, jonka mukaan d d x x a = a x a - 1 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}} . Eli jos annamme a:lle luvun 6, niin d d x x 6 = 6 x 5 {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}x^{6}=6x^{5}}}

Toinen esimerkki, joka ei ole yhtä ilmeinen, on funktio f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}} . Tämä on olennaisesti sama, koska 1/x voidaan yksinkertaistaa käyttämällä eksponentteja:

f ( x ) = 1 x = x - 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}}}

f ′ ( x ) = - 1 ( x - 2 ) {\displaystyle f'(x)=-1(x^{-2})}

f ′ ( x ) = - 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}

Lisäksi juuret voidaan muuttaa käyttämään murto-osan eksponentteja, jolloin niiden derivaatta voidaan löytää:

f ( x ) = x 2 3 = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}=x^{\\frac {2}{3}}}}

f ′ ( x ) = 2 3 ( x - 1 3 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}}(x^{-{\frac {1}{3}}})}

Eksponenttifunktiot

Eksponenttifunktio on muotoa a b f ( x ) {\displaystyle ab^{f\left(x\right)}}} , jossa a {\displaystyle a} ja b {\displaystyle b} ovat vakioita ja f ( x ) {\displaystyle f(x)} on funktio x {\displaystyle x} . Eksponentin ja polynomin ero on siinä, että polynomissa x {\displaystyle x} korotetaan johonkin potenssiin, kun taas eksponentissa x {\displaystyle x} on potenssissa.

Esimerkki 1

d d x ( a b f ( x ) ) = a b f ( x ) ⋅ f ′ ( x ) ⋅ ln ( b ) {\displaystyle {\frac {\d}{dx}}\left(ab^{f\left(x\right)}\right)=ab^{f(x)}\cdot f'\left(x\right)\cdot \ln(b)}

Esimerkki 2

Etsi d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}\left(3\cdot 2^{3{x^{2}}}\right)} .

a = 3 {\displaystyle a=3}

b = 2 {\displaystyle b=2}

f ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=3x^{2}}

f ′ ( x ) = 6 x {\displaystyle f'\left(x\right)=6x}}

Siksi,

d d x ( 3 ⋅ 2 3 x 2 ) = 3 ⋅ 2 3 x 2 ⋅ 6 x ⋅ ln ( 2 ) = ln ( 2 ) ⋅ 18 x ⋅ 2 3 x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(3\cdot 2^{3x^{2}}\right)=3\cdot 2^{3x^{2}}\cdot 6x\cdot \ln \left(2\right)=\ln \left(2\right)\cdot 18x\cdot 2^{3x^{2}}}

Logaritmiset funktiot

Logaritmien derivaatta on käänteisluku:

d d x ln ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}} .

Otetaan esimerkiksi d d x ln ( 5 x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)} . Tämä voidaan pelkistää (logaritmien ominaisuuksien avulla):

d d x ( ln ( 5 ) ) - d d x ( ln ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln(5))-{\frac {d}{dx}}(\ln(x))} }

Logaritmi 5 on vakio, joten sen derivaatta on 0. Ln ( x )   derivaatta on 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Joten,

0 - d d x ln ( x ) = - 1 x {\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}}

Logaritmien derivaatat, jotka eivät ole emäksessä e, kuten d d x ( log 10 ( x ) ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} {\tfrac {d}{dx}}(\log _{10}(x))} , tämä voidaan pelkistää muotoon:

d d x log 10 ( x ) = d d x ln x ln 10 = 1 ln 10 d d x ln x = 1 x ln ( 10 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={\frac {d}{dx}}{\frac {\ln {x}}{\ln {10}}}={\frac {1}{\ln {10}}}{\frac {d}{dx}}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}} }}

Trigonometriset funktiot

Kosinusfunktio on sinifunktion derivaatta, kun taas kosinuksen derivaatta on negatiivinen sini (edellyttäen, että x mitataan radiaaneina):

d d x sin ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}}\sin(x)=\cos(x)}

d d x cos ( x ) = - sin ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}

d d x sec ( x ) = sec ( x ) tan ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)} .
 

Johdannaisten ominaisuudet

Johdannaiset voidaan jakaa pienempiin osiin, jos ne ovat hallittavissa (koska niillä on vain yksi edellä mainituista toiminnallisista ominaisuuksista). Esimerkiksi d d x ( 3 x 6 + x 2 - 6 ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(3x^{6}+x^{2}-6)} voidaan jakaa seuraavasti:

d d x ( 3 x 6 ) + d d x ( x 2 ) - d d x ( 6 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(3x^{6})+{\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {d}{dx}}(6)}

= 6 ⋅ 3 x 5 + 2 x - 0 {\displaystyle =6\cdot 3x^{5}+2x-0}

= 18 x 5 + 2 x {\displaystyle =18x^{5}+2x\,}
 

Johdannaisten käyttö

Funktion derivaatan avulla voidaan etsiä funktion maksimia ja minimejä etsimällä paikkoja, joissa funktion kaltevuus on nolla.

Derivaattoja käytetään Newtonin menetelmässä, joka auttaa löytämään funktion nollakohdat (juuret).Derivaattojen avulla voidaan myös määrittää funktion koveruus ja se, onko funktio kasvava vai laskeva.

Aiheeseen liittyvät sivut

• Erotusosamäärä
• Laskennan perusteoria
• Implisiittinen johdannainen
• Integroitu
• Osittaisderivaatta
• Toinen derivaatta