Neliöluku – määritelmä, esimerkit ja neliöjuuri

Neliöluku: selkeä määritelmä, konkreettiset esimerkit ja neliöjuuren selitys — opi tunnistamaan ja laskemaan neliölukuja helposti.

Tekijä: Leandro Alegsa

09-02-2026 20:22

Neliöluku (joskus kutsutaan myös täydelliseksi neliöksi) on kokonaisluvun tulos, kun luku kerrotaan itsellään. Esimerkiksi 1, 4, 9, 16 ja 25 ovat viisi ensimmäistä neliölukua. Kaavassa luvun n neliö merkitään $n 2$ (eksponentiaaliluku), yleensä luetaan "n neliö". Nimi "neliöluku" tulee geometrisesta tulkinnasta: luku kuvaa neliön pinta-alaa, jonka sivun pituus on kokonaisluku.

Neliöluvut ovat ei-negatiivisia. Toinen tapa sanoa, että (ei-negatiivinen) luku on neliöluku, on, että sen neliöjuuri on kokonaisluku. Esimerkiksi √9 = 3, joten 9 on neliöluku. Huomaa, että myös negatiivisen luvun neliö on sama positiivinen neliöluku (esim. (-3)² = 9), mutta neliölukuina käsitellään yleensä ei-negatiivisia arvoja kuten 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 ….

Perusesimerkkejä

0 = 0²
1 = 1²
4 = 2²
9 = 3²
16 = 4²
25 = 5²

Keskeiset ominaisuudet

Erojen muoto: Kahden peräkkäisen neliöluvun erotus on aina pariton luku: (n+1)² − n² = 2n + 1. Tästä seuraa, että ensimmäisten n parittoman luvun summa on n².
Alkioiden jako: Neliölukuja ovat n² kaikille kokonaisluvuille n; jos rajoitetaan n ei-negatiivisiin kokonaislukuihin, saadaan ei-negatiiviset neliöluvut.
Alkioiden tekijät: Kokonaisluku on täydellinen neliö täsmälleen silloin, kun sen alkutekijähajotelussa kaikkien alkutekijöiden eksponentit ovat parillisia.
Desimaalien loput: Kymmenkantaisessa esityksessä neliölukujen viimeinen numero voi olla vain 0, 1, 4, 5, 6 tai 9.
Modulo-ominaisuudet: Neliöluku modulo 4 on 0 tai 1; muuten tietyt kongruenssit estävät luvun olemasta neliö (esim. luvut ≡ 2 tai 3 (mod 4) eivät ole neliölukuja).

Tarkistuksia ja testejä

Neliöjuuri-testin avulla: Laske luvun neliöjuuri; jos se on kokonaisluku, alkuperäinen luku on neliöluku.
Alkuteoria-testillä: Hajota luku alkutekijöihin. Jos kaikkien alkutekijöiden eksponentit ovat parillisia, luku on täydellinen neliö.
Nopeita mod-tarkistuksia: Tarkista luvun loppuosa tai kongruenssi modulo 4, 8, 3 jne. Usein näillä voidaan nopeasti todeta, ettei luku ole neliö ilman täydellistä jakoa.

Geometrinen tulkinta ja sovellukset

Nimi ja käsite neliöluku tulee suorasta geometrisesta tulkinnasta: jos n on nollasta poikkeava kokonaisluku ja piirretään n × n ruudukko, ruutujen kokonaismäärä on n². Neliölukuja käytetään esimerkiksi Pythagoraan lauseen yhteydessä, pinta-alalaskuissa, kryptografiassa ja monissa kombinatorisissa kaavoissa.

Lisähuomautuksia

Erot peräkkäisten neliölukujen välillä muodostavat aritmeettisen jonon: 1, 3, 5, 7, … (eli kaikki parittomat luvut).
Monilla luvuilla on mielenkiintoisia esitystapoja neliöinä tai neliöiden summana; esimerkiksi Lagrangen neljän neliön lause kertoo, että jokainen ei-negatiivinen kokonaisluku voidaan esittää neljän neliön summana.

Esimerkkejä

Alle 70:tä neliötä pienemmät neliöt (OEIS:n sekvenssi A000290) ovat² :

0² =0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² =100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

60² = 3600

61² = 3721

62² = 3844

63² = 3969

64² = 4096

65² = 4225

66² = 4356

67² = 4489

68² = 4624

69² = 4761

Neliölukuja on äärettömän monta, kuten on äärettömän monta luonnollista lukua.

Ominaisuudet

Luku m on neliöluku, jos ja vain jos voidaan muodostaa neliö m:stä yhtä suuresta (pienemmästä) neliöstä:

m = 1² = 1
m = 2² = 4
m = 3² = 9
m = 4² = 16
m = 5² = 25
Huomautus: Ruutujen väliset valkoiset välit ovat vain visuaalisen hahmotettavuuden parantamiseksi. Varsinaisten ruutujen välillä ei saa olla aukkoja.

Neliön, jonka sivun pituus on n, pinta-ala on $n . 2$

N:nnen neliöluvun lauseke on n² . Tämä on myös yhtä suuri kuin n ensimmäisen parittoman luvun summa, kuten yllä olevista kuvista näkyy, joissa neliö syntyy edellisestä neliöstä lisäämällä pariton määrä pisteitä (magentalla). Kaava on seuraava:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).$

Esimerkiksi $52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.$

Nelikulmainen luku voi päättyä vain numeroihin 0, 1, 4, 6, 9 tai 25 perusluvussa 10 seuraavasti:

Jos luvun viimeinen numero on 0, sen neliö päättyy parilliseen määrään 0-lukuja (eli vähintään 00), ja päättyviä 0-lukuja edeltävien numeroiden on myös muodostettava neliö.
Jos luvun viimeinen numero on 1 tai 9, sen neliö päättyy 1:een, ja sitä edeltävien numeroiden muodostaman luvun on oltava jaollinen neljällä.
Jos luvun viimeinen numero on 2 tai 8, sen neliö päättyy 4:ään ja sitä edeltävän numeron on oltava parillinen.
Jos luvun viimeinen numero on 3 tai 7, sen neliö päättyy 9:ään, ja sitä edeltävien numeroiden muodostaman luvun on oltava jaollinen neljällä.
Jos luvun viimeinen numero on 4 tai 6, sen neliö päättyy 6:een ja sitä edeltävän numeron on oltava pariton.
Jos luvun viimeinen numero on 5, sen neliö päättyy 25:een ja sitä edeltävien numeroiden on oltava 0, 2, 06 tai 56.

Neliöluku ei voi olla täydellinen luku.

Kaikki neljännet, kuudennet, kahdeksannet ja niin edelleen ovat täydellisiä neliöitä.

Erityistapaukset

Jos luku on muotoa m5, jossa m edustaa edeltäviä numeroita, sen neliö on n25, jossa $n = m \times (m + 1)$ ja edustaa numeroita ennen 25:tä. Esimerkiksi luvun 65 neliö voidaan laskea seuraavasti: $n = 6 \times (6 + 1) = 42$ , jolloin neliö on 4225.
Jos luku on muotoa m0, jossa m edustaa edeltäviä numeroita, sen neliö on n00, jossa $n = m 2$ . Esimerkiksi luvun 70 neliö on 4900.
Jos luku on kaksinumeroinen ja muodoltaan 5m, jossa m edustaa yksikkönumeroa, sen neliö on AABB, jossa $AA = 25 + m$ ja $BB = m 2$ . Esimerkki: Lasketaan 57:n neliö, 25 + 7 = 32 ja 7² = 49, eli 57² = 3249.

Parittomat ja parilliset neliöluvut

Parillisten lukujen neliöt ovat parillisia (ja itse asiassa jaollisia 4:llä), koska $(2n) 2 = 4n 2$ .

Parittomien lukujen neliöt ovat parittomia, koska $(2n + 1) 2 = 4(n 2 + n) + 1.$

Tästä seuraa, että parillisten neliölukujen neliöjuuret ovat parillisia ja parittomien neliölukujen neliöjuuret ovat parittomia.

Koska kaikki parilliset neliöluvut ovat jaollisia 4:llä, parilliset luvut muodossa $4n + 2$ eivät ole neliölukuja.

Koska kaikki parittomat neliöluvut ovat muotoa $4n + 1$ , parittomat luvut muodossa $4n + 3$ eivät ole neliölukuja.

Parittomien lukujen neliöt ovat muotoa $8n + 1$ , koska $(2n + 1) 2 = 4n(n + 1) + 1$ ja $n (n + 1)$ on parillinen luku.

Etsiä