Siirry sisältöön
Etusivu

Neliöluku – määritelmä, esimerkit ja neliöjuuri

Neliöluku: selkeä määritelmä, konkreettiset esimerkit ja neliöjuuren selitys — opi tunnistamaan ja laskemaan neliölukuja helposti.

Tekijä: Luotu: Päivitetty:

Neliöluku (joskus kutsutaan myös täydelliseksi neliöksi) on kokonaisluvun tulos, kun luku kerrotaan itsellään. Esimerkiksi 1, 4, 9, 16 ja 25 ovat viisi ensimmäistä neliölukua. Kaavassa luvun n neliö merkitään n2 (eksponentiaaliluku), yleensä luetaan "n neliö". Nimi "neliöluku" tulee geometrisesta tulkinnasta: luku kuvaa neliön pinta-alaa, jonka sivun pituus on kokonaisluku.

Neliöluvut ovat ei-negatiivisia. Toinen tapa sanoa, että (ei-negatiivinen) luku on neliöluku, on, että sen neliöjuuri on kokonaisluku. Esimerkiksi √9 = 3, joten 9 on neliöluku. Huomaa, että myös negatiivisen luvun neliö on sama positiivinen neliöluku (esim. (-3)2 = 9), mutta neliölukuina käsitellään yleensä ei-negatiivisia arvoja kuten 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 ….

Kuvagalleria

3 Kuvat
Squares of 21 integers
en.wikipedia.org · CC0

Perusesimerkkejä

  • 0 = 02
  • 1 = 12
  • 4 = 22
  • 9 = 32
  • 16 = 42
  • 25 = 52

Keskeiset ominaisuudet

  • Erojen muoto: Kahden peräkkäisen neliöluvun erotus on aina pariton luku: (n+1)2 − n2 = 2n + 1. Tästä seuraa, että ensimmäisten n parittoman luvun summa on n2.
  • Alkioiden jako: Neliölukuja ovat n2 kaikille kokonaisluvuille n; jos rajoitetaan n ei-negatiivisiin kokonaislukuihin, saadaan ei-negatiiviset neliöluvut.
  • Alkioiden tekijät: Kokonaisluku on täydellinen neliö täsmälleen silloin, kun sen alkutekijähajotelussa kaikkien alkutekijöiden eksponentit ovat parillisia.
  • Desimaalien loput: Kymmenkantaisessa esityksessä neliölukujen viimeinen numero voi olla vain 0, 1, 4, 5, 6 tai 9.
  • Modulo-ominaisuudet: Neliöluku modulo 4 on 0 tai 1; muuten tietyt kongruenssit estävät luvun olemasta neliö (esim. luvut ≡ 2 tai 3 (mod 4) eivät ole neliölukuja).

Tarkistuksia ja testejä

  • Neliöjuuri-testin avulla: Laske luvun neliöjuuri; jos se on kokonaisluku, alkuperäinen luku on neliöluku.
  • Alkuteoria-testillä: Hajota luku alkutekijöihin. Jos kaikkien alkutekijöiden eksponentit ovat parillisia, luku on täydellinen neliö.
  • Nopeita mod-tarkistuksia: Tarkista luvun loppuosa tai kongruenssi modulo 4, 8, 3 jne. Usein näillä voidaan nopeasti todeta, ettei luku ole neliö ilman täydellistä jakoa.

Geometrinen tulkinta ja sovellukset

Nimi ja käsite neliöluku tulee suorasta geometrisesta tulkinnasta: jos n on nollasta poikkeava kokonaisluku ja piirretään n × n ruudukko, ruutujen kokonaismäärä on n2. Neliölukuja käytetään esimerkiksi Pythagoraan lauseen yhteydessä, pinta-alalaskuissa, kryptografiassa ja monissa kombinatorisissa kaavoissa.

Lisähuomautuksia

  • Erot peräkkäisten neliölukujen välillä muodostavat aritmeettisen jonon: 1, 3, 5, 7, … (eli kaikki parittomat luvut).
  • Monilla luvuilla on mielenkiintoisia esitystapoja neliöinä tai neliöiden summana; esimerkiksi Lagrangen neljän neliön lause kertoo, että jokainen ei-negatiivinen kokonaisluku voidaan esittää neljän neliön summana.

Esimerkkejä

Alle 70:tä neliötä pienemmät neliöt (OEIS:n sekvenssi A000290) ovat2 :

02 =0

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = 64

92 = 81

102 =100

112 = 121

122 = 144

132 = 169

142 = 196

152 = 225

162 = 256

172 = 289

182 = 324

192 = 361

202 = 400

212 = 441

222 = 484

232 = 529

242 = 576

252 = 625

262 = 676

272 = 729

282 = 784

292 = 841

302 = 900

312 = 961

322 = 1024

332 = 1089

342 = 1156

352 = 1225

362 = 1296

372 = 1369

382 = 1444

392 = 1521

402 = 1600

412 = 1681

422 = 1764

432 = 1849

442 = 1936

452 = 2025

462 = 2116

472 = 2209

482 = 2304

492 = 2401

502 = 2500

512 = 2601

522 = 2704

532 = 2809

542 = 2916

552 = 3025

562 = 3136

572 = 3249

582 = 3364

592 = 3481

602 = 3600

612 = 3721

622 = 3844

632 = 3969

642 = 4096

652 = 4225

662 = 4356

672 = 4489

682 = 4624

692 = 4761

Neliölukuja on äärettömän monta, kuten on äärettömän monta luonnollista lukua.

Ominaisuudet

Luku m on neliöluku, jos ja vain jos voidaan muodostaa neliö m:stä yhtä suuresta (pienemmästä) neliöstä:

m = 12 = 1

m = 22 = 4

m = 32 = 9

m = 42 = 16

m = 52 = 25

Huomautus: Ruutujen väliset valkoiset välit ovat vain visuaalisen hahmotettavuuden parantamiseksi.
Varsinaisten ruutujen välillä ei saa olla aukkoja.

Neliön, jonka sivun pituus on n, pinta-ala on n . 2

N:nnen neliöluvun lauseke on n2 . Tämä on myös yhtä suuri kuin n ensimmäisen parittoman luvun summa, kuten yllä olevista kuvista näkyy, joissa neliö syntyy edellisestä neliöstä lisäämällä pariton määrä pisteitä (magentalla). Kaava on seuraava:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1). } {\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}

Esimerkiksi 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Nelikulmainen luku voi päättyä vain numeroihin 0, 1, 4, 6, 9 tai 25 perusluvussa 10 seuraavasti:

  1. Jos luvun viimeinen numero on 0, sen neliö päättyy parilliseen määrään 0-lukuja (eli vähintään 00), ja päättyviä 0-lukuja edeltävien numeroiden on myös muodostettava neliö.
  2. Jos luvun viimeinen numero on 1 tai 9, sen neliö päättyy 1:een, ja sitä edeltävien numeroiden muodostaman luvun on oltava jaollinen neljällä.
  3. Jos luvun viimeinen numero on 2 tai 8, sen neliö päättyy 4:ään ja sitä edeltävän numeron on oltava parillinen.
  4. Jos luvun viimeinen numero on 3 tai 7, sen neliö päättyy 9:ään, ja sitä edeltävien numeroiden muodostaman luvun on oltava jaollinen neljällä.
  5. Jos luvun viimeinen numero on 4 tai 6, sen neliö päättyy 6:een ja sitä edeltävän numeron on oltava pariton.
  6. Jos luvun viimeinen numero on 5, sen neliö päättyy 25:een ja sitä edeltävien numeroiden on oltava 0, 2, 06 tai 56.

Neliöluku ei voi olla täydellinen luku.

Kaikki neljännet, kuudennet, kahdeksannet ja niin edelleen ovat täydellisiä neliöitä.

Erityistapaukset

  • Jos luku on muotoa m5, jossa m edustaa edeltäviä numeroita, sen neliö on n25, jossa n = m × (m + 1) ja edustaa numeroita ennen 25:tä. Esimerkiksi luvun 65 neliö voidaan laskea seuraavasti: n = 6 × (6 + 1) = 42, jolloin neliö on 4225.
  • Jos luku on muotoa m0, jossa m edustaa edeltäviä numeroita, sen neliö on n00, jossa n = m2 . Esimerkiksi luvun 70 neliö on 4900.
  • Jos luku on kaksinumeroinen ja muodoltaan 5m, jossa m edustaa yksikkönumeroa, sen neliö on AABB, jossa AA = 25 + m ja BB = m2 . Esimerkki: Lasketaan 57:n neliö, 25 + 7 = 32 ja 72 = 49, eli 572 = 3249.

Parittomat ja parilliset neliöluvut

Parillisten lukujen neliöt ovat parillisia (ja itse asiassa jaollisia 4:llä), koska (2n)2 = 4n2 .

Parittomien lukujen neliöt ovat parittomia, koska (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

Tästä seuraa, että parillisten neliölukujen neliöjuuret ovat parillisia ja parittomien neliölukujen neliöjuuret ovat parittomia.

Koska kaikki parilliset neliöluvut ovat jaollisia 4:llä, parilliset luvut muodossa 4n + 2 eivät ole neliölukuja.

Koska kaikki parittomat neliöluvut ovat muotoa 4n + 1, parittomat luvut muodossa 4n + 3 eivät ole neliölukuja.

Parittomien lukujen neliöt ovat muotoa 8n + 1, koska (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 ja n(n + 1) on parillinen luku.

Aiheeseen liittyvät artikkelit

Tekijä

AlegsaOnline.com Neliöluku – määritelmä, esimerkit ja neliöjuuri

URL: https://fi.alegsaonline.com/art/92934

Jaa