Principia Mathematica — Whitehead & Russell: logiikka, aksioomat ja vaikutus
Principia Mathematica: Whiteheadin ja Russellin monumentti logiikan ja aksioomien maailmaan — vaikutus matematiikkaan, filosofiaan ja Gödelin epätäydellisyyteen.
Isaac Newtonin fysiikan peruslait sisältävästä kirjasta, katso Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
Muistan Bertrand Russellin kertoneen minulle kauheasta unesta. Hän oli yliopiston kirjaston ylimmässä kerroksessa noin vuonna 2100 jKr. Kirjastoapulainen kiersi hyllyjä valtavan ämpärin kanssa, otti kirjoja pois, vilkaisi niitä, palautti ne hyllyille tai heitti ne ämpäriin. Lopulta hän tuli kolmen suuren niteen luo, jotka Russell tunnisti Principia Mathematican viimeiseksi säilyneeksi kappaleeksi. Hän otti yhden niteistä alas, käänsi muutaman sivun, näytti hetken hämmentyneeltä kummallisesta symboliikasta, sulki niteen, tasapainotti sitä kädessään ja epäröi.....
Hardy, G. H. (2004) [1940]. Matemaatikon anteeksipyyntö. Cambridge: University Press. s. 83. ISBN 978-0-521-42706-7.
Principia Mathematica on Alfred North Whiteheadin ja Bertrand Russellin kolmiosainen teos matematiikan perusteista. Se julkaistiin vuosina 1910, 1912 ja 1913. Vuonna 1927 siitä ilmestyi toinen painos, jossa on tärkeä Johdanto toiseen painokseen ja erilaisia huomautuksia lopussa. Se tunnetaan usein nimellä PM.
Mitä teoksella pyrittiin saavuttamaan
Kirjassa pyrittiin kuvaamaan joukko symbolisen logiikan aksioomeja ja päättelysääntöjä, joiden avulla kaikki matemaattiset totuudet voitaisiin periaatteessa todistaa. Tällä kunnianhimoisella hankkeella — jota kutsutaan usein logismin hankkeeksi — oli tavoite näyttää, että matematiikka voidaan perustaa pelkästään loogisiin periaatteisiin ja määritelmiin. Kirjoittajat uskoivat, että tällainen hanke voidaan toteuttaa ja että matemaattiset käsitteet voidaan dedusoida loogisista lähtökohdista.
Keskeiset ideat ja menetelmät
- Tyyppiteoria: Teoksen keskeinen piirre oli niin sanottu (ramified) tyyppiteoria, jonka Russell kehitti vastaamaan paradokseihin (esim. Russellin paradoksi), joita ilmeni alkuperäisessä naiiviissa joukko-opissa. Tyyppiteoria rajoittaa, millaisia lauseita ja kokoelmia voidaan muodostaa, estäen tiettyjä itseviittauksia.
- Teoria kuvauksista: Russell esitteli myös teorian kuvauksista (theory of descriptions) ratkaistakseen kielellisiä ongelmia ja esittääkseen kvanttorit ja määrittelyt tarkasti.
- Formaalinen deduktio: Teos etenee erittäin muodollisesti: määritelmät, aksioomat ja päättelysäännöt kirjoitetaan symbolisesti ja niistä johdetaan vaiheittain lauseita, jopa yksinkertaisimmat aritmetiikan väitteet. Tunnettu esimerkki on pyrkimys todistaa aritmetiikan peruslauseita, kuten "1+1=2", vaikka todistukset olivat laajempia ja teknisesti raskaampia kuin yleiskieliset todistukset.
Rakenne ja käsittelytavat
PM on laaja ja järjestelmällinen: se käsittelee loogisia perusrakenteita, suhteita ja määritelmiä, luokittelee lauseita eri tyyppeihin ja rakentaa vähitellen matematiikan rakennetta aina luonnollisista luvuista analyyttiseen matematiikkaan asti. Tekstin muoto on tiivis ja symbolipainotteinen, mikä teki siitä vaativan lukea mutta samalla erittäin esimerkillisen formaalin järjestelmän rakentamisen kannalta.
Taustavaikuttajat ja inspiraatio
Yksi PM:n tärkeimmistä innoittajista ja motiiveista oli Gottlob Fregen varhaisempi työ symbolisessa logiikassa ja matemaattisen analyysin perusteluissa. Myös Russellin oma työ paradoksien ja kuvauksien parissa vaikutti teoksen suuntaan.
Vastaanotto, vaikutus ja kritiikki
Teoksella oli ja on suuri vaikutus matematiikan, logiikan ja filosofian historiassa. Se vaikutti erityisesti akateemiseen keskusteluun matemaattisten perustusten luonteesta ja korosti formaalin päättelyn merkitystä. PM vaikutti myöhemmin loogisen positivismin ja analyyttisen filosofian kehitykseen sekä muodollisten järjestelmien tarkasteluun tietojenkäsittelytieteessä ja tyyppiteorioiden muodostumisessa.
Samaan aikaan teosta on kritisoitu sen monimutkaisuudesta ja raskaasta symbolisesta tyylistä. Useat kohtiin liittyvät tekniset valinnat, kuten ramified-tyyppiteorian monimutkaisuus, herättivät keskustelua siitä, oliko valittu ratkaisu paras mahdollinen tapa käsitellä paradokseja.
Gödel ja epätäydellisyys
Vuonna 1931 Kurt Gödelin epätäydellisyysteoreema muutti perustavanlaatuisesti käsitystä siitä, mitä muodollinen järjestelmä voi saavuttaa. Gödel osoitti, että missä tahansa riittävän voimakkaassa, konsistentissa ja formaalissa aksioomajärjestelmässä on lauseita, joita ei voida järjestelmän sisällä todistaa tai kumota. Tämä tarkoitti, että Whiteheadin ja Russellin tavoite — kaikki matemaattiset totuudet johtamaan määrätyistä loogisista aksioomista ja päättelysäännöistä — ei voinut toteutua niin täydellisesti kuin he olivat toivoneet. Lisäksi on aina mahdollista, että järjestelmä on epäjohdonmukainen, jos se yrittää todistaa liian paljon.
Perintö
Principia Mathematica jäi merkittäväksi virstanpylvääksi: se esitteli järjestelmällisen tavan kirjoittaa matematiikan perusrakenteita ja konkretisoi monia 1900-luvun loogisen ja filosofisen ajattelun teemoja. Vaikka sen päämäärä — täydellinen looginen perustelu kaikelle matematiikalle — todettiin saavuttamattomaksi Gödelin työn myötä, teoksen periaatteet, menetelmät ja monet yksityiskohtaiset oivallukset vaikuttivat voimakkaasti myöhempään tutkimukseen.
PM:ää ei pidä sekoittaa Russellin vuonna 1903 julkaistuun teokseen Principles of Mathematics. PM:ssä todetaan: "Tämän teoksen oli alun perin tarkoitus olla ... toinen osa Principles of Mathematics -teoksesta... Mutta kun etenimme, kävi yhä selvemmäksi, että aihe on hyvin paljon laajempi kuin olimme olettaneet...".
The Modern Library sijoitti sen 23. sijalle 1900-luvun sadan parhaan englanninkielisen tietokirjan luettelossa.
Principia Mathematican lyhennetyn version nimiölehti *56.
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mikä on Isaac Newtonin kirjan nimi?
A: Isaac Newtonin kirjan nimi on Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.
K: Kuka kirjoitti Principia Mathematican?
A: Principia Mathematican kirjoittivat Alfred North Whitehead ja Bertrand Russell.
K: Milloin Principia Mathematica julkaistiin?
V: Principia Mathematica julkaistiin vuosina 1910, 1912 ja 1913.
K: Mitä kirjoittajat uskoivat voivansa tehdä kirjalla?
V: Kirjoittajat uskoivat, että he voisivat kirjassa kuvata joukon aksioomeja, päättelysääntöjä ja ristiriidattomuuden lakia symbolisessa logiikassa, joista kaikki matemaattiset totuudet voitaisiin periaatteessa todistaa.
K: Miten Gödelin epätäydellisyysteoreema osoitti tämän tavoitteen mahdottomaksi?
V: Gödelin epätäydellisyysteoreema osoitti, että minkä tahansa ehdotetun aksioomien ja päättelysääntöjen joukon osalta joko järjestelmän on oltava epäjohdonmukainen tai on itse asiassa oltava joitakin matematiikan totuuksia, joita ei voida päätellä niistä. Näin ollen se osoitti, että tätä kunnianhimoista hanketta oli mahdotonta saavuttaa.
K: Kuka innoitti ja motivoi PM:ää?
V: PM:n innoittajana ja motivaattorina toimi Gottlob Fregen aiempi logiikkaa koskeva työ.
K: Miten PM eroaa Russellin vuonna 1903 ilmestyneestä teoksesta Principles of Mathematics?
V: PM eroaa Russellin vuonna 1903 ilmestyneestä Principles of Mathematics -teoksesta, koska PM:ssä todetaan: "Tämän teoksen oli alun perin tarkoitus olla ... toinen osa Principles of Mathematics -teoksesta...". Mutta kun etenimme, kävi yhä selvemmäksi, että aihe on hyvin paljon laajempi kuin olimme olettaneet...".
Etsiä