Gödelin epätäydellisyyslause
Gödelin epätäydellisyysteoreemit on nimi kahdelle teoreemalle (todelliset matemaattiset lausumat), jotka Kurt Gödel todisti vuonna 1931. Ne ovat matemaattisen logiikan teoreemoja.
Matemaatikot ajattelivat aikoinaan, että kaikelle totuudelle on matemaattinen todiste. Järjestelmää, jolla on tämä ominaisuus, kutsutaan täydelliseksi; järjestelmää, jolla ei ole, kutsutaan epätäydelliseksi. Matemaattisissa ideoissa ei myöskään saisi olla ristiriitoja. Tämä tarkoittaa sitä, että ne eivät saisi olla yhtä aikaa totta ja väärää. Järjestelmää, joka ei sisällä ristiriitoja, kutsutaan johdonmukaiseksi. Nämä järjestelmät perustuvat aksioomajoukkoihin. Aksioomat ovat väitteitä, jotka hyväksytään todeksi, eivätkä ne tarvitse todisteita.
Gödel sanoi, että jokainen ei-triviaali (mielenkiintoinen) formaali järjestelmä on joko epätäydellinen tai epäjohdonmukainen:
- Aina tulee olemaan kysymyksiä, joihin ei voida vastata käyttämällä tiettyjä aksioomia;
- Et voi todistaa, että aksioomajärjestelmä on johdonmukainen, ellet käytä erilaista aksioomien joukkoa.
Nämä lauseet ovat tärkeitä matemaatikoille, koska ne todistavat, että on mahdotonta luoda aksioomien joukkoa, joka selittäisi kaiken matematiikassa.
Joitakin aiheeseen liittyviä aiheita
Kysymyksiä ja vastauksia
Kysymys: Mitä ovat Gödelin epätäydellisyysteoreemit?
A: Gödelin epätäydellisyysteoreemit ovat kaksi todellista matemaattista lausetta, jotka Kurt Gödel todisti vuonna 1931 matemaattisen logiikan alalla.
K: Mikä on täydellinen järjestelmä matematiikassa?
A: Matematiikan täydellinen järjestelmä on järjestelmä, jolla on ominaisuus, että kaikelle totuudelle on matemaattinen todiste.
K: Mikä on epätäydellinen järjestelmä matematiikassa?
V: Epätäydellinen järjestelmä matematiikassa on järjestelmä, jolla ei ole sitä ominaisuutta, että kaikelle totuudelle on matemaattinen todiste.
K: Mikä on johdonmukainen järjestelmä matematiikassa?
V: Johdonmukainen järjestelmä matematiikassa on järjestelmä, joka ei sisällä ristiriitoja, eli matemaattiset ideat eivät saa olla yhtä aikaa totta ja epätotta.
K: Mitä ovat aksioomat matematiikassa?
V: Matematiikan aksioomat ovat väitteitä, jotka hyväksytään todeksi ja jotka eivät vaadi todisteita.
K: Mitä Gödel väitti jokaisesta ei-triviaalista formaalista järjestelmästä?
V: Gödel väitti, että jokainen ei-triviaali formaali järjestelmä on joko epätäydellinen tai epäjohdonmukainen.
K: Miksi Gödelin epätäydellisyysteoriat ovat tärkeitä matemaatikoille?
V: Gödelin epätäydellisyysteoreemit ovat tärkeitä matemaatikoille, koska ne todistavat, että on mahdotonta luoda aksioomien joukkoa, joka selittää kaiken matematiikassa.
