Samankaltaisuus geometriassa: määritelmä, ominaisuudet ja esimerkit

Selkeä opas samankaltaisuus geometriassa: määritelmä, keskeiset ominaisuudet ja käytännön esimerkit kolmioista, monikulmioista ja mittasuhteiden sovelluksista.

Samankaltaisuus on geometrinen käsite, joka tarkoittaa, että kaksi muotoa voidaan saada vastaamaan toisiaan vain muuttamalla kokoa (skaalaamalla) ja tarvittaessa kääntämällä tai peilaamalla. Tällöin muotojen vastaavat kulmat ovat yhtä suuria ja vastaavat sivut ovat verrannollisia. Samankaltaisten muotojen ei siis tarvitse olla samankokoisia. Esimerkiksi kaksi ympyrää, kaksi neliötä tai kaksi viivapätkää ovat aina samankaltaisia keskenään, koska niiden muoto ei muutu skaalaamalla.

Jos kuva F {\displaystyle F} on samanlainen kuin kuva F ′ {\displaystyle F'} , merkitään tätä yleensä F ∼ F ′ {\displaystyle F\sim F'} .

Määritelmä tarkemmin ja peruskäsitteet

Samankaltaisuudessa on keskeisiä käsitteitä:

• Vastaavat kulmat: Kulmat ovat yhtä suuret.
• Vastaavat sivut: Sivujen pituudet ovat verrannolliset eli niiden suhde on sama kaikilla vastaavilla sivuparien kohdalla. Tämä vakio suhdeluku on skaala- tai samankaltaisuuskerroin k.
• Suunta ja sijainti: Muotoja voidaan siirtää, kiertää tai peilata. Peilaus muuttaa orientaatiota (järjestyksen), mutta ei riko samankaltaisuutta.

Kolmiot ja samankaltaisuus

Kolmioilla on samankaltaisuuden kannalta erityisasema: kolmioiden samankaltaisuuden voi todistaa useammalla yksinkertaisella tavalla. Riittää, että täyttyy jokin seuraavista ehdoista:

• AA (kulma–kulma): Kaksi kulmaa yhtä suuret ⇒ kolmiot samankaltaiset.
• SAS (sivu–kulma–sivu): Kahden sivun suhde yhtä suuri ja niiden välinen kulma yhtä suuri ⇒ kolmiot samankaltaiset.
• SSS (sivu–sivu–sivu): Kolmen sivun pituudet ovat keskenään verrannolliset ⇒ kolmiot samankaltaiset.

Tämä tekee kolmioista erityisen hyödyllisiä samankaltaisuuden tutkimuksessa: toisissa monikulmioissa yleensä tarvitaan sekä kulmien yhdenmukaisuus että sivujen verrannollisuus.

Ominaisuuksia ja seurauksia

• Jos samanlaisilla kuvioilla vastaavien sivujen suhde on k (eli a′/a = b′/b = ... = k), niin niiden kehämittojen (perimeterien) suhde on myös k.
• Pinta-alat muuttuvat suhteessa k^2: jos alkuperäisen kuvion pinta-ala on A ja vastaavan kuvan pinta-ala A′, niin A′ = k^2 A.
• Kaikki suorat mittarit, kuten mediaanit, korkeusjanat ja sivujen keskipisteet, skaalaavat samalla k:lla.
• Vastaavat kulmat ovat täsmälleen samat, joten samankaltaisuus säilyttää kulmat mutta ei välttämättä etäisyyksiä.
• Samankaltaisuus on ekvivalenssirelaatio: se on refleksiivinen (jokainen muoto on samanlainen itsensä kanssa), symmetrinen (jos F on samanlainen kuin F′, niin F′ on samanlainen kuin F) ja transitiivinen (jos F ~ F′ ja F′ ~ F″, niin F ~ F″).

Samankaltaisuus vs. yhteneväisyys

Samankaltaisuus on läheisesti yhteydessä yhteneväisyyteen. Yhteneväisyydessä muodot ovat täsmälleen samat: niiden vastaavat sivut ja kulmat ovat likimain samat (eli suhde k = 1). Yhteneväisyyteen kuuluvat muunnokset ovat esimerkiksi kierto, peilaus ja siirto. Kaikki yhtenevät muodot ovat samankaltaisia, mutta kaikki samankaltaiset muodot eivät ole yhteneviä (koska niillä voi olla eri koko, k ≠ 1).

Samankaltaisuustasoitus ja muunnokset

Matemaattisesti samankaltaisuuden toteuttaa usein yhdistelmä skalauksia ja isometrioita (siirto, kierto, peilaus). Erityinen skalauksen muoto on homotetia (keskinen laajennus), jossa on olemassa homotetian keskus ja kerroin k ≠ 0. Jos k on positiivinen, orientaatio säilyy; jos k on negatiivinen, orientaatio vaihtuu (sisältää peilauksen).

Esimerkkejä

• Kolmiot, joiden sivut ovat 3, 4 ja 5 sekä 6, 8 ja 10 ovat samankaltaiset, koska kaikki vastaavien sivujen suhteet ovat 2 (k = 2). Kulmatkin ovat samat.
• Kaksi ympyrää, joiden säteet ovat r ja r′, ovat samankaltaisia kerroin k = r′/r avulla.
• Kaksi suorakulmiota ovat samankaltaisia vain, jos niiden sivujen suhde (leveys : korkeus) on sama kummassakin.

Käytännön huomioita

• Samankaltaisuutta käytetään usein mittauksissa ja mittakaavoissa: kartat ja pienoismallit ovat esimerkkejä samankaltaisuudesta, jossa mitat on skaalattu suhteessa todellisuuteen.
• Pinta-ala- ja tilavuuslaskelmissa on tärkeää muistaa, että pinta-alat skaalautuvat k^2 ja tilavuudet k^3, kun muotojen lineaariset mitat skaalataan k:lla.

Yhteenvetona: samankaltaisuus tarkoittaa muotojen kulmien tasa-arvoa ja sivujen verrannollisuutta. Kolmiot erottuvat sillä, että niiden samankaltaisuus voidaan usein todistaa vähimmäismäärällä tietoa (esim. AA), kun taas monikulmioissa tarvitaan yleensä sekä kulmien että sivujen suhteiden vertailua.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mitä on samankaltaisuus?

K: Mistä tiedät, ovatko kaksi muotoa samankaltaisia?

K: Ovatko kaikki monikulmiot toistensa kaltaisia?

K: Miten samankaltaisuus vertautuu kongruenssiin?

Kysymys: Ovatko ympyrät aina samankaltaisia?

Hae kirjaimella