Perusluku (lukujärjestelmä) — määritelmä ja esimerkit
Perusluvut ja lukujärjestelmät selitettynä: määritelmä, desimaali- ja kantaesimerkit sekä numeron lukeminen eri kantaluvuissa.
Matematiikassa perusluku tai radiksi on eri numeroiden tai numeroiden ja kirjainten yhdistelmien määrä, jota paikkakantainen laskentajärjestelmä käyttää lukujen esittämiseen. Yleisin arkipäiväinen esimerkki on desimaalijärjestelmä, jonka etuliite dec viittaa kymmeneen: siinä käytetään kymmenen erilaista merkkiä 0:sta 9:ään. Usein mainitaan, että desimaali on yleinen, koska ihmisillä on kymmenen sormea.
Mitä perusluku tarkoittaa käytännössä
Perusluvulla b tarkoitetaan merkkien (tai numeroiden) määrää, joita järjestelmä käyttää. Tasaisessa paikkakannassa sallittu merkistö on yleensä {0, 1, 2, …, b−1}. Esimerkiksi jos b = 10, sallitut merkit ovat 0–9; jos b = 2 (kaksoisjärjestelmä), merkit ovat 0 ja 1. Perusluku on tavallisesti kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1, mutta matemaattisesti voidaan käsitellä myös muita vaihtoehtoja (esim. negatiiviset ja ei-kokonaislukuperustat — ks. alla).
Sijaisarvo ja paikkajärjestelmä
Paikkajärjestelmässä luvun arvo muodostuu merkkien painotettuna summana eri paikoissa. Jos lukua esitetään merkkijonona d_n d_{n−1} … d_1 d_0 perusluvussa b, sen arvo desimaalina on
arvo = d_n·b^n + d_{n−1}·b^{n−1} + … + d_1·b + d_0.
Esimerkkejä
- Binääri (b = 2): 1011₂ = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2 + 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 desimaalina.
- Oktaali (b = 8): 23 8 {\displaystyle 23_{8}}
tarkoittaa 2·8 + 3 = 19 desimaalissa. - Desimaali (b = 10): 274₁₀ = 2·100 + 7·10 + 4 = 274.
- Hexadesimaali (b = 16): 7A₁₆ = 7·16 + 10 = 122₁₀ (tässä A = 10, B = 11, …, F = 15).
Usein käytetyt perusluvut ja nimet
- Binäärinen (b = 2) — tietokoneissa perusta, koska käytetään kahta tilaa (0/1).
- Oktaali (b = 8) — käytettiin aiemmin joissakin tietojärjestelmissä ja ohjelmointikielissä.
- Desimaalinen (b = 10) — yleisin ihmisten arjessa.
- Hexadesimaalinen (b = 16) — yleinen ohjelmoinnissa, koska yksi heksamerkki vastaa neljää binääritasoa.
- Seksagesimaali (b = 60) — historiallinen järjestelmä, jonka jäänteitä ovat kulma- ja aika-asteikkojen minuuttien ja sekuntien jako.
Erikoistapaukset ja laajennukset
- Negatiiviset perustat: esimerkiksi negabinaari (b = −2) sallii esittää kokonaisluvut ilman erillistä miinusmerkkiä.
- Kompleksiperustat: on olemassa esityksiä, joissa perus on kompleksiluku (esim. imaginaarinen perusta), joilla saadaan mielenkiintoisia esityksiä ilman erillisiä etumerkkejä.
- Ei-kokonaislukuperustat: niin kutsutut β-esitykset (beta-expansions) käyttävät perusarvona reaalilukua b > 1, esimerkiksi kultaisen leikkauksen liittyvä "phi-järjestelmä" (perus φ ≈ 1,618…). Nämä ovat teoriaa ja niillä on omia erityispiirteitä.
- Merkistöjen laajentaminen: perusluvuille > 10 käytetään usein kirjaimia lisämerkeiksi (esim. heksassa A–F). Jos perus on suurempi kuin 36, tarvitaan muita symboleja tai useamman merkin yhdistelmiä merkin kuvaamiseen.
Kirjoitustavat ja merkintätavat
Yleisiä tapoja merkitä perus on kirjoittaa luku perusluvun alapuolelle pienellä indeksillä, esimerkiksi 1011₂ tai 7A₁₆. Myös muoto "lukuarvo (base b)" tai etuliitteitä voidaan käyttää dokumentaatiossa. Tietotekniikassa käytetään usein etuliitteitä kuten 0b1010 (binääri), 0o23 (oktaali) ja 0x7A (heksa), mutta nämä konventiot riippuvat ohjelmointiympäristöstä.
Miksi perusluku on tärkeä
Perusluku määrää, miten lukuja käsitellään ja miten helposti ne muunnetaan eri esitysten välillä. Erityisesti tietotekniikassa perusluvut vaikuttavat muistin ja bittitason operaatioiden tehokkuuteen, kun taas historiallisesti eri kulttuurit ovat soveltaneet erilaisia peruslukuja aritmetiikka- ja mittajärjestelmiin.
Lisätietoja saa tutkimalla eri numerojärjestelmiä (kuten binäärinen, oktaali, desimaalinen, heksadesimaali), historiallisen seksagesimaali-järjestelmän perintöä kulma- ja aika-asteikkoihin sekä laajennuksia negatiivisiin ja ei-kokonaislukuperusteisiin esityksiin.
Tietokoneissa
Tietokoneissa käytetään usein erilaisia emäksiä. Binäärilukua (perusta 2) käytetään, koska yksinkertaisimmillaan tietokoneet pystyvät käsittelemään vain nollia ja ykkösiä. Heksadesimaalilukua (16) käytetään, koska tietokoneet ryhmittelevät binääriluvut yhteen. Jokainen neljä binäärinumeroa muuttuu yhdeksi heksadesimaaliluvuksi, kun niiden välillä vaihdetaan. Koska heksadesimaaliluvuissa on yli 10 numeroa, 9:n jälkeiset kuusi numeroa näytetään nimillä A, B, C, D, E ja F.
Mittaus
Vanhimmissa laskentajärjestelmissä käytettiin ykköstä. Merkkien tekeminen seinään käyttäen yhtä merkkiä kutakin laskettavaa kohdetta kohti on esimerkki yksikäsitteisestä laskutavasta. Joissakin vanhoissa mittausjärjestelmissä käytetään duodekimaalista radiksia (perusta kaksitoista). Englannin kielessä tämä näkyy sanoina kuten tusina (12) ja brutto (144 = 12×12) sekä pituuksina kuten jalka (12 tuumaa).
Kirjoitusperustat
Kun kirjoitat peruslukua, peruslukua osoittava pieni luku on yleensä kymmenluku. Tämä johtuu siitä, että jos radiksi kirjoitettaisiin omassa perusluvussaan, se olisi aina "10", joten ei olisi mahdollista tietää, missä perusluvussa sen pitäisi olla.
Luvut eri emäksissä
Seuraavassa on joitakin esimerkkejä siitä, miten jotkin luvut kirjoitetaan eri perusteilla verrattuna desimaalilukuihin:
| Desimaaliluku (pohja 10) | Binääri (pohja 2) | Undecimal (Base 11) | Heksadesimaalinen (pohja 16) | Senary (pohja 6) | Unaarinen (pohja 1) |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 | 2 | 11 |
| 3 | 11 | 3 | 3 | 3 | 111 |
| 4 | 100 | 4 | 4 | 4 | 1111 |
| 5 | 101 | 5 | 5 | 5 | 11111 |
| 6 | 110 | 6 | 6 | 10 | 111111 |
| 7 | 111 | 7 | 7 | 11 | 1111111 |
| 8 | 1000 | 8 | 8 | 12 | 11111111 |
| 9 | 1001 | 9 | 9 | 13 | 111111111 |
| 10 | 1010 | A | A | 14 | 1111111111 |
| 11 | 1011 | 10 | B | 15 | 11111111111 |
| 12 | 1100 | 11 | C | 20 | 111111111111 |
| 13 | 1101 | 12 | D | 21 | 1111111111111 |
| 14 | 1110 | 13 | E | 22 | 11111111111111 |
| 15 | 1111 | 14 | F | 23 | 111111111111111 |
| 16 | 10000 | 15 | 10 | 24 | 1111111111111111 |
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on matematiikan perusta tai radix?
A: Perus tai radiksi on eri numeroiden tai numeroiden ja kirjainten yhdistelmien lukumäärä, jota laskentajärjestelmä käyttää lukujen esittämiseen.
K: Mikä on esimerkki nykyisin käytetyimmästä emäksestä?
V: Yleisin nykyisin käytetty peruslukujärjestelmä on desimaalijärjestelmä.
K: Miksi käytetään useimmiten emästä 10?
V: Useimmat luulevat, että käytetään emästä 10, koska meillä on 10 sormea.
K: Onko emäs aina kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1?
V: Kyllä, emäs on yleensä kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1.
K: Voivatko muut kuin kokonaislukujen emäkset olla matemaattisesti mahdollisia?
V: Kyllä, myös muut kuin kokonaisluvut ovat matemaattisesti mahdollisia.
K: Miten luvun emäs merkitään?
V: Luvun perusta voidaan kirjoittaa luvun viereen.
K: Mitä tarkoittaa esimerkki "23 8"?
V: Esimerkki "23 8" tarkoittaa 23:aa emäksessä 8 (joka on yhtä suuri kuin 19 emäksessä 10).
Etsiä