Matematiikassa perusluku tai radiksi on eri numeroiden tai numeroiden ja kirjainten yhdistelmien määrä, jota paikkakantainen laskentajärjestelmä käyttää lukujen esittämiseen. Yleisin arkipäiväinen esimerkki on desimaalijärjestelmä, jonka etuliite dec viittaa kymmeneen: siinä käytetään kymmenen erilaista merkkiä 0:sta 9:ään. Usein mainitaan, että desimaali on yleinen, koska ihmisillä on kymmenen sormea.

Mitä perusluku tarkoittaa käytännössä

Perusluvulla b tarkoitetaan merkkien (tai numeroiden) määrää, joita järjestelmä käyttää. Tasaisessa paikkakannassa sallittu merkistö on yleensä {0, 1, 2, …, b−1}. Esimerkiksi jos b = 10, sallitut merkit ovat 0–9; jos b = 2 (kaksoisjärjestelmä), merkit ovat 0 ja 1. Perusluku on tavallisesti kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1, mutta matemaattisesti voidaan käsitellä myös muita vaihtoehtoja (esim. negatiiviset ja ei-kokonaislukuperustat — ks. alla).

Sijaisarvo ja paikkajärjestelmä

Paikkajärjestelmässä luvun arvo muodostuu merkkien painotettuna summana eri paikoissa. Jos lukua esitetään merkkijonona d_n d_{n−1} … d_1 d_0 perusluvussa b, sen arvo desimaalina on

arvo = d_n·b^n + d_{n−1}·b^{n−1} + … + d_1·b + d_0.

Esimerkkejä

  • Binääri (b = 2): 1011₂ = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2 + 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 desimaalina.
  • Oktaali (b = 8): 23 8 {\displaystyle 23_{8}}{\displaystyle 23_{8}} tarkoittaa 2·8 + 3 = 19 desimaalissa.
  • Desimaali (b = 10): 274₁₀ = 2·100 + 7·10 + 4 = 274.
  • Hexadesimaali (b = 16): 7A₁₆ = 7·16 + 10 = 122₁₀ (tässä A = 10, B = 11, …, F = 15).

Usein käytetyt perusluvut ja nimet

  • Binäärinen (b = 2) — tietokoneissa perusta, koska käytetään kahta tilaa (0/1).
  • Oktaali (b = 8) — käytettiin aiemmin joissakin tietojärjestelmissä ja ohjelmointikielissä.
  • Desimaalinen (b = 10) — yleisin ihmisten arjessa.
  • Hexadesimaalinen (b = 16) — yleinen ohjelmoinnissa, koska yksi heksamerkki vastaa neljää binääritasoa.
  • Seksagesimaali (b = 60) — historiallinen järjestelmä, jonka jäänteitä ovat kulma- ja aika-asteikkojen minuuttien ja sekuntien jako.

Erikoistapaukset ja laajennukset

  • Negatiiviset perustat: esimerkiksi negabinaari (b = −2) sallii esittää kokonaisluvut ilman erillistä miinusmerkkiä.
  • Kompleksiperustat: on olemassa esityksiä, joissa perus on kompleksiluku (esim. imaginaarinen perusta), joilla saadaan mielenkiintoisia esityksiä ilman erillisiä etumerkkejä.
  • Ei-kokonaislukuperustat: niin kutsutut β-esitykset (beta-expansions) käyttävät perusarvona reaalilukua b > 1, esimerkiksi kultaisen leikkauksen liittyvä "phi-järjestelmä" (perus φ ≈ 1,618…). Nämä ovat teoriaa ja niillä on omia erityispiirteitä.
  • Merkistöjen laajentaminen: perusluvuille > 10 käytetään usein kirjaimia lisämerkeiksi (esim. heksassa A–F). Jos perus on suurempi kuin 36, tarvitaan muita symboleja tai useamman merkin yhdistelmiä merkin kuvaamiseen.

Kirjoitustavat ja merkintätavat

Yleisiä tapoja merkitä perus on kirjoittaa luku perusluvun alapuolelle pienellä indeksillä, esimerkiksi 1011₂ tai 7A₁₆. Myös muoto "lukuarvo (base b)" tai etuliitteitä voidaan käyttää dokumentaatiossa. Tietotekniikassa käytetään usein etuliitteitä kuten 0b1010 (binääri), 0o23 (oktaali) ja 0x7A (heksa), mutta nämä konventiot riippuvat ohjelmointiympäristöstä.

Miksi perusluku on tärkeä

Perusluku määrää, miten lukuja käsitellään ja miten helposti ne muunnetaan eri esitysten välillä. Erityisesti tietotekniikassa perusluvut vaikuttavat muistin ja bittitason operaatioiden tehokkuuteen, kun taas historiallisesti eri kulttuurit ovat soveltaneet erilaisia peruslukuja aritmetiikka- ja mittajärjestelmiin.

Lisätietoja saa tutkimalla eri numerojärjestelmiä (kuten binäärinen, oktaali, desimaalinen, heksadesimaali), historiallisen seksagesimaali-järjestelmän perintöä kulma- ja aika-asteikkoihin sekä laajennuksia negatiivisiin ja ei-kokonaislukuperusteisiin esityksiin.