Duodekimaalijärjestelmä (base-12, tusinajärjestelmä): määritelmä ja esimerkit

Duodekimaalijärjestelmä (tunnetaan myös nimellä base 12, dozenal tai harvoin uncial) on lukujärjestelmä, jonka pohja on kaksitoista. Duodekimaalijärjestelmässä suuret luvut ilmaistaan 12:n ryhmillä. Esimerkiksi luku viisikymmentä (joka tavallisesti kirjoitetaan 50:ksi) kirjoitettaisiin tusinamääräjärjestelmässä 42:ksi, koska se on yhtä suuri kuin 4×12+2.

Mitä merkintä tarkoittaa käytännössä

Järjestelmän periaate on sama kuin desimaalissa, mutta perusyksikkö on 12 eikä 10. Tarvitaan siis kaksitoista eri numeromerkkiä. Yleisimmin käytetty merkintätapa on kirjoittaa numerot 0–9 ja sitten kaksi lisämerkkiä kymmenelle ja yhdelletoista: esimerkiksi A = 10 ja B = 11. Näin lukujono duodekimaalissa alkaa 0, 1, 2, ..., 9, A, B, 10, 11, 12, ...

Konversio desimaalista duodekimaaliin

Luvun muuntaminen desimaalista duodekimaaliin tapahtuu jakamalla luku 12:lla ja ottamalla jakojäännökset peräkkäin (vähiten merkittävästä numerosta alkaen). Esimerkiksi:

50 (kymmenjärjestelmä): 50 ÷ 12 = 4, jäännös 2 → lukua täydentäen saadaan 42₁₂ (eli 4×12 + 2 = 50).
100 (kymmenjärjestelmä): 100 ÷ 12 = 8, jäännös 4 → 84₁₂ (eli 8×12 + 4 = 100).

Murtoluvuista ja jaollisuudesta

12 on pienin luku, jolla on neljä eri tekijää (1, 2, 3, 4, 6, 12; paitsi ykkönen). Tekijöihin perustuva etu näkyy murtoluvuissa: koska 12 = 2^2 × 3, kaikki murtoluvut, joiden nimittäjä jakautuu vain tekijöihin 2 ja/tai 3 (esim. 2, 3, 4, 6), saavat duodekimaalisessa muodossa päättyvän (finitem) esityksen.

Esimerkkejä yksinkertaisista murtoluvuista duodekimaalissa:

1/2 = 0.6₁₂ (koska 6/12 = 1/2)
1/3 = 0.4₁₂ (koska 4/12 = 1/3)
1/4 = 0.3₁₂
1/6 = 0.2₁₂

Vastaavasti murtoluvut, joiden nimittäjä sisältää esimerkiksi 5, eivät saa päättyvää esitystä duodekimaaliin (samoin kuin desimaalijärjestelmässä luvut, joiden nimittäjä sisältää muun kuin 2 tai 5, eivät päätyvää desimaaliesitystä saa). Tästä seuraa usein väite, että desimaalijärjestelmä ei ole yhtä "kätevä" tiettyjen murtolukujen kuvauksessa kuin duodekimaalijärjestelmä — tosin sama pätee toisinpäin murtolukuihin, joiden nimittäjässä on tekijänä 5.

Edut ja haitat

Edut: Parempi jakautuvuus pienillä tekijöillä (2, 3, 4, 6) tekee monet arkipäiväiset murtoluvut helpommiksi käsitellä ja antaa lyhyempiä esityksiä tietyille jakolaskuille.
Haitat: Inhimillinen tottumus kymmeneen sormeen tekee desimaalin luonnollisemmaksi useimmille ihmisille. Duodekimaalissa tarvitaan myös kaksi lisämerkkiä, mikä vaatii opettelua ja standardisointia.

Historia ja käytännön esimerkkejä

Duodekaalisten ilmiöiden jälkiä löytyy monista kulttuureista: esimerkiksi kuukaudet vuodessa (12), tuntien lukumäärä kellojen 12-tunnin numeroinnissa ja yksiköt kuten tuuma ja jalka (12 tuumaa yhdessä jalassa) ovat perinteisesti liittäneet lukua 12 arkipäivän mittayksiköihin. Myös termit kuten "tusina" ja "gross" (12^2 = 144) muistuttavat duodekimaalin käytöstä kaupassa ja käsityössä.

Pienryhmät ja osa tutkijoista ovat esittäneet järjestelmän laajempaa käyttöä (tusinajärjestelmä) sen jaollisuusetujen vuoksi, mutta laajamittaista siirtymää desimaalista ei ole tapahtunut.

Yhteenveto

Duodekimaalijärjestelmä on yhtenäinen, toimiva vaihtoehto desimaalille, jossa peruspohja on 12. Se tarjoaa etuja erityisesti murtoluvuissa, joiden nimittäjällä on tekijänä 2 tai 3, mutta vaatii uusia merkkejä ja tottumusta. Perusteet muuntamiseen ja laskemiseen ovat samankaltaiset kuin muissakin paikka-arvojärjestelmissä: luvun arvo muodostuu paikkojen kertoimista, jotka ovat kertoimia potenssille 12.

Miten esittää 10 ja 11 duodecimalleina

Duodecimal-järjestelmässä ei ole numerosymboleja, jotka edustaisivat 10:tä ja 11:tä, joten käytetään englantilaisista aakkosista peräisin olevia kirjaimia, erityisesti X (roomalaisesta numerosta, joka tarkoittaa kymmentä) ja E (yhdentoista alkukirjaimesta). Jotkut käyttävät myös A:ta ja B:tä (kuten heksadesimaalissa).

Edna Kramer käytti vuonna 1951 ilmestyneessä kirjassaan The Main Stream of Mathematics *- ja #-merkkejä desimaaliluvuille 10 ja 11. Symbolit valittiin, koska ne ovat saatavilla kirjoituskoneissa ja painonappipuhelimissa.

Tässä artikkelissa käytetään merkintöjä "X" ja "E" desimaaliluvuille 10 ja 11.

Duodecimaaliarvot

Desimaaliluku	Duodecimal
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	X
11	E
12	10
13	11
50	42
60	50
100	84
144	100
500	358
720	500
1000	6E4
1728	1000

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on duodecimal-järjestelmä?

A: Duodekimaalijärjestelmä on lukujärjestelmä, jonka perusta on kaksitoista.

K: Miten suuret luvut ilmaistaan duodekimaalijärjestelmässä?

V: Suuret luvut ilmaistaan duodekimaalijärjestelmässä 12:n ryhmillä.

K: Mikä on kymmenluvun 50 duodekimaalinen vastine?

V: Luvun 50 duodekimaalinen vastine on 42.

K: Miksi 12:ta pidetään tärkeänä lukuna duodekimaalijärjestelmässä?

V: 12 on tärkeä luku duodekimaalijärjestelmässä, koska se on pienin luku, jolla on neljä tekijää: 2, 3, 4 ja 6.

K: Mitä saadaan, kun 10 ja 12 jaetaan kolmella duodekimaalijärjestelmässä?

V: Kun 10 jaetaan 3:lla duodekimaalijärjestelmässä, saadaan tulokseksi 3,333... ja kun 12 jaetaan 3:lla, saadaan tulokseksi 4.

K: Voiko duodekimaalijärjestelmä hallita murtolukuja paremmin kuin desimaalijärjestelmä?

V: Ei, duodekimaalijärjestelmä ei pysty hallitsemaan murtolukuja paremmin kuin desimaalijärjestelmä.

K: Mitä saadaan jakamalla 6 ja 5 luvulla 3 duodekimaalijärjestelmässä?

V: Kun 6 jaetaan 3:lla duodekimaalijärjestelmässä, tulos on 1,666... ja kun 5 jaetaan 3:lla, tulos on 2. Kun 5 jaetaan 2:lla duodekimaalijärjestelmässä, tulos on 2,4.