Täydellinen luku – määritelmä ja esimerkit (6, 28, 496, 8128)

Eukleidi havaitsi, että neljä ensimmäistä täydellistä lukua saadaan kaavalla 2^n-1 (2ⁿ - 1):

jos n = 2: 2¹ (2² - 1) = 6.

n = 3: 2² (2³ - 1) = 28.

n = 5: 2⁴ (2⁵ - 1) = 496.

n = 7: 2⁶ (2⁷ - 1) = 8128.

Eukleidi näki, että 2ⁿ - 1 on alkuluku näissä neljässä tapauksessa. Tämän jälkeen hän todisti, että kaava 2^n-1 (2ⁿ - 1) antaa parillisen täydellisen luvun aina, kun 2ⁿ - 1 on alkuluku (Eukleideen lause IX.36).

Muinaiset matemaatikot tekivät monia oletuksia täydellisistä luvuista niiden neljän perusteella, jotka he tunsivat. Useimmat oletukset olivat vääriä. Yksi näistä olettamuksista oli, että koska 2, 3, 5 ja 7 ovat täsmälleen neljä ensimmäistä alkulukua, viides täydellinen luku saataisiin, kun n = 11, viides alkuluku. Kuitenkin 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 ei ole alkuluku, joten n = 11 ei anna täydellistä lukua. Kaksi muuta väärää oletusta olivat:

• Viidennessä täydellisessä luvussa olisi viisi numeroa, koska neljässä ensimmäisessä luvussa oli vastaavasti 1, 2, 3 ja 4 numeroa.
• Täydelliset numerot päättyisivät vuorotellen 6:een tai 8:aan.

Viidennessä täydellisessä luvussa ( 33550336 = 2 12 ( 2 13 - 1 ) {\displaystyle 33550336=2^{{12}(2^{13}-1)} ) on 8 numeroa. Tämä kumoaa ensimmäisen oletuksen. Toisen oletuksen osalta viides täydellinen luku päättyy todellakin 6:een. Kuudes (8 589 869 056) päättyy kuitenkin myös 6:een. On helppo osoittaa, että minkä tahansa parillisen täydellisen luvun viimeisen numeron on oltava 6 tai 8. Tämän jälkeen on helppo osoittaa, että viimeisen numeron on oltava 6 tai 8.

Jotta 2 n - 1 {\displaystyle 2^{n}-1} olisi alkuluku, on välttämätöntä, että n {\displaystyle n} on alkuluku. Muotoa 2ⁿ - 1 olevia alkulukuja kutsutaan Mersennen alkuluvuiksi 1600-luvun munkki Marin Mersennen mukaan, joka tutki lukuteoriaa ja täydellisiä lukuja.

Kaksi vuosituhatta Eukleideen jälkeen Euler osoitti, että kaavalla 2^n-1 (2ⁿ - 1) saadaan kaikki parilliset täydelliset luvut. Näin ollen jokainen Mersennen alkuluku tuottaa tietyn parillisen täydellisen luvun - parillisten täydellisten lukujen ja Mersennen alkulukujen välillä on konkreettinen yksi-yhteen-yhteys. Tähän tulokseen viitataan usein nimellä "Euklid-Eulerin lause". Tammikuuhun 2013 asti tunnetaan vain 48 Mersennen alkulukua. Tämä tarkoittaa, että tunnetaan 48 täydellistä lukua, joista suurin on 2^57,885,160 × (2^57,885,161 - 1), jossa on 34 850 340 numeroa.

Ensimmäiset 42 parillista täydellistä lukua ovat 2^n-1 (2ⁿ - 1), sillä

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951 (jakso A000043 OEIS:ssa).

Muut seitsemän tunnettua ovat n = 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281. Tällä hetkellä ei tiedetä, onko näiden välissä muitakin.

Vielä ei tiedetä, onko Mersennen alkulukuja ja täydellisiä lukuja äärettömän monta. Uusien Mersennen alkulukujen etsiminen on GIMPS-hajautetun tietojenkäsittelyprojektin tavoite.

Koska kaikki parilliset täydelliset luvut ovat muotoa 2^n-1 (2ⁿ - 1), ne ovat kolmionmuotoisia lukuja, ja kuten kaikki kolmionmuotoiset luvut, ne ovat kaikkien luonnollisten lukujen summa tiettyyn pisteeseen asti; tässä tapauksessa: 2ⁿ - 1. Lisäksi kaikki parilliset täydelliset luvut ensimmäistä lukuun ottamatta ovat ensimmäisten 2^(n-1)/2 parittoman kuution summa:

6 = 2 1 ( 2 2 - 1 ) = 1 + 2 + 3 , {\displaystyle 6=2^{1}(2^{2}-1)=1+2+3,\,}

28 = 2 2 ( 2 3 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 3 + 3 3 3 , {\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\,}

496 = 2 4 ( 2 5 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 29 + 30 + 31 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 , {\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1+2+3+\cdots +29+30+31=1^{3}+3^{3}+5^{3}+5^{3}+7^{3},\,}

8128 = 2 6 ( 2 7 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 125 + 126 + 127 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 . {\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1+2+3+\cdots +125+126+127=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.\,}

33550336 = 2 1 3 ( 2 1 4 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 8188 + 8189 + 8190 + 8191 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + ⋯ + 4089 3 + 4091 3 + 4095 3 . {\displaystyle 33550336=2^{1}3(2^{1}4-1)=1+2+3+4+\cdots +8188+8189+8190+8191=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+\cdots +4089^{3}+4091^{3}+4095^{3}. }  

Ei tiedetä, onko olemassa parittomia täydellisiä lukuja. Erilaisia tuloksia on saatu, mutta mikään niistä ei ole auttanut löytämään sellaista tai muuten ratkaisemaan kysymystä niiden olemassaolosta. Carl Pomerance on esittänyt heuristisen argumentin, jonka mukaan parittomia täydellisiä lukuja ei ole olemassa[1].[2] On myös arveltu, että parittomia Oren harmonisia lukuja ei ole olemassa. Jos tämä pitää paikkansa, tämä tarkoittaisi, että parittomia täydellisiä lukuja ei ole olemassa.

Minkä tahansa parittoman täydellisen luvun N on täytettävä seuraavat ehdot:

• N > 10³⁰⁰ . On todennäköistä, että lähitulevaisuudessa todistetaan, että N > 10⁵⁰⁰ . [2].
• N on muotoa

N = q α α p 1 2 e 1 ... p k 2 e k , {\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},}

missä:

·         q, p₁ , ..., p_k ovat eri alkulukuja.

·         q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler).

Todiste

Olkoon n = p 0 e 0 p 1 e 1 . . . . p r e r {\displaystyle n=p_{0}^{e_{0}}p_{1}^{e_{1}}...p_{r}^{e_{r}}} pariton täydellinen luku. Koska jakajafunktio on multiplikatiivinen, 2 n = σ ( n ) = σ ( p 0 e 0 ) σ ( p 1 e 1 ) . . σ ( p r k r ) {\displaystyle 2n=\sigma (n)=\sigma (p_{0}^{e_{0}})\sigma (p_{1}^{e_{1}})...\sigma (p_{r}^{k_{r}})} .

σ ( p 0 e 0 ) {\displaystyle \sigma (p_{0}^{e_{0}})} on oltava parillinen, joka ei ole jaollinen 4:llä, ja kaikkien muiden on oltava parittomia.

σ ( p 0 e 0 ) ≡ e 0 + 1 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (p_{0}^{e_{0}})\equiv e_{0}+1{\pmod {4}}} voimat e 0 ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle e_{0}\equiv 1{\pmod {4}}} .

• Joko q^α > 10²⁰ tai p j 2 e j {\displaystyle p_{j}^{2e_{j}}}} > 10²⁰ jonkin j:n osalta (Cohen 1987).
• N < 2 4 k {\displaystyle 2^{4^{k}}} (Nielsen 2003).
• Suhde e 1 {\displaystyle e_{1}} ≡ e 2 {\displaystyle e_{2}} ...≡ e k {\displaystyle e_{k}} ≡ 1 (modulo 3) ei täyty (McDaniel 1970).
• N:n pienin alkutekijä on pienempi kuin (2k + 8) / 3 (Grün 1952).

• N:n suurin alkutekijä on suurempi kuin 10⁸ (Takeshi Goto ja Yasuo Ohno, 2006).
• Toiseksi suurin alkutekijä on suurempi kuin 10⁴ , ja kolmanneksi suurin alkutekijä on suurempi kuin 100 (Iannucci 1999, 2000).
• N:llä on vähintään 75 alkutekijää ja vähintään 9 erillistä alkutekijää. Jos 3 ei ole yksi N:n tekijöistä, N:llä on vähintään 12 erillistä alkutekijää (Nielsen 2006; Kevin Hare 2005).

Parillisilla täydellisillä luvuilla on hyvin tarkka muoto; parittomat täydelliset luvut ovat harvinaisia, jos niitä ylipäätään on olemassa. Täydellisistä luvuista on olemassa useita tuloksia, jotka on itse asiassa melko helppo todistaa, mutta jotka ovat kuitenkin pintapuolisesti vaikuttavia; osa niistä kuuluu myös Richard Guyn pienten lukujen vahvan lain piiriin:

• Jokainen pariton täydellinen luku on muotoa 12m + 1 tai 4356m + 1089 tai 468m + 117 tai 2916m + 729 (Roberts 2008).
• Pariton täydellinen luku ei ole jaollinen 105:llä (Kühnel 1949).
• Jokainen pariton täydellinen luku on kahden neliön summa (Stuyvaert 1896).
• Fermat-luku ei voi olla täydellinen luku (Luca 2000).
• Ainoa parillinen täydellinen luku muodossa x 3 + 1 {\displaystyle x^{3}+1} on 28 (Makowski 1962).
• Kun määritelmä jaetaan täydellisellä luvulla N, täydellisen luvun N tekijöiden käänteislukujen on oltava yhtä suuret kuin 2:
• Jos on 6, on 1/6 + 1/3 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2 {\displaystyle 1/6+1/3+1/2+1/1=2} ;
• 28:lle on 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2 {\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}. jne.
• Täydellisen (parillisen tai parittoman) luvun jakajien lukumäärän on oltava parillinen, koska N ei voi olla täydellinen neliö.
• Näistä kahdesta tuloksesta seuraa, että jokainen täydellinen luku on Oren harmoninen luku.

Kunnon jakajien summa antaa erilaisia muita lukuja. Lukuja, joiden summa on pienempi kuin itse luku, kutsutaan puutteellisiksi ja lukuja, joiden summa on suurempi kuin luku, runsaiksi. Nämä termit sekä itse täydellinen ovat peräisin kreikkalaisesta numerologiasta. Numeroparia, joka on toistensa omien jakajien summa, kutsutaan ystävälliseksi, ja suurempia numerosyklejä kutsutaan seurallisiksi. Positiivinen kokonaisluku, jonka jokainen pienempi positiivinen kokonaisluku on sen erillisten jakajien summa, on käytännöllinen luku.

Määritelmän mukaan täydellinen luku on rajoitetun jakolaskufunktion s(n) = σ(n) - n kiintopiste, ja täydelliseen lukuun liittyvä aliquot-sarja on vakiojakso.