Desimaalijärjestelmä eli kymmenjärjestelmä — määritelmä ja esimerkit
Tutustu desimaalijärjestelmään (kymmenjärjestelmä): selkeä määritelmä, käytännön esimerkit ja laskuesimerkit auttavat ymmärtämään paikkajärjestelmän.
Desimaalilukujärjestelmä on ihmisten yleisimmin käyttämä tapa kirjoittaa ja esittää lukuja. Sen lähtökohtana eli peruslukuna on kymmenen, minkä vuoksi järjestelmää kutsutaan usein myös kymmenjärjestelmäksi. Järjestelmä on paikkajärjestelmä: numeron arvo riippuu siitä, mitä paikkaa kukin numero edustaa. Sanaa desimaaliluku käytetään usein sekä tarkoittamaan lukua, jossa on desimaalierotin (esimerkiksi pilkku Suomessa) että yleisemmin lukua, joka on esitetty kymmenjärjestelmässä.
Paikkajärjestelmän periaate
Jokainen desimaalijärjestelmän numero (numeroiden merkki) voi olla 0–9. Numeroiden merkitys määräytyy sen mukaan, montako paikkaa ne ovat kokonais- ja desimaaliosassa:
- Yksiköt (10^0), kymmenet (10^1), sadat (10^2), jne.
- Desimaaliosan ensimmäinen paikka on kymmenesosa (10^-1), seuraava sadasosa (10^-2) jne.
Esimerkki kokonaisluvusta: 345 = 3×10^2 + 4×10^1 + 5×10^0. Esimerkki desimaaliluvusta: 12,34 = 1×10^1 + 2×10^0 + 3×10^-1 + 4×10^-2.
Desimaalierotin: pilkku vai piste?
Useimmissa Euroopan maissa, myös Suomessa, käytetään desimaalierottimena pilkkua (esim. 3,14). Kansainvälisissä tieteellisissä ja ohjelmointiyhteyksissä yleinen käytäntö on piste (decimal point, esim. 3.14). On tärkeää huomata paikallinen käytäntö erityisesti kun vaihdetaan tietoja eri järjestelmien tai maiden välillä.
Desimaaliluvut ja murtoluvut
Desimaaliesitys on toinen tapa kirjoittaa murtolukuja. Monet rationaaliluvut esittyvät desimaaleina joko päättyvinä (esim. 1/4 = 0,25) tai jaksollisina (esim. 1/3 = 0,333...). Jakso toistuu aina ja voidaan merkitä esim. 0,(3) tai 0,3̅.
Pyöristäminen ja merkitsevät numerot
Desimaaliesityksen tarkkuutta voidaan hallita pyöristämällä haluttuun lukumäärään desimaaleja. Pyöristämisessä huomioidaan pyöristettävän numeron seuraava numero ja mahdolliset säännöt merkitseville numeroille (esim. tieteellisessä esityksessä merkitsevät numerot kertovat mittauksen tarkkuuden).
Käytännön esimerkit
- Kirjoita luku 4 582: 4×10^3 + 5×10^2 + 8×10^1 + 2×10^0.
- Desimaaliluku 0,075 = 7×10^-2 + 5×10^-3.
- Murtoluvun muuntaminen desimaaliksi: 7/8 = 0,875 (päättyvä desimaali).
Miksi kymmenjärjestelmä?
Perusteluksi mainitaan usein biologinen syy: ihmisillä on kymmenen sormea, mikä luonnollisesti on tehnyt kymmenjärjestelmästä kätevän alunlukujen laskemiselle. Historiallisesti eri kulttuureissa on käytetty muitakin perustasoja (esim. kaksikanta, kuuskanta), mutta kymmenjärjestelmä on levinnyt laajasti arki- ja tieteelliseen käyttöön.
Vertailu muihin lukujärjestelmiin
Tietokoneissa yleinen lukujärjestelmä on kaksikanta (binäärinen), ja ohjelmoinnissa käytetään myös heksadesimaalia (perus 16). Näissä järjestelmissä paikkaperiaate on sama, mutta perusarvo (kantaluku) on erilainen: esim. binäärissä paikat ovat 2^0, 2^1, 2^2 jne.
Yhteenveto
Desimaalijärjestelmä eli kymmenjärjestelmä on paikkaan perustuva järjestelmä, jonka perusarvo on kymmenen. Se on intuitiivinen, laajalti käytössä ja sopii hyvin sekä kokonaislukujen että desimaalien esittämiseen arjessa, tieteessä ja taloudessa. Kun työskentelet eri järjestelmien tai kansainvälisten aineistojen kanssa, kiinnitä huomiota desimaalierottimeen (pilkku vs. piste) ja siihen, onko desimaali päättyvä vai jaksollinen.
Desimaalimerkintä
Desimaalilukumerkintä on lukujen kirjoittaminen kymmenjärjestelmällä, jossa käytetään erilaisia symboleja (joita kutsutaan numeroiksi) enintään kymmenelle eri arvolle (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9) kaikkien lukujen esittämiseen, riippumatta siitä, kuinka suuria ne ovat. Näitä numeroita käytetään usein yhdessä desimaalierottimen kanssa, joka ilmaisee murtoluvun alun, ja jonkin merkin + (positiivinen) tai - (negatiivinen) kanssa numeroiden edessä merkin osoittamiseksi.
Muinaisessa sivilisaatiossa on vain kaksi aidosti paikannukseen perustuvaa desimaalijärjestelmää, kiinalainen laskutankojärjestelmä ja hindu-arabialainen numerojärjestelmä. Molemmissa tarvittiin enintään kymmenen symbolia. Muut numeeriset järjestelmät vaativat enemmän symboleja. []
Muut rationaaliluvut
Mikä tahansa rationaaliluku voidaan ilmaista yksikäsitteisenä desimaalilaajennuksena. Sen on ehkä päätyttävä toistuviin desimaalilukuihin.
Kymmenen on ensimmäisen ja kolmannen alkuluvun tulo, yksi suurempi kuin toisen alkuluvun neliö ja yksi pienempi kuin viides alkuluku. Tästä seuraa runsaasti yksinkertaisia desimaalimurtolukuja:
1/2 = 0.5
1/3 = 0,333333 ... (3 toistuu ikuisesti, kutsutaan myös toistuvaksi)...
1/4 = 0.25
1/5 = 0.2
1/6 = 0,166666 ... (kun 6 toistuu)
1/7 = 0,142857 ... (142857 toistuvaa)
1/8 = 0.125
1/9 = 0,111111 ... (1 toistuva)
1/10 = 0.1
1/11 = 0,090909 ... (09:llä toistuvasti)
1/12 = 0,083333 ... (3 toistuvalla)
5/10=0.5
1/81 = 0,012345679012 ... (012345679 toistuvasti)
Luonnolliset kielet
Suoraviivainen desimaalijärjestelmä, jossa 11 ilmaistaan kymmenenä-yksi ja 23 kahtena-kymmenenä-kolmena, esiintyy kiinan kielissä wu-kieliä lukuun ottamatta ja vietnamin kielessä muutamin epäsäännöllisyyksin. Japanin, Korean ja Thaimaan kielet ovat omaksuneet kiinalaisen desimaalijärjestelmän. Monissa muissa kielissä, joissa on desimaalijärjestelmä, on erityisiä sanoja kymmeniä ja vuosikymmeniä varten.
Inkojen kielissä, kuten quechua ja aymara, on lähes suoraviivainen desimaalijärjestelmä, jossa 11 ilmaistaan kymppinä, jossa on yksi, ja 23 kymppinä, jossa on kaksi-kymmenen ja kolme.
Joidenkin psykologien mukaan numeroiden epäsäännöllisyys kielessä voi haitata lasten laskutaitoa (Azar 1999).
Aiheeseen liittyvät sivut
- Dewey Decimal System
- Hindu-arabialainen numerojärjestelmä
- Numerojärjestelmä
- Tieteellinen merkintätapa
- 10 (numero)
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on desimaalilukujärjestelmä?
V: Desimaalilukujärjestelmä on tavallisin tapa kirjoittaa lukuja, joiden lähtökohtana eli peruslukuna on kymmenen.
K: Mitä tarkoittaa termi "desimaalilukujärjestelmä"?
V: Termiä "desimaaliluku" käytetään joskus sanan "piste" sijasta tarkoittamaan pistettä ("."), jota käytetään joskus erottamaan numeroiden paikat tässä järjestelmässä.
K: Mikä on toinen nimi desimaalilukujärjestelmälle?
V: Desimaalilukujärjestelmää kutsutaan toisinaan myös kymmenjärjestelmäksi tai denaarilukujärjestelmäksi.
K: Mikä on oletusarvoinen desimaalierotin englanninkielisissä maissa?
V: Englanninkielisissä maissa oletusarvoinen desimaalierotin on piste.
Kysymys: Mikä on kymmenjärjestelmän kymmenesosan merkitys desimaalilukujärjestelmässä?
V: Perusluku kymmenen on desimaalilukujärjestelmän lähtökohta, ja sen avulla lukujen laskeminen ja käsittely on helppoa jokapäiväisessä elämässä.
K: Mikä on pisteen merkitys desimaalilukujärjestelmässä?
V: Pistettä käytetään erottamaan numeroiden paikat toisistaan desimaalilukujärjestelmässä, ja se on yleisin tapa esittää desimaalimurtolukuja.
K: Mitä eroa on desimaalilukujärjestelmän ja muiden lukujärjestelmien välillä?
V: Desimaalilukujärjestelmän peruslukuna on kymmenen, kun taas muissa lukujärjestelmissä voi olla eri peruslukuja, kuten binääriluku (perusluku kaksi) tai heksadesimaaliluku (perusluku kuusitoista).
Etsiä