Zenonin paradoksit

Akilles ja kilpikonna

Akhilleuksen ja kilpikonnan paradoksissa Akhilleus kilpailee kilpikonnan kanssa. Akilles antaa kilpikonnalle esimerkiksi 100 metrin etumatkan. Oletetaan, että kumpikin kilpakumppani lähtee juoksemaan vakionopeudella, toinen hyvin nopeasti ja toinen hyvin hitaasti. Jonkin äärellisen ajan kuluttua Akilles on juossut 100 metriä, jolloin hän on saavuttanut kilpikonnan lähtöpisteen. Tänä aikana hitaampi kilpikonna on juossut paljon lyhyemmän matkan. Achillesilta kestää vielä jonkin aikaa juosta tämä matka, jolloin kilpikonna on edennyt pidemmälle. Tämän jälkeen Akillekselta kestää vielä enemmän aikaa päästä tähän kolmanteen pisteeseen, kun taas kilpikonna etenee jälleen eteenpäin. Näin ollen aina kun Akilles saavuttaa paikan, jossa kilpikonna on ollut, hänellä on vielä matkaa jäljellä. Koska on ääretön määrä kohtia, joihin Akhilleuksen on päästävä ja joissa kilpikonna on jo käynyt, hän ei voi koskaan ohittaa kilpikonnaa.

Dikotomian paradoksi

Oletetaan, että joku haluaa päästä pisteestä A pisteeseen B. Ensin hänen on kuljettava puoliväliä. Sitten hänen on kuljettava puolet jäljellä olevasta matkasta. Jos näin jatketaan, jäljelle jää aina jokin pieni matka, eikä päämäärää koskaan saavuteta. Aina on lisättävä toinen luku sarjaan, kuten 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..... Liikkuminen mistä tahansa pisteestä A mihin tahansa eri pisteeseen B on siis mahdottomuus.

Kommentti

Tässä on siis Zenonin paradoksi: molemmat kuvat todellisuudesta eivät voi olla totta samanaikaisesti. Näin ollen joko: 1. Jotain on vialla tavassa, jolla hahmotamme ajan jatkuvan luonteen, 2. Todellisuudessa ei ole olemassa mitään sellaista asiaa kuin ajan, etäisyyden tai ehkä minkään muunkaan asian diskreetti tai inkrementaalinen määrä, tai 3. On olemassa kolmas kuva todellisuudesta, joka yhdistää nämä kaksi kuvaa - matemaattisen ja maalaisjärjen tai filosofisen - jota meillä ei vielä ole välineitä ymmärtää täysin.

Ehdotetut ratkaisut

Harva löisi vetoa siitä, että kilpikonna voittaisi kilpajuoksun urheilijaa vastaan. Mutta mitä vikaa väitteessä on?

Kun aletaan lisätä termejä sarjaan 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...., voidaan huomata, että summa tulee yhä lähemmäksi ja lähemmäksi yhtä, eikä koskaan ylitä arvoa 1. Aristoteles (joka on lähde suurelle osalle siitä, mitä tiedämme Zenonista) huomautti, että kun etäisyys (dikotomiaparadoksessa) pienenee, kunkin etäisyyden kulkemiseen kuluva aika lyhenee ja lyhenee. Ennen vuotta 212 eaa. Arkhimedes oli kehittänyt menetelmän, jolla hän sai äärellisen vastauksen äärettömän monien asteittain pienenevien termien summalle (kuten 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...). Nykyaikaisessa laskennassa päästään samaan tulokseen käyttämällä tiukempia menetelmiä.

Jotkut matemaatikot, kuten w:Carl Boyer, ovat sitä mieltä, että Zenonin paradoksit ovat yksinkertaisesti matemaattisia ongelmia, joihin nykyaikainen laskutoimitus tarjoaa matemaattisen ratkaisun. Zenonin kysymykset ovat kuitenkin edelleen ongelmallisia, jos lähestytään ääretöntä sarjaa askel kerrallaan. Tätä kutsutaan supertehtäväksi. Laskutoimituksessa ei itse asiassa lisätä lukuja yksi kerrallaan. Sen sijaan siinä määritetään arvo (jota kutsutaan raja-arvoksi), jota yhteenlasku lähestyy.

Katso englanninkieliset Wikipedia-artikkelit

• Zenonin paradoksit
• Parabelin kvadratuuri
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + - - -
• Thompsonin lamppu