Ristitulo: määritelmä, laskeminen ja ominaisuudet vektoreissa

Koska ristitulo on vektorioperaatio, se on erittäin tärkeä kaikenlaisissa tieteissä (erityisesti fysiikassa), tekniikassa ja matematiikassa. Yksi tärkeä esimerkki ristitulosta on vääntömomentti tai momentti. Toinen tärkeä sovellus liittyy magneettikenttään.

Ristitulo a → {\displaystyle {\vec {a}} ja b → {\displaystyle {\vec {b}}} on vektori, jota kutsumme c → {\displaystyle {\vec {c}}} :

c → = a → × b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}}

Tällöin c → {\displaystyle {\vec {c}}}} suuruus on seuraava:

c = | c → | = | a → | | b → | sin θ = a b sin θ {\displaystyle c=|{\vec {c}}|=|{\vec {a}}|||{\vec {b}}|\sin \theta =ab\sin \theta } ,

jossa θ {\displaystyle \theta } on a → {\displaystyle {\vec {a}} ja b → {\displaystyle {\vec {b}} välinen kulma. Vektori a → × b → {\displaystyle {\vec {a}} \times {\vec {b}}} on kohtisuorassa sekä a → {\displaystyle {\vec {a}} että b → {\displaystyle {\vec {b}}} kanssa. Suunta a → × b → {\displaystyle {\vec {a}} \times {\vec {b}}} määräytyy oikean käden säännön muunnelman avulla. Jos pidät oikeaa kättäsi kuvan osoittamalla tavalla, peukalosi on suunnassa c → {\displaystyle {\vec {c}}} , etusormi osoittaa suuntaan a → {\displaystyle {\vec {a}}} ja toinen sormi osoittaa suuntaan b → {\displaystyle {\vec {b}}} . Jos etusormen ja toisen sormen välinen kulma on suurempi kuin 180°, käsi on käännettävä ylösalaisin.

Kuten mikä tahansa matemaattinen operaatio, ristitulo voidaan tehdä suoraviivaisesti.

Kaksi ulottuvuutta

Jos
a → = ⟨ a 1 , a 2 ⟩ {\displaystyle {\vec {a}}=\langle a_{1},a_{2}\rangle }
 ja
b → = ⟨ b 1 , b 2 ⟩ {\displaystyle {\vec {b}}=\langle b_{1},b_{2}\rangle }
 niin sitten
a → × b → = ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) k ^ {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\hat {k}}}}

 tai

a → × b → = c → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {c}}}
 ja
c → = ⟨ 0 , 0 , a 1 b 2 - a 2 b 1 ⟩ = ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) k ^ {\displaystyle {\vec {c}}=\langle 0,0,a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\hat {k}}}

k ^ {\displaystyle {\hat {k}}} on vain symboli, joka kertoo, että uusi vektorimme osoittaa ylöspäin (z-suunnassa). Jos "risteytät" kaksi vektoria, jotka molemmat ovat x-y-tasossa, tulo on aina kohtisuorassa molempiin vektoreihin nähden, ja jos molemmat vektorit ovat x-y-tasossa, ainoa tapa, jolla se voi olla kohtisuorassa molempiin, on olla z-suuntainen. Jos a 1 b 2 - a 2 b 1 {\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}} arvo on positiivinen, se osoittaa sivun ulkopuolelle; jos sen arvo on negatiivinen, se osoittaa sivun sisälle.

Kolme ulottuvuutta

Jos
a → = ⟨ a 1 , a 2 , a 3 ⟩ {\displaystyle {\vec {a}}=\langle a_{1},a_{2},a_{3}\rangle }
 ja
b → = ⟨ b 1 , b 2 , b 3 ⟩ {\displaystyle {\vec {b}}=\langle b_{1},b_{2},b_{3}\rangle }
 silloin
a → × b → = ⟨ a 2 b 3 - a 3 b 2 , a 3 b 1 - a 1 b 3 , a 1 b 2 - a 2 b 1 ⟩ {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=\langle a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\rangle }

a → × b → = - b → × a → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}}

a → × ( b → + c → ) = a → × b → + a → × c → {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {a}}\times {\vec {c}}}

c ( a → × b → ) = ( c a → ) × b → = a → × ( c b → ) {\displaystyle c({\vec {a}}\times {\vec {b}})=(c{\vec {a}})\times {\vec {b}}={\vec {a}}\times (c{\vec {b}})} }