Vektori: määritelmä, suunta, suuruus ja esimerkit

Vektori selkeä opas: määritelmä, suunta, suuruus ja esimerkit helposti ymmärrettävästi nuolista ja skalaareista

Tekijä: Leandro Alegsa Luontipäivä: 3. helmikuuta 2023 Viimeisin päivitys: 21. elokuuta 2025

A vector

Vektori on matemaattinen objekti, jolla on koko, jota kutsutaan suuruudeksi, ja suunta. Se esitetään usein lihavoiduilla kirjaimilla (kuten u {\displaystyle \mathbf {u}). } $\mathbf {u}$ , v {\displaystyle \mathbf {v} }, v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$ , w {\displaystyle \mathbf {w}). } $\mathbf {w}$ ), tai suoran segmenttinä pisteestä toiseen (kuten A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} ). ${\overrightarrow {AB}}$

Vektoria käytetään esimerkiksi osoittamaan etäisyyttä ja suuntaa, jossa jokin liikkuu. Kun kysytään suuntaa, jos joku sanoo "Kävele kilometri pohjoiseen", se olisi vektori, mutta jos sanotaan "Kävele kilometri" ilman suuntaa, se olisi skalaari.

Vektorit piirretään yleensä nuolina. Nuolen pituus on verrannollinen vektorin suuruuteen. Suunta, johon nuoli osoittaa, on vektorin suunta.

Määritelmä ja esitys

Vektori voidaan esittää monella tavalla:

Geometrisesti nuolena, jonka pituus ja suunta kuvaavat vektorin ominaisuuksia.
Koordinaattimuodossa: esimerkiksi kaksidimensionaalinen vektori v = (v1, v2) tai kolmiulotteinen v = (v1, v2, v3).
Pisteiden erotuksena: jos A = (x1, y1) ja B = (x2, y2), niin vektori \u2192AB = (x2 - x1, y2 - y1).

Suuruus (normi)

Vektorin suuruus eli pituus merkitään usein |v| tai ||v||. Koordinaateista suuruus lasketaan Pythagoraan lauseen avulla:

Jos v = (v1, v2), niin |v| = sqrt(v1^2 + v2^2).
Jos v = (v1, v2, v3), niin |v| = sqrt(v1^2 + v2^2 + v3^2).

Esimerkki: v = (3, 4) ⇒ |v| = 5.

Perusoperaatiot

Vektorien yhteen- ja vähennyslasku: komponenttikohtaisesti. Jos u = (u1, u2) ja v = (v1, v2), niin

u + v = (u1 + v1, u2 + v2), u - v = (u1 - v1, u2 - v2).

Geometrisesti yhteenlasku vastaa nuolien asettamista peräkkäin tai parallelogrammisääntöä.

Skalaaritulo (skalaarilla kertominen): jos k on reaaliluku ja v = (v1, v2), niin k v = (k v1, k v2). Skalaarilla kertominen muuttaa vektorin pituutta ja, jos k < 0, myös suuntaa vastakkaiseksi.

Pistetulo (dot product): kahden vektorin u ja v pistetulo määritellään

u · v = u1 v1 + u2 v2 (+ u3 v3 jos kolmeulotteisissa).

Pistetulon ja suuruuksien avulla u · v = |u||v| cos θ, missä θ on vektorien välinen kulma. Pistetulo kertoo myös vektorien ortogonaalisuuden: u · v = 0 ⇔ vektorit ovat kohtisuorassa.

Ristitulo (kolmiulotteisissa): u × v on vektori, joka on kohtisuorassa sekä u:ta että v:tä vastaan ja jonka suuruus on |u × v| = |u||v| sin θ. Esimerkiksi (1,0,0) × (0,1,0) = (0,0,1).

Yksikkövektori: vektori, jonka suuruus on 1. Jos v ≠ 0, niin yksikkövektori v:n suunnassa on v / |v|.

Vektorien ominaisuuksia

Vektoreiden yhteenlasku on kommutatiivista ja assosiatiivista: u + v = v + u.
Skalaaritulo on bilineaarinen ja symmetrinen.
Nolla-vektori 0 = (0,0,...) on neutraali yhteenlaskussa.
Negatiivinen vektori -v kääntää suunnan: v + (-v) = 0.
Kaksi vektoria ovat yhtä suuret ja suuntaiset silloin, kun niiden kaikki komponentit ovat samat.

Esimerkkejä

Kävely: "Kävele 1 km pohjoiseen" voidaan esittää vektorina (0, 1) (jos yksikkönä km ja pohjoinen +y-suunnassa). "Kävele 1 km" ilman suuntaa on skalaari.
Koordinaattilasku: u = (1,2), v = (3,-1). Silloin u+v = (4,1), 2u = (2,4).
Pituuslasku: v = (3,4) ⇒ |v| = sqrt(9+16) = 5.
Pistetuloesimerkki: (1,2)·(3,4) = 1·3 + 2·4 = 11. Tästä voidaan määrittää vektorien välinen kulma cos θ = (u·v)/(|u||v|).
Pistetulo nollaa: jos u·v = 0 ja kumpikaan ei ole nolla-vektori, vektorit ovat kohtisuorassa.

Käyttökohteita

Vektoreita käytetään laajasti matematiikassa, fysiikassa ja tekniikassa. Tavallisia sovelluksia ovat:

Liikkeen kuvaus: nopeus ja kiihtyvyys ovat vektoreita (suuruus + suunta).
Voimat (esim. Newtonin lait) muodostuvat vektoreista ja summataan vektorioperaatioilla.
Grafiikka ja tietokonegrafiikka: sijainnin, suunnan ja transformaatioiden käsittely.
Elektroniikassa ja kenttäteoriassa sähkökentät ja magneettikentät kuvataan vektorikenttinä.

Yhteenveto

Vektori on suuntaan ja suuruuteen liittyvä matemaattinen käsite, jota voi esittää nuolena tai koordinaatteina. Vektoreilla on selkeät laskusäännöt (yhteen- ja vähennyslasku, skalaarikertolasku, pistetulo, ristitulo), ja niiden avulla kuvataan monia reaalimaailman ilmiöitä kuten liikettä ja voimia. Perusajatus on aina sama: vektori kertoo, kuinka paljon ja mihin suuntaan.

Esimerkkejä vektoreista

John kävelee 20 metriä pohjoiseen. Suunta "pohjoinen" yhdessä etäisyyden "20 metriä" kanssa on vektori.
Omena putoaa alas 10 metriä sekunnissa. Suunta "alas" yhdistettynä nopeuteen "10 metriä sekunnissa" on vektori. Tällaista vektoria kutsutaan myös nopeudeksi.

Esimerkkejä skalaareista

Kahden paikan välinen etäisyys on 10 kilometriä. Tämä etäisyys ei ole vektori, koska se ei sisällä suuntaa.
Laatikossa olevien hedelmien määrä ei ole vektori.
Osoittava henkilö ei ole vektori, koska sillä on vain suunta. Ei ole suuruusluokkaa (esimerkiksi etäisyys henkilön sormesta rakennukseen).
Esineen pituus.
Auto ajaa 100 kilometriä tunnissa. Tämä ei kuvaa vektoria, koska siinä on vain suuruus, mutta ei suuntaa.

Lisää esimerkkejä vektoreista

Siirtymä on vektori. Siirtymä on matka, jonka jokin liikkuu tiettyyn suuntaan. Pelkkä etäisyyden mitta on skalaari.
Voima, joka sisältää suunnan, on vektori.
Nopeus on vektori, koska se on nopeus tiettyyn suuntaan.
Kiihtyvyys on nopeuden muutosnopeus. Kappale kiihtyy, jos sen nopeus tai suunta muuttuu.

Miten lisätä vektoreita

Vektoreiden lisääminen paperille head to tail -menetelmällä

Vektoreiden yhteenlaskumenetelmä Head to Tail on hyödyllinen, kun kahden vektorin yhteenlaskun tulosta arvioidaan paperilla. Näin se tehdään:

Kukin vektori piirretään nuolena, jonka takana on tietty pituus, jossa jokainen pituusyksikkö paperilla edustaa vektorin tiettyä suuruusluokkaa.
Piirrä seuraava vektori siten, että toisen vektorin häntä(pää) on ensimmäisen vektorin pään(etuosan) kohdalla.
Toista tämä kaikille muille vektoreille: Piirrä seuraavan vektorin häntä edellisen vektorin päähän.
Piirrä viiva ensimmäisen vektorin perästä viimeisen vektorin päähän - se on kaikkien vektoreiden resultantti (summa).

Menetelmää kutsutaan "Head to Tail" -menetelmäksi, koska jokainen edellisen vektorin pää johtaa seuraavan vektorin häntään.

Komponenttilomakkeen käyttäminen

^{[on selitettävä ]}

Komponenttimuodon käyttäminen kahden vektorin lisäämiseen tarkoittaa kirjaimellisesti vektoreiden komponenttien lisäämistä uuden vektorin luomiseksi. Olkoon esimerkiksi a ja b kaksi kaksiulotteista vektoria. Nämä vektorit voidaan kirjoittaa niiden komponenttien avulla.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})} $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y})$

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})} $\mathbf {b} =(b_{x},b_{y})$

Oletetaan, että c on näiden kahden vektorin summa, joten c = a + b. Tämä tarkoittaa, että c = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} $\mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})$ .

Seuraavassa on esimerkki kahden vektorin yhteenlaskusta niiden komponenttimuotojen avulla:

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)} $\mathbf {a} =(3,-1)$

b = ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)} $\mathbf {b} =(2,2)$

c = a + b = ( a x + b x , a y + b y ) = ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) = ( 5 , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {a} +\mathbf {b} \\&=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})\\&=(3+2,-1+2)\\&=(5,1)\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\mathbf {c} &=\mathbf {a} +\mathbf {b} \\&=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})\\&=(3+2,-1+2)\\&=(5,1)\end{aligned}}$

Tämä menetelmä toimii kaikille vektoreille, ei vain kaksiulotteisille vektoreille.

Miten kertoa vektorit

Pistetuloksen käyttäminen

Pistetuotto on yksi menetelmä vektoreiden kertomiseen. Se tuottaa skalaarin. Se käyttää komponenttimuotoa:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a ⋅ b = ( 2 , 3 ) ⋅ ( 1 , 4 ) = ( 2 ⋅ 1 ) + ( 3 ⋅ ${\begin{aligned}\mathbf {a} &=(2,3)\\\mathbf {b} &=(1,4)\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=(2,3)\cdot (1,4)\\&=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\&=2+12\\&=14\end{aligned}}$

Ristitulon käyttäminen

Ristitulo on toinen menetelmä vektoreiden kertomiseen. Toisin kuin pistetulos, se tuottaa vektorin. Käyttämällä komponenttimuotoa:

a × b = | a | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} |||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} } $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n}$

Täällä | a | {\displaystyle |\mathbf {a} |} $|\mathbf {a} |$ tarkoittaa pituutta {\displaystyle \mathbf {a} } $\mathbf {a}$ ja n {\displaystyle \mathbf {n} } $\mathbf {n}$ on yksikkövektori, joka on suorassa kulmassa sekä a {\displaystyle \mathbf {a} } $\mathbf {a}$ ja b {\displaystyle \mathbf {b } } $\mathbf {b}$ .

Kertominen skalaarilla

Kun vektori kerrotaan skalaarilla (tavallisella luvulla), luku kerrotaan vektorin jokaisella komponentilla:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . , c x n ) {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})} $c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})$

Esimerkki tästä on

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 ⋅ 3 , 5 ⋅ ${\begin{aligned}c&=5\\\mathbf {x} &=(3,4)\\c\,\mathbf {x} &=(5\cdot 3,5\cdot 4)\\&=(15,20)\end{aligned}}$

Aiheeseen liittyvät sivut

Analyyttinen geometria
Nollavektori
Yksikkövektori
Vektorikenttä
Vektorigrafiikka
Vektoriavaruus
Vektorin aliavaruus

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on vektori?

A: Vektori on matemaattinen objekti, jolla on koko, jota kutsutaan suuruudeksi, ja suunta. Se esitetään usein lihavoiduilla kirjaimilla tai pisteestä toiseen kulkevana viivasegmenttinä.

K: Miten vektorit yleensä piirretään?

V: Vektorit piirretään yleensä nuolina. Nuolen pituus on verrannollinen vektorin suuruuteen, ja suunta, johon nuoli osoittaa, on vektorin suunta.

K: Mitä tarkoittaa, kun joku kysyy suuntaa?

V: Kun joku kysyy suuntaa, jos hän sanoo: "Kävele kilometri pohjoiseen päin", se on vektori, mutta jos hän sanoo: "Kävele kilometri" osoittamatta suuntaa, se on skalaari.

K: Mitä esimerkkejä vektorien käytöstä on?

V: Vektoreita voidaan käyttää osoittamaan etäisyyttä ja suuntaa, jossa jokin on liikkunut. Niitä voidaan käyttää myös kysyttäessä suuntaa tai suunnistettaessa alueella.

K: Miten vektorit esitetään matemaattisesti?

V: Vektorit esitetään usein lihavoiduilla kirjaimilla (kuten u, v, w) tai viivasegmenttinä pisteestä toiseen (kuten A→B).

K: Mitä tarkoittaa, kun jotain asiaa kutsutaan skalaariksi?

V: Kun jotain asiaa kutsutaan skalaariseksi, se tarkoittaa, että siihen ei liity mitään suuntaa osoittavaa tietoa, vaan ainoastaan numeerisia arvoja, kuten etäisyys tai nopeus.

Tekijä

AlegsaOnline.com - Vektori - Leandro Alegsa

Luontipäivä: 3. helmikuuta 2023
Viimeisin päivitys: 21. elokuuta 2025

URL: https://fi.alegsaonline.com/art/104442