Lieriö | yksi yksinkertaisimmista kaarevista kolmiulotteisista geometrisista muodoista

Yleinen käyttö

Yleisessä käytössä sylinterillä tarkoitetaan suorakulmaisen ympyräsylinterin äärellistä poikkileikkausta, eli sylinteriä, jonka muodostavat viivat ovat kohtisuorassa perustuksia vastaan ja jonka päät on suljettu siten, että ne muodostavat kaksi ympyränmuotoista pintaa, kuten kuvassa (oikealla). Jos sylinterin säde on r ja pituus (korkeus) h, sen tilavuus saadaan seuraavasti:

V = πr² h

ja sen pinta-ala on:

• yläosan pinta-ala (πr² ) +
• pohjan pinta-ala (πr² ) +
• sivun pinta-ala (2πrh).

Ilman ylä- tai alapuolta (sivualue) pinta-ala on siis:

A = 2πrh.

Ylä- ja alapuolella pinta-ala on:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

Tietyn tilavuuden tapauksessa sylinterin, jonka pinta-ala on pienin, pinta-ala on h = 2r. Tietyn pinta-alan tapauksessa sylinterin, jonka tilavuus on suurin, h = 2r, eli sylinteri mahtuu kuutioon (korkeus = halkaisija).

 

Volume

Kun on oikeanmuotoinen ympyränmuotoinen sylinteri, jonka korkeus on h yksikköä ja jonka pohjan säde on r yksikköä ja jonka koordinaattiakselit on valittu siten, että origo on yhden pohjan keskipisteessä ja korkeus mitataan positiivista x-akselia pitkin. Tasoleikkauksen, joka on x yksikön etäisyydellä origosta, pinta-ala on A(x) neliöyksikköä, jossa

A ( x ) = π r 2 {\displaystyle A(x)=\pi r^{2}}

tai

A ( y ) = π r 2 {\displaystyle A(y)=\pi r^{2}}

Tilavuuselementti on suorakulmainen sylinteri, jonka pohjapinta-ala on Aw_i neliöyksikköä ja paksuus Δ_i x yksikköä. Jos siis V kuutiota on oikean ympyränmuotoisen sylinterin tilavuus, Riemannin summien mukaan,

V o l u m e o f c y l i n d e r = lim | | | Δ → 0 | | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\\Delta \to 0|||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}}

= ∫ 0 h π r 2 d y {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Lieriökoordinaattien avulla tilavuus voidaan laskea integroimalla yli

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r 2 h {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

 

Lieriömäinen poikkileikkaus

Sylinterileikkaukset ovat sylinterien ja tasojen leikkauspisteitä. Suoraan ympyränmuotoisen sylinterin kohdalla on neljä vaihtoehtoa. Sylinterin tangenttitaso kohtaa sylinterin yhtenä suorana. Jos tasoa liikutetaan sen ollessa samansuuntainen itsensä kanssa, se joko ei leikkaa sylinteriä tai leikkaa sen kahdella samansuuntaisella suoralla. Kaikki muut tasot leikkaavat sylinterin ellipsinä tai, jos ne ovat kohtisuorassa sylinterin akselia vastaan, ympyränä.

 

Muut sylinterityypit

Elliptinen sylinteri eli cylindroid on kvadrinen pinta, jolla on seuraava yhtälö kartesiankoordinaatistossa:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}

Tämä yhtälö koskee elliptistä sylinteriä, joka on tavallisen ympyränmuotoisen sylinterin (a = b) yleistys. Vielä yleisempi on yleistetty sylinteri: poikkileikkaus voi olla mikä tahansa käyrä.

Sylinteri on degeneroitunut nelikulmio, koska ainakin yksi koordinaateista (tässä tapauksessa z) ei esiinny yhtälössä.

Vinosylinterin ylä- ja alapinnat ovat siirtyneet toisistaan.

On myös muita epätavallisempia sylinterityyppejä. Nämä ovat kuvitteellisia elliptisiä sylintereitä:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}}

hyperbolinen sylinteri:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

ja parabolinen sylinteri:

x 2 + 2 a y = 0. {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

 

 
Elliptinen sylinteri  


Projektiivisessa geometriassa sylinteri on yksinkertaisesti kartio, jonka kärki on äärettömässä, mikä vastaa visuaalisesti perspektiivistä katsottuna sylinteriä, joka näyttää olevan kartio taivasta kohti.