Algebrallinen rakenne: määritelmä, perusrakenteet ja esimerkit

Matematiikassa algebrallinen rakenne on joukko, jolla on yksi, kaksi tai useampia binäärioperaatioita. Binäärioperaatio on kartta S × S → S, eli kahden joukon alkion yhdistelmä tuottaa aina jonkin joukon alkion (tätä kutsutaan sulkeutuvuudeksi). Algebrallista rakennetta määritellään usein myös sille asetettavien aksiomien (esim. assosiatiivisuus, kommutatiivisuus, identtinen alkio, käänteisalkion olemassaolo, distributiivisuus) avulla.

Yksi binäärioperaatio

Perusrakenteet, joissa on yksi binäärioperaatio, muodostavat hierarkian, jossa lisäehdot johtavat vahvempiin rakenteisiin:

• Magma (matematiikka)

Joukko, jossa on binäärioperaatio. Magma vaatii vain sulkeutuvuuden: operaation tulos kuuluu samaan joukkoon. Ei vaadita assosiatiivisuutta, identiteettiä tai käänteisalkiota. Esimerkki: reaalilukujen joukko reaalifunktion f(a,b)=a−b muodossa on magma, mutta ei puoliryhmä, sillä operaatio ei ole assosiatiivinen.

• Puoliryhmä

Joukko, jonka operaatio on assosiatiivinen. Assosiatiivisuus tarkoittaa, että (a·b)·c = a·(b·c) kaikille alkioille a,b,c. Esimerkkejä: luonnollisten lukujen (ilman nollaa) yhteenlasku ei ole hyvä esimerkki (koska 0 puuttuu), mutta positiivisten kokonaislukujen yhteenlasku on puoliryhmä. Myös neliömatriisien kertolasku muodostaa puoliryhmän.

• Monoidi

Puoliryhmä, jolla on identtinen alkio. Identtinen alkio e täyttää e·a = a·e = a kaikille a. Esimerkkejä: luonnolliset luvut sisältäen nollan (N0) yhteenlaskulla, merkkijonot concatenation-operaatiolla (tyhjä merkkijono on identtinen alkio).

• Ryhmä

Monoidi, jossa jokaisella alkioilla on vastaava käänteisalkio. Ryhmässä jokaiselle a on b siten, että a·b = b·a = e. Ryhmät ovat keskeisiä symmetrian ja rakenteen tutkimuksessa. Esimerkkejä: (Z,+), permutaatioryhmät S_n, käänteismatriisien joukko GL(n,R).

• Kommutatiivinen ryhmä

Ryhmä, jolla on kommutatiivinen operaatio, eli a·b = b·a kaikille a,b. Tällaisia kutsutaan myös abelilaisiksi ryhmiksi. Esimerkkejä: (Z,+), (R,+), monien vektorien yhteenlaskuoperaatiot.

Kaksi binäärioperaatiota

Kun joukossa on kaksi toimintoa, usein nimeltään yhteen- ja kertolasku, niiden välille asetetaan lisävaatimuksia (esim. distributiivisuus). Tällaiset rakenteet ovat keskeisiä algebraa ja lukuteoriaa soveltavissa yhteyksissä.

• Sormus

Joukko, jossa on kaksi operaatiota, joita kutsutaan usein yhteen- ja kertolaskuksi. Joukko, jossa on yhteenlaskuoperaatio, muodostaa kommutatiivisen ryhmän, ja jossa on kertolaskuoperaatio, se muodostaa puoliryhmän (monet määrittelevät renkaan niin, että joukko, jossa on kertolasku, on itse asiassa monoidi, eli sillä on ykköselementti). Yhteenlasku ja kertolasku renkaassa täyttävät distributiivisen ominaisuuden. Tärkeä ero: renkaassa kertolasku ei välttämättä ole kommutatiivinen eikä kaikilla alkioilla tarvitse olla käänteisalkiota. Esimerkit: kokonaisluvut Z (kommutatiivinen rengas), neliömatriisien joukko M_n(R) (ei-kommutatiivinen rengas).

• Kommutatiivinen rengas

Rengas, jonka kertolasku on kommutatiivinen. Usein tarkastellaan myös yksiköllisiä renkaita (joissa on kertolaskun yksikköalkio 1). Esimerkkejä: polynomirenkaat R[x], kokonaislukujen modulon renkaat Z/nZ.

• Kenttä

Kommutatiivinen rengas, jossa kertolaskujoukko (pois lukien nolla) on ryhmä. Toisin sanoen kaikilla ei-nollilla alkioilla on käänteisalkio kertolaskun suhteen. Kenttä tarjoaa täyden jakamisen mahdollisuuden, ja monet lineaarialgebran ja analyysin perusrakenteet perustuvat kenttiin. Esimerkkejä: rationaaliluvut Q, reaaliluvut R, kompleksiluvut C, sekä äärelliset kentät GF(p) alkuluvulla p.

Esimerkkejä ja sovelluksia

Yleisimmät esimerkit algebrallisista rakenteista:

• Kokonaisluvut Z ryhmänä (Z,+) ja renkaana (Z,+,·).
• Reaaliluvut R kenttänä (R,+,·) ja vektoriavaruuksien skalaariarvot.
• Matriisit M_n(R) renkaana, joka on yleensä ei-kommutatiivinen; joukot GL(n,R) muodostavat ryhmän käänteismatriisien alla.
• Polynomirenkaat R[x] ja kertovat sovellukset algebraan ja numeeriseen analyysiin.
• Äärelliset kentät GF(p) ovat keskeisiä koodauksessa ja kryptografiassa.
• Permutaatioryhmät S_n mallintavat symmetrioita ja esiintyvät yhdistelmälaskennassa ja fysiikassa.

Lisäksi algebrallisia rakenteita yhdistellään ja yleistetään: algebrallisia homomorfismeja tutkitaan rakenteiden välisten yhteyksien luomiseksi; alirakenteet (esim. aliryhmät, ideaalit) ja kvotienttirakenteet ovat keskeisiä työkaluja rakenteiden luokittelussa; ja kategoriateoria tarjoaa yleisen kehyksen erilaisten algebrallisten rakenteiden vertailemiseksi. Sovelluksia on muuallakin kuin puhtaassa matematiikassa: fysiikassa (symmetria ja säilymislait), informatiikassa (ryhmät ja kentät koodauksessa, salauksessa), sekä taloustieteissä (peliteoria ja symmetria-analyysit).

Lopuksi kannattaa huomata, että listatut rakenteet muodostavat vain perusvalikoiman: tutkittaessa lisäehtoja tai laajennuksia syntyy lukuisia muita tärkeitä käsitteitä, kuten lie-algebroja, modulit, algebrat ja topologiset ryhmät, jotka yhdistävät algebraa ja muita matematiikan aloja.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on algebrallinen rakenne?

K: Mitkä ovat algebrallisia perusrakenteita, joissa on yksi binäärioperaatio?

K: Mitkä ovat algebrallisia perusrakenteita, joissa on kaksi binäärioperaatiota?

K: Mikä on magma (matematiikka)?

K: Mikä on puoliryhmä?

K: Mitä tarkoittaa, että operaatio on kommutatiivinen?

Hae kirjaimella