Magma (algebrinen rakenne) – määritelmä ja esimerkit

Magma (algebrinen rakenne) – selkeä määritelmä, esimerkit ja binäärioperaation selitys. Opas magman perusominaisuuksiin ja merkintään (X, •).

Tekijä: Leandro Alegsa

Matematiikassa magma on eräänlainen algebrallinen rakenne. Se on joukko, jolla on binäärioperaatio kyseiselle joukolle.

Binäärioperaatio tarkoittaa funktiota, joka ottaa joukosta kaksi (mahdollisesti samoja) elementtiä ja palauttaa jonkin kyseisen joukon elementin. Jos joukon merkkinä käytetään esimerkiksi X ja binäärioperaation merkkinä esimerkiksi • tai -, merkitään magmaa tavallisesti parina (X, •). Magma ei edellytä muita ominaisuuksia kuin sen, että operaation tulos kuuluu takaisin joukkoon (sulkeutuvuus).

Määritelmä (tarkemmin)

Magma on joukko S yhdessä binäärioperaation * kanssa, eli pari (S, *), missä

  • * on määritelty funktioksi S × S → S.
Tämä tarkoittaa käytännössä vain sulkeutuvuutta: jokaisen a, b ∈ S kohdalla a * b ∈ S. Magmassa ei oleteta associatiivisuutta, yksikköä tai käänteisalkiota.

Esimerkkejä

  • (ℤ, +) — kokonaisluokat yhteenlaskulla: suljettu ja lisäksi associatiivinen, joten tämä on myös semiryhmä (semigroup).
  • (ℤ, −) — vähennysoperaatio on binäärioperaatio ja siksi magma, mutta se ei ole associatiivinen (esim. (3−2)−1 ≠ 3−(2−1)).
  • (ℝ³, ×) — vektorien ristitulo on binäärioperaatio ℝ³:ssa: suljettu mutta ei associatiivinen, joten magma mutta ei semiryhmä.
  • n×n-matriisit reaaliluvuilla matriisien kertolaskulla: suljettu ja associatiivinen (sittemmin monoidin tapaus, jos mukana on yksikkömatriisi).
  • Merkkijonojen joukko Σ* merkkijonojen yhdistämisellä (konkatenointi) on magma; se on myös assosiatiivinen ja muodostaa monoidin, kun tyhjä merkkijono on yksikkö.
  • Pieniä, äärellisiä joukkoja voi varustaa millä tahansa taulukon määrittelemällä binäärioperaatiolla; tällaiset taulukot kutsutaan Cayleyn taulukoiksi tai yksinkertaisesti operaatio-taulukoiksi.

Ominaisuudet ja laajennukset

  • Sulkeutuvuus: operaation kuva on kokonaan joukossa — tämä on magman ainoa vaatimus.
  • Associatiivisuus: jos * on associatiivinen (eli (a*b)*c = a*(b*c) kaikilla a,b,c), magmaa kutsutaan semiryhmäksi (semigroup).
  • Yksikkö: jos on olemassa e ∈ S siten, että e*a = a = a*e kaikille a, kyseessä on monoidi (jos lisäksi associatiivisuus pätee).
  • Käänteiset: jos jokaisella a on käänteinen a^{-1} siten, että a*a^{-1} = e = a^{-1}*a, ja operaatio on associatiivinen, rakenteesta tulee ryhmä.

Alirakenteet ja homogeeniset rakenteet

  • Alimagma (submagma): osajoukko T ⊆ S, joka on suljettu operaation suhteen, eli t1 * t2 ∈ T kaikilla t1,t2 ∈ T.
  • Homomorfismi: kuvauksen f: (S, *) → (T, ◦) täytyy säilyttää operaation: f(a * b) = f(a) ◦ f(b) kaikilla a,b ∈ S. Homomorfismien kuva ja ydin määrittävät monia rakenteellisia ominaisuuksia.
  • Konruenssi ja kvotientit: magmalle voi määritellä konruenssirelaation (yhtäpitävyys joka säilyttää operaation) ja muodostaa sen avulla kvotienttijoukon, analogisesti muihin algebrallisiin rakenteisiin.

Äärelliset magmat ja Cayleyn taulukko

Äärellisessä magmassa operaation voi esittää taulukkomuodossa: rivit ja sarakkeet ovat joukon alkioita ja niiden leikkausruudussa on tulos. Tämä taulukko auttaa tunnistamaan ominaisuuksia kuten commutiivisuus (symmetria taulukossa) tai associatiivisuuden puutteen (joka ei kuitenkaan näy suoraan taulukosta ilman lisätarkastelua).

Sanallisia huomautuksia

  • Joissain kirjallisuuksissa sanaa groupoid on käytetty magmasta synonyyminä; nykyään termi groupoid viittaa usein eri käsitteeseen (kategoriateorian ryhmäpuolueen laajennus), joten varovaisuus terminologiassa on tarpeen.
  • Tyhjä joukko: jos sallitaan tyhjä joukko, sille on olemassa yksikäsitteinen binäärioperaatio (tyhjä funktio ∅×∅ → ∅), joten tyhjä magma on mahdollinen. Joissakin yhteyksissä tyhjää joukkoa ei kuitenkaan sallita, joten käytä konventiota johdonmukaisesti.

Yhteenvetona: magma on hyvin yleinen ja vähäehtoinen algebrallinen rakenne — se koostuu vain joukosta ja joukossa määritellystä binäärioperaatiosta. Monet tunnetut rakenteet (semiryhmät, monoidit, ryhmät) ovat magman erikoistapauksia, joissa lisätään vaatimuksia kuten associatiivisuus, yksikkö ja käänteiset.

Esimerkkejä

Luonnolliset luvut yhteenlaskun kanssa muodostavat magman. Koska luonnollisten lukujen joukko kirjoitetaan muodossa N {\displaystyle \mathbb {N} }{\displaystyle \mathbb {N} } ja yhteenlasku kirjoitetaan muodossa + {\displaystyle +}{\displaystyle +} , magma kirjoitetaan muodossa ( N , + ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}{\displaystyle (\mathbb {N} ,+)} . Magman nimi olisi "Luonnolliset luvut yhteenlaskussa".

Kertolaskujen kokonaisluvut muodostavat magman. Koska kokonaislukujen joukko kirjoitetaan muotoon Z {\displaystyle \mathbb {Z} }{\displaystyle \mathbb {Z} } ja kertolasku (abstraktissa matematiikassa) kirjoitetaan ⋅ {\displaystyle \cdot }\cdot magma kirjoitetaan ( Z , ⋅ ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\cdot )}{\displaystyle (\mathbb {Z} ,\cdot )} . Magman nimi olisi "Kertolaskun alaiset kokonaisluvut".

Jakautuvat reaaliluvut eivät muodosta magmaa. Tämä johtuu siitä, että lukuja ei voi jakaa 0:lla. Binäärioperaatio edellyttää, että joukosta voidaan ottaa (tässä tapauksessa järjestyksessä) mitä tahansa kahta alkiota, jotta joukosta saadaan toinen alkio. Reaaliluvut ilman 0:ta kirjoitetaan R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}. Voidaan osoittaa, että ( R ∗ , ÷ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\div )}{\displaystyle (\mathbb {R} ^{*},\div )} on magma.

 


Etsiä
AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3