Distributiivinen laki (tai jakolaki) on algebran keskeinen periaate: se kertoo, miten yksi binäärioperaatio "jakautuu" toisen yli. Yksinkertaisin ja tutuin esimerkki on kertolaskun jakautuminen yhteenlaskun yli reaaliluvuilla. Tämä tarkoittaa, että kertominen ja yhteenlasku liittyvät toisiinsa siten, että yhden luvun kertominen summalla antaa saman kuin kyseisen luvun kertominen summan jokaisella jäsenellä erikseen ja näiden tulosten yhteenlasku. Esimerkiksi aritmetiikassa:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), mutta 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

Vasemmanpuoleisessa lausekkeessa luku 2 kertoo summan (1 + 3); oikealla 2 kertoo ensin 1:n ja 3:n erikseen, ja tuotteet lisätään. Koska nämä antavat saman tuloksen (8), sanotaan, että kertolasku 2:lla jakautuu yhteenlaskun yli. Tämä pitää paikkansa, koska edellä olevien 2, 1 ja 3 tilalle voidaan laittaa mielivaltaiset reaaliluvut; siis reaalilukujen kertominen jakautuu reaalilukujen yhteenlaskuun nähden.

Määritelmä ja merkintä

Yleinen muoto. Olkoot * ja + kaksi binäärioperaatiota joukossa. Sanoaaan, että * jakautuu +:n yli, jos kaikilla a, b, c pätee

a*(b + c) = a*b + a*c

Usein vaaditaan myös oikea-jakautuvuus:

(b + c)*a = b*a + c*a

Jos molemmat ehdot pätevät, sanotaan vain, että * on distributiivinen +:n suhteen. Vasemman- ja oikeanpuoleista distributiivisuutta kutsutaan myös vasemmaksi ja oikeaksi distributiivisuudeksi.

Lisäesimerkkejä

  • Negatiiviset ja murtoluvut: Distributiivisuus pätee kaikille reaaliluvuille: esimerkiksi 2(5 − 3) = 2·5 − 2·3 = 4 ja 1/2·(6 + 2) = 1/2·6 + 1/2·2 = 3 + 1 = 4.
  • Vektorit ja matriisit: Matriisikertolasku jakautuu matriisien yhteenlaskun yli (sekä vasemmalta että oikealta), vaikka matriisikertolasku ei yleensä ole kommutatiivinen.
  • Polynomit: Polynomien kertolasku jakautuu yhteenlaskun yli, mikä mahdollistaa termien kertomisen erikseen ja loppujen yhteenlaskun.
  • Funktion pistekohtainen kertolasku: Jos f ja g ovat reaalifunktioita ja (f·g)(x) = f(x)g(x), niin pistekohtainen kertolasku jakautuu pistekohtaisen yhteenlaskun yli.
  • Boolen algebra: Looginen JA (∧) jakautuu loogisen TAI:n (∨) yli ja päinvastoin tietyissä rakenteissa; Boolean-algebrassa distributiivisuus voi päteä molempiin suuntiin.

Mitkä operaatiot eivät distribuoidu?

  • Jakolasku: Yleisesti jakolasku ei jakaannu yhteenlaskun yli: esimerkiksi 6/(2+1)=2, mutta 6/2 + 6/1 = 3 + 6 = 9 ≠ 2.
  • Potenssi: Eksponentti ei yleensä jakaudu yhteenlaskun yli: (a + b)^2 ≠ a^2 + b^2 (yleensä lisättäväksi tulee ristitulot 2ab).

Lisätietoja ja huomautuksia

  • Distributiivisuus on algebraisten rakenteiden (esim. renkaiden ja kenttien) tärkeä ominaisuus. Esimerkiksi rengassa kertolasku on distributiivinen yhteenlaskun suhteen.
  • Distributiivisuus on käänteisesti yhdistettävissä faktorisointiin: a*b + a*c = a*(b + c). Tämä on keskeinen laskusääntö yhtälöiden sieventämisessä ja lausekkeiden muokkaamisessa.
  • Äärimmäisten (äärettömien) summien yli distributiivisuus edellyttää yleensä lisäehtoja, kuten sarjojen konvergenssia.
  • Ei-kommuttatiivisissa rakenteissa on tärkeää erottaa vasen ja oikea distributiivisuus, sillä toisinaan toinen voi päteä ilman toista.

Distributiivinen laki on siis perusrakenne monissa matemaattisissa järjestelmissä ja laskutavoissa — sen tunnistaminen ja käyttäminen tekee algebrallisesta muokkaamisesta ja todennäköisesti myös laskemisesta huomattavasti tehokkaampaa.