Varisto (matematiikka)
Matematiikassa algebralliset lajikkeet (myös lajikkeet) ovat yksi algebrallisen geometrian keskeisistä tutkimuskohteista. Ensimmäiset määritelmät määrittelivät algebrallisen lajikkeen polynomiyhtälösysteemin ratkaisujen joukoksi reaalilukujen tai kompleksilukujen alueella. Nykyaikaiset algebrallisen lajikkeen määritelmät yleistävät tätä käsitettä ja pyrkivät samalla säilyttämään alkuperäisen määritelmän taustalla olevan geometrisen intuition.
Algebrallisen lajikkeen määritelmää koskevat yleissopimukset vaihtelevat: Jotkut kirjoittajat edellyttävät, että "algebrallinen lajike" on määritelmän mukaan redusoitumaton (mikä tarkoittaa, että se ei ole kahden pienemmän, Zariskin topologian mukaan suljetun joukon unioni), kun taas toiset eivät. Kun käytetään ensin mainittua käytäntöä, ei-irreduusoituvia algebrallisia lajikkeita kutsutaan algebrallisiksi joukoiksi.
Lajikkeen käsite on samanlainen kuin moninaisuuden käsite. Eräs ero lajikkeen ja moninaisuuden välillä on se, että lajikkeella voi olla singulaarisia pisteitä, kun taas moninaisuudella ei ole. Noin vuonna 1800 todettu algebran perusteoria luo yhteyden algebran ja geometrian välille osoittamalla, että moniulotteinen polynomi yhdellä muuttujalla, jolla on kompleksiset kertoimet (algebrallinen kohde), määräytyy sen juurien joukon (geometrinen kohde) perusteella. Tätä tulosta yleistämällä Hilbertin Nullstellensatz tarjoaa perustavanlaatuisen vastaavuuden polynomirenkaiden ideaalien ja algebrallisten joukkojen välillä. Nollstellensatzin ja siihen liittyvien tulosten avulla matemaatikot ovat luoneet vahvan vastaavuuden algebrallisia joukkoja koskevien kysymysten ja rengasteorian kysymysten välille. Tämä vastaavuus on algebrallisen geometrian erityispiirre muiden geometrian osa-alueiden joukossa.
Kierretty kuutio on projektiivinen algebrallinen lajike.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mitä ovat algebralliset lajikkeet?
V: Algebralajikkeet ovat yksi algebrallisen geometrian keskeisistä tutkimuskohteista. Ne määritellään reaalilukujen tai kompleksilukujen yli olevan polynomiyhtälösysteemin ratkaisujen joukoksi.
K: Miten nykyaikaiset määritelmät eroavat alkuperäisestä määritelmästä?
V: Nykyaikaiset määritelmät pyrkivät säilyttämään alkuperäisen määritelmän taustalla olevan geometrisen intuition ja samalla yleistämään sitä. Jotkut kirjoittajat vaativat, että "algebrallinen lajike" on määritelmän mukaan redusoitumaton (mikä tarkoittaa, että se ei ole kahden pienemmän, Zariskin topologiassa suljetun joukon unioni), kun taas toiset eivät.
Kysymys: Mitä eroa on lajikkeen ja moninaisuuden välillä?
V: Moninaisuudella voi olla singulaarisia pisteitä, kun taas moninaisuudella ei.
K: Mitä algebran perusteoriassa todetaan?
V: Algebran perusteoreema luo yhteyden algebran ja geometrian välille osoittamalla, että moninen polynomi yhdessä muuttujassa, jolla on kompleksiset kertoimet (algebrallinen kohde), määräytyy sen juurien joukon (geometrinen kohde) mukaan.
Kysymys: Mitä Hilbertin Nullstellensatz tarjoaa?
V: Hilbertin Nullstellensatz tarjoaa perustavanlaatuisen vastaavuuden polynomirenkaiden ideaalien ja algebrallisten joukkojen välillä.
K: Miten matemaatikot ovat käyttäneet tätä vastaavuutta?
V: Matemaatikot ovat tämän vastaavuuden avulla luoneet vahvan vastaavuuden algebrallisia joukkoja koskevien kysymysten ja rengasteorian kysymysten välille.
K: Mikä tekee tästä alueesta ainutlaatuisen muiden geometrian osa-alueiden joukossa? V: Tämä vahva vastaavuus algebrallisia joukkoja koskevien kysymysten ja rengasteorian kysymysten välillä tekee tästä alueesta ainutlaatuisen muiden geometrian osa-alueiden joukossa.
