Algebrallinen geometria
Algebrallinen geometria on matematiikan haara, joka tutkii polynomiyhtälöitä. Nykyaikainen algebrallinen geometria perustuu abstraktin algebran, erityisesti kommutatiivisen algebran, abstraktimpiin tekniikoihin ja geometrian kieleen ja ongelmiin.
Algebrallisen geometrian tärkeimpiä tutkimuskohteita ovat algebralliset lajikkeet, jotka ovat polynomiyhtälösysteemien ratkaisujoukkojen geometrisia ilmentymiä. Esimerkkejä eniten tutkituista algebrallisten lajikkeiden luokista ovat: tasomaiset algebralliset käyrät, joihin kuuluvat suorat, ympyrät, paraabelit, ellipsit, hyperbolit, kuutiokäyrät, kuten elliptiset käyrät, ja kvartaalikäyrät, kuten lemniskaatit, sekä kasini-ovaalit. Tason piste kuuluu algebralliseen käyrään, jos sen koordinaatit täyttävät tietyn polynomiyhtälön. Peruskysymyksiin liittyy erityisen kiinnostavien pisteiden, kuten singulaaripisteiden, taivutuspisteiden ja äärettömyyspisteiden tutkiminen. Edistyneemmät kysymykset koskevat käyrän topologiaa ja eri yhtälöiden antamien käyrien välisiä suhteita.
Algebrallisella geometrialla on keskeinen asema nykyaikaisessa matematiikassa. Sen käyttämät käsitteet yhdistävät sen niinkin erilaisiin aloihin kuin kompleksianalyysiin, topologiaan ja lukuteoriaan. Aluksi algebrallisessa geometriassa tutkittiin useiden muuttujien polynomiyhtälöiden järjestelmiä. Algebrallinen geometria alkaa siitä, mihin yhtälönratkaisu jää: Monissa tapauksissa niiden ominaisuuksien löytäminen, joita kaikilla tietyn yhtälöryhmän ratkaisuilla on, on tärkeämpää kuin tietyn ratkaisun löytäminen: tämä johtaa joihinkin koko matematiikan syvimpiin alueisiin sekä käsitteellisesti että teknisesti.
1900-luvulla algebrallinen geometria on jakautunut useisiin osa-alueisiin.
- Algebrallisen geometrian päävirta on omistettu algebrallisten lajikkeiden kompleksisten pisteiden tutkimiselle ja yleisemmin pisteille, joiden koordinaatit ovat algebrallisesti suljetussa kentässä.
- Algebrallisen lajikkeen, jonka koordinaatit ovat rationaalilukujen kentässä tai jossakin lukukentässä, pisteiden tutkimisesta tuli aritmeettinen geometria (tai klassisemmin diofanttinen geometria), joka on algebrallisen lukuteorian osa-alue.
- Algebrallisen lajikkeen reaalipisteiden tutkiminen on reaalialgebrallisen geometrian aihe.
- Suuri osa singulariteettiteoriasta on omistettu algebrallisten lajikkeiden singulariteeteille.
- Kun tietokoneet yleistyivät, kehittyi ala nimeltä "laskennallinen algebrallinen geometria". Se tarkastelee algebrallisen geometrian ja tietokoneralgebran risteyskohtia. Siinä kehitetään algoritmeja ja ohjelmistoja, joiden avulla voidaan tutkia ja löytää eksplisiittisesti annettujen algebrallisten lajikkeiden ominaisuuksia.
Suuri osa algebrallisen geometrian päävirran kehityksestä 1900-luvulla tapahtui abstraktissa algebrallisessa viitekehyksessä, ja yhä enemmän painotettiin algebrallisten lajikkeiden "luontaisia" ominaisuuksia, jotka eivät riipu mistään tietystä tavasta upottaa lajike ympäröivään koordinaattiavaruuteen. Topologian, differentiaali- ja kompleksigeometrian kehitys tapahtui pitkälti samalla tavalla. Yksi tämän abstraktin algebrallisen geometrian keskeisistä saavutuksista on Grothendieckin skeemateoria, jonka avulla algebrallisia lajikkeita voidaan tutkia leikkausteorian avulla tavalla, joka on hyvin samankaltainen kuin sen käyttö differentiaali- ja analyyttisten moninaisuuksien tutkimuksessa. Tämä saavutetaan laajentamalla pisteen käsitettä: klassisessa algebrallisessa geometriassa affiinisen lajikkeen piste voidaan Hilbertin Nullstellensatzin avulla identifioida koordinaattirenkaan maksimaalisen ideaalin kanssa, kun taas vastaavan affiinisen skeeman pisteet ovat kaikki tämän renkaan primääri-ideaaleja. Tämä tarkoittaa, että tällaisen järjestelmän piste voi olla joko tavallinen piste tai alijoukko. Tämä lähestymistapa mahdollistaa myös klassisen algebrallisen geometrian, joka käsittelee pääasiassa kompleksisia pisteitä, ja algebrallisen lukuteorian kielen ja välineiden yhdistämisen. Wilesin todistus pitkään voimassa olleesta Fermat'n viimeiseksi lauseeksi kutsutusta arvelusta on esimerkki tämän lähestymistavan voimasta.
Tämä Togliatti-pinta on algebrallinen pinta, jonka aste on viisi. Kuvassa on osa sen reaalilokusta.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mitä on algebrallinen geometria?
V: Algebrallinen geometria on matematiikan haara, joka tutkii polynomiyhtälöitä.
K: Mitä tekniikoita käytetään nykyaikaisessa algebrallisessa geometriassa?
V: Nykyaikaisessa algebrallisessa geometriassa käytetään abstraktin algebran abstraktimpia tekniikoita, kuten kommutatiivista algebraa, geometrian kielen ja ongelmien käsittelemiseen.
K: Minkä tyyppisiä yhtälöitä algebrallinen geometria tutkii?
V: Algebrallinen geometria tutkii polynomiyhtälöitä.
K: Miten siinä käytetään abstraktia algebraa?
V: Se käyttää abstraktia algebraa, erityisesti kommutatiivista algebraa, geometriaan liittyvän kielen ja ongelmien ymmärtämiseen.
K: Käytetäänkö tällä alalla tietynlaista kieltä?
V: Kyllä, moderni algebrallinen geometria käyttää geometriaan liittyvää kieltä ja ongelmia.
K: Miten moderni teknologia on vaikuttanut tähän alaan?
V: Nykyteknologia on mahdollistanut abstraktin algebran kehittyneempien tekniikoiden käytön polynomiyhtälöiden tutkimisessa tällä alalla.
