Differentiaaliyhtälö
Differentiaaliyhtälö on matemaattinen yhtälö, johon liittyy muuttujia, kuten x tai y, sekä näiden muuttujien muutosnopeus. Differentiaaliyhtälöt ovat erityisiä, koska differentiaaliyhtälön ratkaisu on itse funktio eikä luku.
Kuva ilmavirtauksesta, joka on mallinnettu differentiaaliyhtälön avulla.
Differentiaaliyhtälöiden tyypit
Jos differentiaaliyhtälössä on mukana vain x ja sen derivaatta eli x:n muutosnopeus, sitä kutsutaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöksi. Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälössä on muiden derivaattojen derivaatat. Jos muuttujia on enemmän kuin vain x ja y, sanotaan, että kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö. Joskus jokin asia maailmassa noudattaa samanaikaisesti useita differentiaaliyhtälöitä. Näitä sanotaan mallinnettavan kytketyillä differentiaaliyhtälöillä.
Jotkin differentiaaliyhtälöt voidaan ratkaista tarkasti, jotkin taas eivät. Joskus jokin niistä voidaan vain arvioida, ja tietokoneohjelma voi tehdä sen hyvin nopeasti. Vaikka differentiaaliyhtälöt saattavat tuntua liian monimutkaisilta sellaisesta, joka ei ole aiemmin tutkinut differentiaaliyhtälöitä, differentiaaliyhtälöitä käyttävät ihmiset kertovat, etteivät he pystyisi selvittämään tärkeitä asioita ilman niitä. Useimmat tiedemiehet ja insinöörit (samoin kuin matemaatikot) käyvät yliopistossa ainakin yhden differentiaaliyhtälökurssin. Jotkut matemaatikot omistavat uransa vaikeasti ratkaistavien differentiaaliyhtälöiden tutkimiselle.
Käyttää
Differentiaaliyhtälöitä käytetään monilla tieteenaloilla, koska ne kuvaavat todellisia asioita:
- Fysiikassa erilaisille liikkeille tai värähtelyille.
- Radioaktiivinen hajoaminen lasketaan differentiaaliyhtälöiden avulla.
- Isaac Newtonin toinen liikelaki
- Newtonin jäähdytyslaki
- Aaltoyhtälö
- Laplacen yhtälö
- Navier-Stokesin yhtälöt kuvasivat nesteiden liikettä seuraavasti
- Yleisen mekaniikan Hamiltonin yhtälöt
Differentiaaliyhtälöistä opiskelleet henkilöt
- Carl Gustav Jacob Jacobi
- Hiroshi Umemura
- Israel Gelfand
- Peter Lax
- Ryogo Hirota
- Sofya Kovalevskaja
- Vladimir Arnold
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on differentiaaliyhtälö?
A: Differentiaaliyhtälö on matemaattinen yhtälö, johon liittyy muuttujia ja niiden muutosnopeuksia.
K: Miksi differentiaaliyhtälöt ovat erityisiä?
V: Differentiaaliyhtälöt ovat erityisiä, koska ratkaisu on funktiona eikä lukuna.
K: Millaisia ongelmia differentiaaliyhtälöt auttavat ratkaisemaan?
V: Differentiaaliyhtälöt auttavat ratkaisemaan ongelmia, joissa yhden muuttujan riippuvuus toisesta muuttujasta on tuntematon, mutta se voidaan ilmaista derivaatana.
K: Mikä on differentiaaliyhtälöiden ja funktioiden löytämisen välinen suhde?
V: Differentiaaliyhtälöt auttavat löytämään funktion sen derivaatan avulla, joka liittyy muihin lausekkeisiin.
K: Mitä muuttujia differentiaaliyhtälössä on mukana?
V: Differentiaaliyhtälössä on mukana muuttujia, kuten x tai y, ja niiden muutosnopeudet.
K: Miten differentiaaliyhtälöt eroavat tavallisista yhtälöistä?
V: Differentiaaliyhtälöt eroavat tavallisista yhtälöistä, koska ratkaisu on funktio eikä luku.
K: Missä tilanteissa differentiaaliyhtälöstä voi olla hyötyä?
V: Differentiaaliyhtälöt ovat hyödyllisiä ongelmissa, joissa yhden parametrin riippuvuus toisesta on epäselvä, mutta se voidaan ilmaista derivaatana.
