Eksponenttifunktio | funktio, joka kasvaa yhä nopeammin ja nopeammin

Ominaisuudet

Koska eksponenttifunktiot käyttävät eksponenttia, ne noudattavat samoja eksponenttisääntöjä. Näin ollen,

e x + y = exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) = e x e y {\displaystyle e^{x+y}=\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)=e^{x}e^{y}}} .

Tästä seuraa sääntö, että x a ⋅ x b = x a + b {\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}}} .

Luonnollinen logaritmi on eksponenttifunktion käänteisoperaatio, jossa:

ln ( x ) = log e ( x ) = log ( x ) log ( e ) {\displaystyle \ln(x)=\log _{e}(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}

Eksponenttifunktiolla on mielenkiintoinen ja tärkeä ominaisuus differentiaalilaskennassa:

d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}

Tämä tarkoittaa, että eksponenttifunktion kaltevuus on itse eksponenttifunktio, ja sen kaltevuus on 1 kohdassa x = 0 {\displaystyle x=0} . Näiden ominaisuuksien vuoksi se on tärkeä funktio matematiikassa.

 

Sovellukset

Yleinen eksponenttifunktio, jonka perusta ei välttämättä ole e {\displaystyle e} on yksi hyödyllisimmistä matemaattisista funktioista. Sitä käytetään kuvaamaan eksponentiaalista kasvua, jota käytetään lähes kaikilla tieteenaloilla ja joka on merkittävä myös rahoituksessa. Toinen eksponenttifunktion sovellus on eksponentiaalinen hajoaminen, jota esiintyy radioaktiivisessa hajoamisessa ja valon absorptiossa.

Yksi esimerkki eksponenttifunktiosta todellisessa elämässä on pankin korko. Jos henkilö tallettaa 100 puntaa tilille, jolle maksetaan 3 % korkoa kuukaudessa, saldo on joka kuukausi (olettaen, että rahat ovat koskemattomia) seuraava:

Kuukausi	Balance	Kuukausi	Balance
Tammikuu	£100.00	Heinäkuu	£119.41
Helmikuu	£103.00	Elokuu	£122.99
Maaliskuu	£106.09	Syyskuu	£126.68
Huhtikuu	£109.27	Lokakuu	£130.48
Toukokuu	£112.55	Marraskuu	£134.39
Kesäkuu	£115.93	Joulukuu	£138.42

Huomaa, miten koroista saatava lisäraha kasvaa kuukausittain, sillä mitä suurempi alkuperäinen saldo on, sitä enemmän korkoa henkilö saa.

Seuraavassa on kaksi matemaattista esimerkkiä eksponenttifunktioista (joiden emäs on a).

 

Suhde matemaattiseen vakioon e

Vaikka perusluku ( a {\displaystyle a} ) voi olla mikä tahansa nollaa suurempi luku, esimerkiksi 10 tai 1/2, usein se on erityinen luku nimeltä e. Lukua e ei voi kirjoittaa tarkasti, mutta se on lähes yhtä suuri kuin 2,71828.

Luku e on tärkeä jokaisessa eksponenttifunktiossa. Esimerkiksi pankki maksaa korkoa 0,01 prosenttia joka päivä. Yksi henkilö ottaa korkorahansa ja laittaa ne laatikkoon. 10 000 päivän (noin 30 vuoden) kuluttua hänellä on kaksi kertaa niin paljon rahaa kuin hänellä oli aluksi. Toinen henkilö ottaa korkorahansa ja laittaa ne takaisin pankkiin. Koska pankki maksaa hänelle nyt korkoa korolleen, rahamäärä on eksponenttifunktio.

Itse asiassa 10 000 päivän jälkeen hänellä ei ole 2 kertaa niin paljon rahaa kuin hän aloitti, vaan 2,718145 kertaa niin paljon rahaa kuin hän aloitti. Tämä luku on hyvin lähellä lukua e. Jos pankki maksaa korkoa useammin, jolloin joka kerta maksettava määrä on pienempi, luku on lähempänä lukua e. Jos pankki maksaa korkoa useammin, luku on pienempi.

Kuvasta voi myös nähdä, miksi luku e on tärkeä eksponenttifunktioissa. Kuvassa on kolme erilaista käyrää. Käyrä, jossa on mustat pisteet, on eksponenttifunktio, jonka perusta on hieman pienempi kuin e. Käyrä, jossa on lyhyet mustat viivat, on eksponenttifunktio, jonka perusta on hieman suurempi kuin e. Sininen käyrä on eksponenttifunktio, jonka perusta on täsmälleen sama kuin e. Punainen viiva on sinisen käyrän tangentti. Se koskettaa sinistä käyrää yhdessä kohdassa ylittämättä sitä. Henkilö voi nähdä, että punainen käyrä ylittää x-akselin, viivan, joka kulkee vasemmalta oikealle -1. Tämä pätee vain siniselle käyrälle. Tämä on syy siihen, että eksponenttifunktio, jonka perusta on e, on erityinen.

 
e on ainoa sellainen luku a, että eksponenttifunktion f (x) = ax (sininen käyrä) derivaatan arvo pisteessä x = 0 on täsmälleen 1. Vertailun vuoksi on esitetty funktiot 2x (katkoviiva) ja 4x (katkoviiva), jotka eivät ole tangentteja kaltevuudeltaan 1 (punainen) olevaan suoraan.  

Aiheeseen liittyvät sivut

• Logaritmi