Neperin luku (e) — määritelmä, arvo ja merkitys
e on matemaattinen vakio, noin 2,71828182845904523536. Sitä kutsutaan myös Eulerin luvuksi (sveitsiläisen matemaatikon Leonhard Eulerin mukaan) tai Napierin vakioksi (skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan). e on yksi tärkeimmistä vakioista matematiikassa, kuten π ja imaginaariyksikkö i. Luku on irrationaaliluku eli sen desimaaliasteikko ei lopu eikä toistu jaksollisesti. Desimaaliesitys alkaa 2,71828182845904523536…; Euler laski aikoinaan lukemattomia desimaaleja, ja myöhemmin arvoa on laskettu paljon tarkemminkin.
Määritelmä ja tavalliset esitystavat
Yleisimmät tavat määritellä e ovat:
- rajoitteen avulla: e = limn→∞ (1 + 1/n)n, joka liittyy korkoa korolle -ilmiöön;
- sarjana: e = Σk=0∞ 1/k!, eli 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + …;
- jatkuneena murtolana: e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,…], jossa jatkuva murtolausekkeen rakenne toistaa tietyn kuvion.
Keskeiset ominaisuudet
- Derivaatta: eksponenttifunktio base e:llä täyttää d/dx ex = ex, eli se on oma derivaattaansa.
- Luonnollinen logaritmi: ln(x) on logaritmi pohjassa e; ln(e) = 1 ja d/dx ln(x) = 1/x.
- Irrationaalisuus ja transsendentaalisuus: e on irrationaalinen (sen desimaalit eivät muodosta periodia) ja lisäksi transsendentaalinen — se ei ole minkään polynomin juuri kokonais- tai rationaalikertoimilla (transsendentaalisuuden todisti Charles Hermite 1800-luvulla).
- Kompleksiyhteydet: e esiintyy keskeisesti kompleksilaskennassa, esim. Eulerin kaunis identiteetti eiπ + 1 = 0 yhdistää luvut e, π, i, 1 ja 0.
Historia lyhyesti
Ilmiö, joka johtaa lukuun e, havaittiin, kun tutkittiin korkoa korolle -laskentaa. Tätä tapaa tutki muun muassa Jacob Bernoulli 1600-luvun lopulla, ja raja-arvo (1 + 1/n)n n→∞ antaa juuri e. Sittemmin Euler popularisoi vakion kirjaimella e ja käytti sitä laajasti analyysissä, minkä vuoksi luku tunnetaan myös hänen nimellään.
Sovelluksia
e esiintyy laajasti eri matematiikan ja sovellusten aloilla:
- Korkoa korolle -laskenta ja talousmatematiikka;
- Differential equations ja mallit eksponentiaaliseen kasvuun tai hajoamiseen (populaatiot, radioaktiivinen hajoaminen);
- Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede — esimerkiksi Poisson-jakauma ja normaalijakauman eksponenttiosa käyttävät e:llä kirjoitettuja lausekkeita;
- Kompleksianalyysi ja Fourier-analyysi;
- Laskennassa ja numeerisissa menetelmissä esiintyvät eksponenttifunktiot ja niiden laajennukset.
Esimerkkejä
Perusesimerkki eksponenttifunktion ominaisuudesta: funktio f(x) = ex kasvaa nopeammin kuin mikä tahansa polynomi ja säilyttää saman muodon derivaatassaan ja integraalissaan. Luonnollinen logaritmi ln(x) on sen käänteisfunktio, ja useat differentiaaliyhtälöt ratkaistaan muotoihin, joissa esiintyy ekt-tyyppisiä termejä.
Yhteenvetona: e on perustavanlaatuinen matematiikan vakio, jolla on yksinkertaisia ja kauniita matemaattisia määritelmiä sekä lukemattomia sovelluksia tiedettä ja tekniikkaa myöten. Se näyttää yksinkertaiselta desimaaliluvulta, mutta sen rakenteella ja esiintymisillä on syviä yhteyksiä matematiikan eri osa-alueisiin.
Maaginen Heiroglyphs
On monia eri tapoja määritellä e. Jacob Bernoulli, joka löysi e:n, yritti ratkaista ongelman:
lim n → ∞ ( +1 n 1) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}. } 
Toisin sanoen on olemassa luku, jota lauseke ( +1 n 1) n {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}} 
lähestyy, kun n kasvaa. Tämä luku on e.
Toinen määritelmä on löytää seuraavan kaavan ratkaisu:
2 + +22 + +33 + + 44+ 556⋱ {\displaystyle 2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{\ddots \,}}}}}}}}}}} 
Sinisellä (yhtälön y=1/x kuvaajan alla) esitetty alue, joka ulottuu 1:stä e:hen, on täsmälleen 1.
Luvun e 200 ensimmäistä paikkaa
Ensimmäiset 200 numeroa desimaalipisteen jälkeen ovat:
e = . 271828182845904523536028747135266249775724709369995 {\displaystyle e=2{.}71828\;18284\;59045\;23536\;02874\;71352\;66249\; 77572\;47093\;69995} 
95749669676277240766303535475945713821785251664274 {\displaystyle \;95749\;66967\;62772\;40766\;30353\;54759\;45713\;82178\;52516\;64274} 
27466391932003059921817413596629043572900334295260 {\displaystyle \;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260} 
59563073813232862794349076323382988075319525101901 … {\displaystyle \;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots } 
.
Kysymyksiä ja vastauksia
K: Mikä on numero e?
A: Luku e on matemaattinen vakio, joka on luonnollisen logaritmin perusta ja jonka arvo on noin 2,71828.
K: Kuka on Euler ja miksi e:tä kutsutaan joskus Eulerin luvuksi?
V: Euler oli sveitsiläinen matemaatikko, ja e:tä kutsutaan joskus hänen mukaansa Eulerin luvuksi, koska hän antoi merkittävän panoksen sen tutkimiseen.
K: Kuka on Napier ja miksi e:tä kutsutaan joskus Napierin vakioksi?
V: Napier oli skotlantilainen matemaatikko, joka otti käyttöön logaritmit, ja e:tä kutsutaan joskus hänen kunniakseen Napierin vakioksi.
K: Onko e tärkeä matemaattinen vakio?
V: Kyllä, e on tärkeä matemaattinen vakio, joka on yhtä tärkeä kuin π ja i.
K: Millainen luku e on?
V: e on irrationaaliluku, jota ei voida esittää kokonaislukujen suhteena ja joka on myös transsendentaalinen (ei minkään nollasta poikkeavan polynomin, jolla on rationaalikertoimet, juuri).
K: Miksi luku e on tärkeä matematiikassa?
V: Luku e on tärkeä matematiikassa, koska sillä on suuri merkitys eksponenttifunktioiden kannalta, ja se kuuluu viiden tärkeän matemaattisen vakion ryhmään, jotka esiintyvät yhdessä Eulerin identiteetin muotoilussa.
K: Kuka löysi luvun e ja milloin?
V: Luvun e löysi sveitsiläinen matemaatikko Jacob Bernoulli vuonna 1683, kun hän tutki korkokorkoa.
