e on matemaattinen vakio, noin 2,71828182845904523536. Sitä kutsutaan myös Eulerin luvuksi (sveitsiläisen matemaatikon Leonhard Eulerin mukaan) tai Napierin vakioksi (skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan). e on yksi tärkeimmistä vakioista matematiikassa, kuten π ja imaginaariyksikkö i. Luku on irrationaaliluku eli sen desimaaliasteikko ei lopu eikä toistu jaksollisesti. Desimaaliesitys alkaa 2,71828182845904523536…; Euler laski aikoinaan lukemattomia desimaaleja, ja myöhemmin arvoa on laskettu paljon tarkemminkin.

Määritelmä ja tavalliset esitystavat

Yleisimmät tavat määritellä e ovat:

  • rajoitteen avulla: e = limn→∞ (1 + 1/n)n, joka liittyy korkoa korolle -ilmiöön;
  • sarjana: e = Σk=0∞ 1/k!, eli 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + …;
  • jatkuneena murtolana: e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,…], jossa jatkuva murtolausekkeen rakenne toistaa tietyn kuvion.

Keskeiset ominaisuudet

  • Derivaatta: eksponenttifunktio base e:llä täyttää d/dx ex = ex, eli se on oma derivaattaansa.
  • Luonnollinen logaritmi: ln(x) on logaritmi pohjassa e; ln(e) = 1 ja d/dx ln(x) = 1/x.
  • Irrationaalisuus ja transsendentaalisuus: e on irrationaalinen (sen desimaalit eivät muodosta periodia) ja lisäksi transsendentaalinen — se ei ole minkään polynomin juuri kokonais- tai rationaalikertoimilla (transsendentaalisuuden todisti Charles Hermite 1800-luvulla).
  • Kompleksiyhteydet: e esiintyy keskeisesti kompleksilaskennassa, esim. Eulerin kaunis identiteetti eiπ + 1 = 0 yhdistää luvut e, π, i, 1 ja 0.

Historia lyhyesti

Ilmiö, joka johtaa lukuun e, havaittiin, kun tutkittiin korkoa korolle -laskentaa. Tätä tapaa tutki muun muassa Jacob Bernoulli 1600-luvun lopulla, ja raja-arvo (1 + 1/n)n n→∞ antaa juuri e. Sittemmin Euler popularisoi vakion kirjaimella e ja käytti sitä laajasti analyysissä, minkä vuoksi luku tunnetaan myös hänen nimellään.

Sovelluksia

e esiintyy laajasti eri matematiikan ja sovellusten aloilla:

  • Korkoa korolle -laskenta ja talousmatematiikka;
  • Differential equations ja mallit eksponentiaaliseen kasvuun tai hajoamiseen (populaatiot, radioaktiivinen hajoaminen);
  • Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede — esimerkiksi Poisson-jakauma ja normaalijakauman eksponenttiosa käyttävät e:llä kirjoitettuja lausekkeita;
  • Kompleksianalyysi ja Fourier-analyysi;
  • Laskennassa ja numeerisissa menetelmissä esiintyvät eksponenttifunktiot ja niiden laajennukset.

Esimerkkejä

Perusesimerkki eksponenttifunktion ominaisuudesta: funktio f(x) = ex kasvaa nopeammin kuin mikä tahansa polynomi ja säilyttää saman muodon derivaatassaan ja integraalissaan. Luonnollinen logaritmi ln(x) on sen käänteisfunktio, ja useat differentiaaliyhtälöt ratkaistaan muotoihin, joissa esiintyy ekt-tyyppisiä termejä.

Yhteenvetona: e on perustavanlaatuinen matematiikan vakio, jolla on yksinkertaisia ja kauniita matemaattisia määritelmiä sekä lukemattomia sovelluksia tiedettä ja tekniikkaa myöten. Se näyttää yksinkertaiselta desimaaliluvulta, mutta sen rakenteella ja esiintymisillä on syviä yhteyksiä matematiikan eri osa-alueisiin.