Laskennan peruslauseet: derivaatta ja integraali selitetty

Laskennan peruslauseet ovat keskeinen osa laskennan opiskelua. Ne kuvaavat dérivaatan ja integraalin välistä perustavaa suhdetta ja jakautuvat kahteen osaan: ensimmäiseen ja toiseen peruslauseeseen. Molemmat antavat sekä teoreettisen että käytännöllisen yhteyden differentiaalilaskennan ja integraalilaskennan välillä.

Ensimmäinen peruslause

Ensimmäinen peruslause kertoo, miten määrätty integraali riippuu integraalin ylärajasta. Olkoot f jatkuva funktiona välillä [a, b] ja määritellään funktion F(x) muodossa

F(x) = ∫_a^x f(t) dt.

Tällöin F on derivoituva ja sen derivaatta on alkuperäinen funktio:

F'(x) = f(x) (kaikilla x ∈ (a, b)).

Tämä tarkoittaa käytännössä, että määrätyn integraalin 'kertymäfunktio' F muuttuu paikallisesti nopeudella, joka on yhtä suuri kuin integroitava funktio f. Ehto f:n jatkuvuudesta varmistaa, että raja-arvot ja derivaatti käyttäytyvät hyvin.

Toinen peruslause

Toinen peruslause yhdistää antiderivaatat ja määrätyn integraalin. Jos f on jatkuva välillä [a, b] ja F on mikä tahansa antiderivaatta (eli F'(x) = f(x)), niin

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Tämä antaa käytännöllisen tavan laskea määrätty integraali: etsit antiderivaatan F ja arvioit sen erotuksen päätepisteissä. Tämän lauseen avulla integraalin laskeminen muuttuu derivoinnin käänteiseksi tehtäväksi.

Epämääräinen integraali ja antiderivaatat

Epämääräinen integraali merkitään muodossa ∫ f(x) dx ja tarkoittaa kaikkia funktioita F(x), joiden derivaatta on f(x). Kirjoitetaan yleensä

∫ f(x) dx = F(x) + C,

missä C on mielivaltainen vakio (integrointivakio). Tämä korostaa, että antiderivaatta on määritelty vain kertymäfunktion vakiomuunnoksella.

Yleisiä esimerkkejä

f(x) = x^2 → antiderivaatta F(x) = x^3/3 + C. Määrätty integraali ∫_1^2 x^2 dx = (2^3/3) − (1^3/3) = 7/3.
Jos G(x) = ∫_0^{x^2} f(t) dt, niin ketjusäännön avulla G'(x) = f(x^2)·2x.
Jos h(x) = d/dx (∫_a^x f(t) dt), niin h(x) = f(x) (edellyttäen f jatkuva).

Ehtoja, todistusten idea ja sovelluksia

Peruslauseiden pätevyyteen vaaditaan yleensä f:n jatkuvuus (tai ainakin paikallinen rajoitettu käyttäytyminen ja Riemannin integroituvuus). Todistusten ydinajatus perustuu Riemannin summa- ja raja-argumentteihin sekä keskinäiseen yhteyteen keskiarvolauseen ja ketjusäännön kanssa.

Sovelluksia ovat mm. pinta-alan laskeminen, fysiikassa työn ja impulssin laskeminen, differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen sekä numeerinen integraatio käytännön ongelmissa.

Vinkkejä ja yleisiä virheitä

Tarkista aina jatkuvuusehdot; erikoistapauksissa täytyy varmistaa integroituvuus.
Muista integraalissa +C, kun etsit antiderivaattaa (epämääräinen integraali).
Käytä ketjusääntöä, kun integraalin ylä- tai alaraja on funktio muuttujasta.
Älä sekoita määrättyä ja epämääräistä integraalia: määrätty antaa luvun (pinta-alan), epämääräinen joukon funktioita.

Yhteenvetona: laskennan peruslauseet muodostavat sillan derivaatan ja integraalin välille ja antavat sekä teorian että työkalut monenlaisiin laskennallisiin ja soveltaviin tehtäviin.

Tausta

Derivaatan, määrätyn integraalin ja epämääräisen integraalin (antiderivaatan) määritelmä on välttämätön laskennan perusteorian ymmärtämiseksi. Derivaatan voidaan ajatella mittaavan muuttujan arvon muutosta suhteessa toiseen muuttujaan. Määrätön integraali on funktion käyrän alapuolella ja x-akselin yläpuolella oleva nettopinta-ala välillä [a,b]. Funktion f epämääräinen integraali (antiderivaatta) on toinen funktio F, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin ensimmäinen funktio f.

Historia

Laskennan perusteoremin historia alkaa jo 1600-luvulla Gottfried Wilhelm Leibnizin ja Isaac Newtonin myötä. Leibniz tarkasteli integraatiota äärettömien pinta-alojen summana, jotka kertyvät. Näin ollen hän viittaa tärkeään pinta-alan käsitteeseen, joka liittyy integraalin määritelmään. Isaac Newton käytti geometriaa kuvaamaan kiihtyvyyden, nopeuden ja etäisyyden välistä suhdetta. Tämä on avainasemassa, kun halutaan ymmärtää derivaatan ja integraalin välistä suhdetta; kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, joka on etäisyyden derivaatta, ja etäisyys on nopeuden antiderivaatta, joka on kiihtyvyyden antiderivaatta. Vuonna 1823 Cauchy määritteli määrätyn integraalin raja-arvon määritelmän avulla. Myös 1800-luvulla Siméon Denis Poisson kuvasi määräisen integraalin antiderivaattien [F(b) - F(a)] erotuksena päätepisteissä a ja b, mikä on nykyään ensimmäinen laskennan perusteoria. Vasta 1950-luvulla kaikki nämä käsitteet sidottiin yhteen, jotta teoreemaa voitiin kutsua laskennan perusteoreemaksi.

Laskennan toinen perusteoria

Toinen peruslaskutoimitusten lause sanoo, että jos funktio f on jatkuva, silloin

d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)} ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)$

Tämä tarkoittaa, että funktion f integraalin derivaatta muuttujan t suhteen välillä [a,x] on yhtä suuri kuin funktion f derivaatta suhteessa x. Tämä kuvaa derivaattaa ja integraalia käänteisprosesseina.

Laskennan ensimmäinen perusteoria

Ensimmäinen peruslaskutoimitusten lause sanoo, että jos funktio f(x) on jatkuva, silloin

∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)} $\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Tämä tarkoittaa, että määräinen integraali välillä [a,b] on yhtä suuri kuin antiderivaatta, joka on arvioitu pisteessä b, miinus antiderivaatta, joka on arvioitu pisteessä a. Tästä saadaan määräisen integraalin ja epämääräisen integraalin (antiderivaatan) välinen suhde.

1. ↑ "Määrätyt integraalit ja negatiivinen pinta-ala." Khan Academy. 2015. June 1, 2015 <https://www.khanacademy.org/math/integral-calculus/indefinite-definite-integrals/definite_integrals/v/definite-integrals-and-negative-area>

2. ↑ Bressoud, D. (2011). "Historiallisia pohdintoja integraalilaskennan perusteoremin opettamisesta". The American Mathematical Monthly, 118(2), 99-115.

3. ↑ Larson, R., & Edwards, B. (2013). Yhden muuttujan laskenta. Boston: Brooks/Cole, Cengage Learning, s. 284.

4. ↑ Larson, R., & Edwards, B. (2013). Yhden muuttujan laskenta. Boston: Brooks/Cole, Cengage Learning, s. 278.

Kysymyksiä ja vastauksia

K: Mikä on laskennan perusteoria?

V: Laskennan perusteoria on tärkeä laskennan käsite, joka selittää derivaatan ja integraalin välisen suhteen sekä määrätyn integraalin ja epämääräisen integraalin välisen suhteen.

K: Miksi laskennan perusteoria on olennainen laskennan opiskelussa?

V: Laskennan perusteoria on keskeinen laskennan opiskelussa, koska se tarjoaa perustan integraalien laskemiselle ja ratkaisujen löytämiselle lukuisiin matemaattisiin ongelmiin.

K: Miten laskennan perusteoria on jaoteltu?

V: Laskennan perusteoria jakautuu kahteen osaan, ensimmäiseen laskennan perusteoriaan ja toiseen laskennan perusteoriaan.

K: Mitä laskennan ensimmäinen perusteoria selittää?

V: Ensimmäinen peruslaskutoimituksen lause selittää derivaatan ja integraalin välisen suhteen. Sen mukaan jos f(x) on jatkuva [a, b]-alueella, funktio F(x) = ∫a^x f(t) dt on differentioituva (a, b)-alueella ja F'(x) = f(x).

Kysymys: Mitä selittää laskennan toinen perusteoria?

V: Laskennan toinen perustehtävä selittää määräisen integraalin ja epämääräisen integraalin välisen suhteen. Sen mukaan jos f(x) on jatkuva [a, b], niin f(x):n lopullinen integraali a:sta b:hen on yhtä suuri kuin F(b) - F(a), missä F(x) on f(x):n antiderivaatta.

Kysymys: Mikä on laskennan ensimmäisen perusteoremin merkitys?

V: Laskennan ensimmäinen perusteoreema on merkittävä, koska sen avulla voimme arvioida määräisiä integraaleja löytämällä funktioiden antiderivaatat.

K: Miten laskennan perusteoriaa käytetään reaalimaailman sovelluksissa?

V: Laskennan perusteormistolla on monia reaalimaailman sovelluksia, kuten fysiikassa, tekniikassa ja taloustieteessä, joissa sitä käytetään pinta-alojen, tilavuuksien, nopeuksien ja muiden tärkeiden muuttujien laskemiseen.